安徽省县中联盟2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试题

这是一份安徽省县中联盟2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试题，共10页。试卷主要包含了 B2， 4， 1等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
本试卷分选择题和非选择题两部分．满分 150 分，考试时间 120 分钟．
答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．．．
本卷命题范围：人教 A 版选择性必修第一册．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1

x2y2
C :
2
3
3
椭圆53
的焦距为（）
2
A.
B. 2
C.
D. 2
抛物线C : y2  6x 的焦点到其准线的距离为（）
33
B.
42
C. 3D. 6
若直线l1 : x  2ay  3  0 和l2 : 4x  y 1  0 互相垂直，则 a 的值是（）
A. 0B. 2C. 0 或2
D. 0 或 2
已知方程
A 3,1
x2
m 1
2
y
 1 表示双曲线，则 m 的取值范围为（）
m  3
B. 1, 3
C. ,3 ∪ 1,D. ,1 3, 
已知 A3,0 ， B 3, 0 ，直线 AP, BP 相交于点 P，且直线 AP 与直线 BP 的斜率之积为 1 ，则点 P
3
的轨迹方程为（）
2
A.
2
B.
x  y2  1 x  3x  y2  1 x  3
3939
2
C.
2
D.
x  y2  1 x  3x  y2  1 x  3
9393
已知平面α的一个法向量n  1, 2, 1 ， A0,1,1 是平面α内一点， P 2,1, 2 是平面α外一点，则点
P 到平面α的距离是（）
6
6
6
3
6D.
6
2
已知抛物线C : y2  8x ，点 M 3, 0 ，过点3, 0 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，且 AM  BM ，则 l
的斜率为（）
10
A. ±B.
C.  10
15
2
 10
5
5
2
2
已知圆C : x2  y2  2x  2 y  7  0 ，点 A3, 0 ，点 B 为直线l : y  4 上的动点，过点 B 作圆 C 的切线，切点为 P，则 AB  PB 的最小值为（）
5
A. 4
B. 3
C. 4
D. 3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
x
y
x
y
2222
已知椭圆C1 : 3  2  1和椭圆C2 : 2  3  1 ，则（）
两椭圆有相同的焦点
两椭圆的离心率相等
两椭圆有相同的顶点
两椭圆有相同的对称轴和对称中心
已知点 P 在圆C1 : x  y  4 上，点 Q 在圆C : x  y  6x  8 y  9  0 上，则（）
2
2222
A. 两圆相交B. 圆C2 与 x 轴相切
C. PQ 的取值范围为3, 7
D. △PC1C2 面积的最大值为 6
FFx22
F F  4
已知点 1 ， 2 分别是双曲线C : a2  y  1a  0 的左、右焦点， 1 2，点 P，Q 分别是 C
左、右支上一点，过点 P 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 M，则下列说法正确的是（）
2 3
3
C 的离心率为
C 的焦点到其渐近线的距离为 1
C. 若 PF1  PF2 ，则VPF1F2 的面积为 2
13
3
D. 若 P，M 都位于第二象限，且 F1 ，P、M 三点共线，则 QF1  MQ  2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
x2y2
FFPF
 PF 
已知椭圆C :
 1 的左、右焦点分别为 1 ， 2 ，点 P 为 C 上一点，则12．
82
设 A x, y  为抛物线 y2  x 上任意一点，则 x  4 y  5 的最小值为．
已知正方体 ABCD  A1B1C1D1 的棱长为 2，点 P 是线段 AB 上的动点（不含端点），则当三棱锥
P  ACD1 的外接球的表面积最小时，AP 的长为．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
求满足下列条件的双曲线的标准方程．
（1）焦点在 x 轴上，经过点(2, 2) ， (3, 2 3) ；
2
（2）与双曲线 x
2
3 2
y
 1有相同的渐近线，且过点 A(
, 2) ．
942
已知抛物线C : y2  2 px  p  0 的焦点 F 在直线 x  4 y  2  0 上．
求C 的方程；
O 为坐标原点，过点 F 作直线交C 于 M ， N 两点，求VOMN面积的最小值．
已知图 1 是由矩形 ABCD 和以 CD 为直径的半圆拼接而成， AB  2 ， BC  1 ，将半圆面沿 CD 折起，使得半圆面 PCD  平面 ABCD，点 P 为半圆弧C‸D （不包括端点）上一动点，如图 2．
证明：平面 ADP  平面 BCP；
若C‸P  2P‸D ，求平面 ACP 与平面 BCP的夹角的大小．
已知过点 P3,0 的直线 l 与圆O : x2  y2  4 相交于 A，B 两点．
求直线 l 的斜率的取值范围；
若 A 是线段 BP 的中点，求直线 l 的方程；
证明： PA  PB 为定值．
2
已知椭圆C : x
a2
2
y
 1a  b  0 的上顶点和两个焦点都在圆 E : x2   y 12
b2
 4 上．
求 C 的方程；
若过 C 的右焦点 F 与圆 E 相切的直线与 C 交于 A，B 两点，求 AB ；
若过 C的右焦点 F 作两条直线与 C 在 x 轴下方分别交于 M、N 两点，且直线 FM，FN 的斜率互为相
反数，记直线 MN 的斜率为 m，求证： 0  m  1 ．
2
参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. B2. C.3. B.4. C.5. D.6. A.7. D.
A.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
BD.10. AB.11. ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
2
12. 4.
13. 1
4
.
3
y
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2
（1）依题意，设双曲线方程为 x
a2
2
 1 ，由该双曲线过点(2, 2),(3, 2 3) ，
b2
 4  2  1
 a2b222
x2y2

