精品解析：广东省惠州市实验中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性考试（12月）数学试题（解析版）

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这是一份精品解析：广东省惠州市实验中学2024-2025学年高一上学期第二次阶段性考试（12月）数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知全集，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据并集和补集的定义计算.
【详解】，.
故选：A.
2. “a>0，b>0”是“ab>0”的（）条件
A. 既不充分也不必要B. 必要不充分C. 充要D. 充分不必要
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义判断．
【详解】成立，但或，
因此“a>0，b>0”是“ab>0”的充分不必要条件．
故选：D．
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，解题方法是利用充分必要条件的定义．
3. 已知函数，则（）
A. B. 2C. 1D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数解析式直接求值即可.
【详解】,
故选：B
4. 已知，则（）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据所给函数关系式直接求解即可.
【详解】由，
所以，
故选：B
5. 已知，，且，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，，且，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
6. 函数是增函数，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数单调性得到不等式，解出即可.
【详解】由题意得，，解得．
故选：C．
7. 已知是周期为2的奇函数，当时，.设，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的周期及函数为奇函数转化为比较的大小，再由对数函数的单调性得解.
【详解】由是周期为2的奇函数，且当时，，
可得，
由对数函数的单调性可知，，
所以，
故选：C
8. 已知定义在上的函数满足，当且时，成立. 若对任意的恒成立，则实数a的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性及单调性转化为恒成立，分离参数后求最值得解.
【详解】由题意知为偶函数，且在上单调递减，所以在上单调递增，
因为恒成立，
所以恒成立，
当时，不等式显然成立，
当时，原不等式恒成立可化为恒成立，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以，解得，
综上，实数a的取值范围为.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法中错误的有（）
A. 命题：，，则命题的否定是，
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“，”是真命题
D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件
【答案】ABC
【解析】
【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误.
【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误.
对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，.
所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误.
对于C选项，当时，，但是，不满足.
所以命题假命题，C选项错误.
对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到.
反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根.
所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确.
故选：ABC.
10. 已知均为实数，下列命题正确的有（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，即可判断A,B,C三个选项，对于选项D，用作差法，即可判断.
【详解】对于选项A：因为，所以，又，所以，所以选项A正确；
对于选项B：因为不一定为正数，例如：，但，所以选项B错误；
对于选项C：因为，易知，根据不等式性质，可知，所以选项C正确；
对于选项D：因为，
又，所以，所以，所以，所以选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 点是图象的一个对称中心
B. 的单调递增区间为
C. 在上的值域为
D. 的最小正周期为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据代入点的横坐标计算判断A，整体代入求函数的单调区间判断B，求出的范围可得值域判断C，根据周期公式判断D.
【详解】对A：令，则，
所以点是图象的一个对称中心，故A正确；
对B：令，解得，，
所以函数的单调递增区间为，故B错误；
对C：当时，，所以，故C正确；
对D：由知，的最小正周期为，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若幂函数在上单调递增，则实数______.
【答案】6
【解析】
【分析】根据幂函数定义及性质求解即可.
【详解】由函数为幂函数可知，，
解得或，
因为幂函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
故答案为：6
13. 已知一个扇形的面积和弧长均为，则该扇形的圆心角为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意求出扇形的半径，结合圆心角弧度的计算，即得答案.
【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，由于一个扇形的面积和弧长均为，
则，
故该扇形的圆心角为，
故答案为：
14. 关于函数有下列命题：
①函数的图像关于y轴对称；
②在区间（-，0）上，函数是减函数；
③函数的最小值为；
④在区间（1，+）上，函数是增函数．其中正确命题序号为_______________
【答案】①③④
【解析】
【详解】 ①对；当时，单调递增，即在上单调递增，②错；因为在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，由为偶函数得，最小值为，③对；因为在上单调递增，所以④对，选①③④
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 计算､求值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）17 （2）2
【解析】
【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.
（2）运用诱导公式直接化简求值即可.
小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式.
16. 已知，且是第二象限角.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系计算即可；
（2）先将分式变形为关于弦的二次齐次式，然后通过分子分母同时除以转化为用表示的式子，然后代入的值计算即可.
【小问1详解】
，且是第二象限角，
，
；
【小问2详解】
.
17. 已知．
（1）若的解集为，求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式．
【答案】（1）；.
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由不等式的解集为，得到为方程的根，代入求得，进而求得不等式的解集，得到的值.
（2）把转化为，得到，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【小问1详解】
解：由不等式的解集为，
即解集为，
所以为方程的根，所以，解得，
又由不等式，解得，所以．
【小问2详解】
解：由不等式等价于，可得，
当时，解不等式得或；
当时，解得；
当时，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
18. 某企业计划将某项新技术应用到某种电子仪器生产中去，为了研究市场反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销.通过市场分析发现，生产此款电子仪器全年需投入固定成本280万元，每生产（千个）电子仪器，需另投入成本万元，且，假设每千个电子仪器售价定为800万元，且全年内生产的电子仪器当年能全部销售完.
（1）求出全年的利润（万元）关于年产量x（千个）函数关系式（利润=销售额-成本）；
（2）当全年产量为多少千个时，该企业所获利润最大?最大利润是多少万元?
【答案】（1）
（2）全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元
【解析】
【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.
（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.
【小问1详解】
当时，
，
当时，
，
所以
【小问2详解】
若，则，
当时，；
若，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时．
因为，
所以当全年产量为100千个时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．
19. 已知函数
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）在其定义域上的单调值；
（3）若对任意恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）奇函数（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的判定方法求解即可；
（2）根据“取值、作差、变形、定号、结论”的步骤证明即可；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将不等式转化为对任意恒成立求解，通过换元法并结合分离参数求出函数的最值后可得所求的范围．
【小问1详解】
∵，
∴函数的定义域为，关于原点对称．
∵，
∴函数为奇函数．
【小问2详解】
函数在定义域上为增函数．证明如下：
设，且，
则，
∵在上是增函数，且，
∴，又，
∴，
∴，
∴函数在定义域内是增函数．
【小问3详解】
∵，
∴．
∵函数是奇函数，
∴．
又函数在定义域内是增函数，
∴对任意恒成立，
∴对任意恒成立．
令,，则，
∵函数在上是增函数，
∴，
∴，
∴实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：解答第三问关键在于转化，但此时容易出现符号上的错误．解决恒成立问题的常用方法是分离参数法，即将参数分离后转化成求函数最值的问题处理，利用单调性求最值是常用的方法．