【数学】河南省商丘市青桐鸣2025-2026学年高二上学期1月质量检测试卷（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在等差数列中，若，则（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
3. 设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（）
A. B.
C. D.
4. 双曲线的一条渐近线方程为，则C的焦距为（）
A. B. C. D.
5. 某科技馆建了一个AI技术展播厅，此展播厅共设置了17排座位，后一排都比前一排多2个座位（例如：第二排比第一排多2个座位），已知第9排有36个座位，则此展播厅的座位总数为（）
A. 646B. 629C. 612D. 595
6. 设是空间的一组基底，向量，若，，，且是空间的另一组基底，则（）
A. B.
C. D.
7. 已知在数列中，，且是公比为3的等比数列，则数列的前30项和为（）
A. B. C. D.
8. 已知，，点P满足，点Q在圆上运动，点M在直线上运动，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则下列正确的有（）
A B.
C. D.
10. 已知等比数列是单调数列，且其前项和为，前项积为，，，则下列正确的有（）
A. B.
C. D. 取得最大值时，
11. 已知双曲线的离心率为2，，分别为C的左、右焦点，O为坐标原点，曲线，，且E与C交于A，B两点，则下列正确的有（）
A. B.
C. 最大值为32D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 两平行直线与之间的距离为________．
13. 若直线与椭圆在第一象限内有两个公共点，则C的长轴长的取值范围为________．
14. 如图，已知，且边OA，OB有无限长，按下面操作：在边OA，OB上分别取，沿剪去一个，再在边，上分别取，沿剪去一个梯形，依次操作，在边，上分别取，沿剪去一个梯形，使得每一个梯形的面积都等于的面积的一半，则________（用含的式子表示）．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在平面直角坐标系中，正方形的对角线所在直线的方程为，且正方形的外接圆的方程为．
（1）求正方形的面积；
（2）求顶点A的坐标．
16. 记为数列的前n项和，已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和．
17. 如图，四棱锥底面为正方形，平面平面ABCD，，，M为线段AD的中点，点Q为线段PB上一动点（不包含两端点）．

（1）若，
（ⅰ）证明：平面PCD；
（ⅱ）求直线CD与平面所成角的正弦值．
（2）若平面与平面PCD的夹角的余弦值为，求MQ的长度．
18. 已知F为抛物线的焦点，直线经过F，过点的动直线与C相交于A，B两点．
（1）求抛物线C方程；
（2）设O为坐标原点，若的面积为，直线与y轴交于点N，证明：；
（3）若直线的斜率小于0，且上任意一点到两直线AF，BF的距离相等，求直线的斜率．
19. 已知数列满足，．
（1）求，的值；
（2）求的通项公式；
（3）设，记为数列的前n项和，证明：．