得 912
 1
，解得 a
 3, b
 6 ，所以所求双曲线标准方程为
36
 1.
 a2b2
x2y2
x2y2
设与双曲线
 1有相同的渐近线的双曲线方程为
94
 λ(λ 0) ，
94
由该双曲线过点 A(3 2
2
(3 2 )22
, 2) ，得λ 2  2
  1 ，
942
所以所求双曲线的标准方程为 x
2  y2
y2
  1 ，即 2
 x2
9
 1.
9422
（1）因为抛物线C : y2  2 px  p  0 的焦点 F 在 x 轴正半轴上，对于直线 x  4 y  2  0 ，令 y  0 ，可得 x  2 ，
可知焦点 F 2, 0 ，即 p  2 ，可得 p  4 ，
2
所以抛物线C 的方程为 y2  8x .
（2）由题意可知：直线 MN 的斜率可能不存在，且不为 0，
设直线 MN 的方程为 x  my  2 ， M  x1, y1 , N  x2 , y2  ，
x  my  2

联立方程 y2  8x
，消去 y 可得 y2
 8my 16  0 ，

y  y 4 y y
12

2
1 2
64m2  64
m2 1
则  64m2  64  0 ，可得 y1  y2  8m ， y1 y2  16 ，
则 y  y 

 8，
12
可得VOMN的面积 S
y  y
m2 1
 2  8
 8 ，
1
2
VOMN12
当且仅当 m  0 时，等号成立，所以VOMN的面积最小值为 8.
（1）证明
由题意可知： BC  CD ，平面 PCD  平面 ABCD，平面 PCD ∩ 平面 ABCD  CD ， BC  平面
ABCD ，
则 BC  平面 PCD ，且 PD  平面 PCD ，可得 BC  PD ，又因为 PD  PC ， BC  PC  C ， BC, PC  平面 BCP ，可得 PD  平面 BCP ，且 PD  平面 ADP ，
所以平面 ADP  平面 BCP.
取 AB, CD 的中点分别为 E, O ，在半圆弧C‸D 上取点 F ，使得OF  CD ，可知OE / / BC ，且 BC  平面 PCD ，则OE  平面 PCD ，
以O 为坐标原点，OE, OC, OF分别为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系，
若C‸P  2P‸D ，则POD  π ，
3
可得 A1, 1, 0, C 0,1, 0, D 0, 1, 0, P  0,  1 , 3  ，
22 
–––→

13 
可知平面 BCP 的一个法向量为 DP   0, , ，
22 
3
3 
–––→–––→
因为 AC  1, 2, 0, CP   0, 

,，

22 
→ –––→
→n  AC  x  2 y  0
3
设平面 ACP 的法向量为 n   x, y, z  ，则→ –––→3，
令 y  1，则 x  2, z 
n  CP  
→

3 ，可得 n  2,1, 3 ，
y 
22
z  0
设平面 ACP 与平面 BCP 的夹角为θ 0, π  ，
n  DP
→
→ –––→
n  DP
–––→
2 
→ –––→
22π
2 2 1
则csθ cs n, DP 
2
π
所以平面 ACP 与平面 BCP 的夹角的大小为 .
4
，可得θ ，
4
​
（1）
x2  y2  4
设直线 l 的方程为 y  k  x  3 ，当直线 l 与圆相交于 A，B 两点时，得 y  kx  3k 有两组不同的解，消去 y 得 x2  kx  3k 2  4 ，

化简得k 2 1 x2  6k 2 x  9k 2  4  0 ，
2 5
5
5
可知Δ  6k 2 2  4 k 2 19k 2  4  0 ，化简得20k 2 16  0 ，解得 2 5  k ，
所以直线 l 的斜率的取值范围是  2 5 , 2 5  .
55 


1
x  3  x2
（2）设 A x1, y1 , B  x2 , y2
 ，已知 P 3, 0 ，当 A 是线段 BP 的中点时，可得2，
y
 y  2
 12
2x1  x2  3
化简得2 y  y，
12
12
由（1）可知 x , x 为方程k 2 1 x2  6k 2 x  9k 2  4  0 的两个解，
6k 2 20k 2 16 2 k 2 1
6k 2 20k 2 16 2 k 2 1
则 x1 , x2 ，
6k 2 20k 2 16 2 k 2 1
6k 2 20k 2 16 2 k 2 1
当2x1  x2  3 时， 2  3 ，
20k 2 16
化简得
 2 ，解得 k  
15 ，
5
所以直线 l 的方程 y 
15 x  3 15 或 y  
55
15 x  3 15 .
55

x  3 kx  3k

2

1

2
1

x  3 kx  3k

2

2

2
2
k 2 1
证明 设 A x1, kx1  3k , B  x2 , kx2  3k  ，已知 P 3, 0 ，
则 PA 
  x1  3
k 2 1, PB 
  x2
 3，
则 PA  PB   x
 3
k 2 1   x
 3
 k 2 1 x x
 3 x  x
  9 ，
12
6k 2
由（2）可知 x1  x2  k 2 1 , x1  x2 
k 2 1
9k 2  4
，
k 2 1
 1 212
2 9k 2  46k 2
则 PA  PB  k
1

k 2 1
 3
k 2
 9  5 ，
1
所以 PA  PB 为定值．
（1）对于圆 E : x2   y 12  4 ，
令 x  0 ，可得 y 12  4 ，解得 y  3 或 y  1，可知椭圆C 的上顶点为0, 3 ；
3
3
令 y  0 ，可得 x2 1  4 ，解得 x  ，可知椭圆C 的焦点为 3, 0；
3
b2  c2
则b  3 ， c ，则 a 
x2y2
 2，
所以椭圆 C 的标准方程为
 1.
129
由题意可知： F  3, 0 ，圆 E 的圆心为 E 0,1 ，直线 AB 与椭圆 C 必相交，
则 k  3 ，可得直线 AB 的斜率 k3 ，
EF3AB
则直线 AB 的方程为 y 
设 A x1, y1 , B  x2 , y2  ，
3 x 
3  ，
 y 

联立方程 x2
3 x 
y2
3 
8 3
，消去 y 可得5x2  8 3x  0 ，解得 x  0 或 x ，
 1
1 3 8
3
5
129
所以 AB 
5
 0  16 3 .
5
由题意可知：直线 FM 的斜率存在且不为 0，
设直线 FM : x  ny 
3
x  ny 

3, n  0 ，则直线 FN : x  ny ，
3
3 3n  6 3 n2 1
22
1
联立方程 x2

 y2 
，消去 x 可得3n
 4 y
 6 3ny  27  0 ，解得 y 
，
3n2  4
即 yM
129
 3 3n  6 3
3n2  4
n2 1
，同理可得 yN 
3 3n  6 3
3n2  4
n2 1
，
12 3 n2 1
6 3n
则 yM  yN  
3n2  4
， yM  yN   3n2  4 ，
nyM  3  nyN  3 
m  yM  yN

yM  yN
yM  yN
 6 3n
2 n2 1
3n2  41

可得
xMxN
n2 1
n2 1
因为 1，则0 1
 1 ，
n  yM  yN 
，
 12 3n n2 1
3n2  4
所以 m 1 0, 1  .
2 n2 1
2 
