安徽省部分重点高中2025-2026学年高一上学期12月联考试题 数学

这是一份安徽省部分重点高中2025-2026学年高一上学期12月联考试题 数学，共15页。试卷主要包含了 “”是“对恒成立”的， 已知，则， 函数表示中的较小者，若，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算即可求解.
【详解】由，可得，
故选：B
2. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域的求解方法求解即可.
【详解】由题意知，，解得，所以的定义域为.
故选：B.
3. 若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由存在性问题得即可得解.
【详解】由题意命题“，使”是真命题，所以，
当且仅当，有，所以实数m的取值范围是.
故选：C.
4. “”是“对恒成立”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义进行判断，由此确定正确选项.
【详解】由，得，则对恒成立；由恒成立，得或则．故“”是“对恒成立”的充分不必要条件．
故选：A
5. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先由指数和对数的关系得到和的值，再由对数运算化简可得结果.
【详解】由，可得，，
所以
故选：C.
6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合复合函数“同增异减”判断单调性及对数函数的定义域即可求出的取值范围.
【详解】函数是由外层函数和内层函数复合而成.
外层函数在定义域上单调递减，所以内层函数需在上单调递减，且.
所以，解得.
故选：D.
7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知在上为增函数，且，原不等式即为，结合单调性运算求解即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，，
则在内单调递增，可知在内单调递增，
所以在上增函数，
若，则，可得，
所以，则，
不等式即为，可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
8. 设函数在区间上的最大值与最小值分别为，则（ ）
A. B. 0C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】设函数，，可知为上的奇函数，结合图象变换可知的图象关于点对称，即可得结果.
【详解】设函数，，
则，
可知为上的奇函数，其图象关于原点对称，
又因为的图象是由的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，
可知的图象关于点对称，所以.
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数表示中的较小者，若，则（ ）
A. 的最大值为4
B. 在区间上单调递减
C. 的图象关于直线对称
D. 方程有3个不等实根
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意作出的图象，结合函数图象逐项分析判断即可.
【详解】因为，
作出图象（图中实线部分），如图所示：
对于选项A：无最大值，故A错误；
对于选项B：在区间上单调递减，故B正确；
对于选项C：的图象不关于直线对称，故C错误；
对于选项D：因为与有3个交点，所以方程有3个不等实根，故D正确；
故选：BD.
10. 已知函数的定义域为，对任意的正实数，都有，且当时，，，则（ ）
A.
B.
C. 在区间上单调递减
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用赋值法即可判断出选项A、B，根据单调性的判断方法分析选项C，结合已知条件及函数单调性求解不等式即可判断出选项D.
【详解】选项A，令，得，因此，故A正确；
选项B，令，得，因此，
由，得，
令，得，故B正确；
选项C，设，，且，则，因为，所以，所以，
所以在区间上单调递增，故C错误；
选项D，不等式可化为，
所以，解得，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数若有4个零点，且，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 函数有8个不同的零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】由零点的定义依次求出，计算和的值可判断A，计算的值并结合基本不等式可判断B，计算并结合基本不等式可判断C，分析嵌套函数的零点可判断D.
【详解】对于A，由题可得，令，得或，
即或或或，
解得，，，，所以，故A正确；
对于B，（，等号不成立），故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时等号成立，显然，等号可以取到，故C正确；
对于D，令由得或或或，
由于，，，，
所以，，，分别有0个､0个､4个､4个实根，
所以函数有8个不同的零点，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则__________.
【答案】9
【解析】
【分析】由奇函数的定义及对数运算化简计算可得结果.
【详解】因为，且是奇函数，所以.
故答案为：9.
13. 已知，且，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式“1”的代换计算可得结果.
【详解】因为，所以，
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为.
故答案为：.
14. 已知函数，且存在实数且，使得成立.若正整数的最大值为5，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先设，得到函数的值域，进而得到函数的值域，再根据正整数的最大值为5，列不等式求解实数的取值范围.
【详解】设函数，
因为，所以，
所以，则.
当时，，所以.
要使得正整数的最大值为5，则，
解得.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某商贸公司计划租地建造仓库储存货物，仓库到车站的距离为千米，经调查了解到下列信息：每月的土地占地费（单位：万元）与成反比，每月的库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则每月的土地占地费和每月的库存货物费分别为3万元和12万元.
（1）求与的解析式；
（2）该公司把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？
【答案】（1），
（2）4千米
【解析】
【分析】（1）设，，根据条件列方程求出，即可
（2）直接写出费用之和为，再利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
（1）设，，
则，，解得，，
所以，.
【小问2详解】
设两项费用之和为，则，
从而，
当且仅当，即时等号成立，
所以把仓库建在距离车站4千米处，两项费用之和最小.
16. 已知函数且.
（1）若，求实数值；
（2）若在区间上的最大值与最小值之差为，求实数的值.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意结合对数运算整理可得，运算求解即可；
（2）分和两种情况，结合对数函数的单调性和最值运算求解即可.
【小问1详解】
因为，
整理可得，
解得或，所以或.
【小问2详解】
若在区间上的最大值与最小值之差为，
①当时，在区间上单调递增，
则，
即，所以；
②当时，在区间上单调递减，
则，
即，所以.
综上所述：实数的值为或.
17. 已知指数函数的图象经过点.
（1）求的解析式.
（2）若函数，
（i）利用定义证明在上单调递增；
（ii）求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的解析式，代入点计算可得结果；
（2）（i）根据函数单调性的定义判断的单调性即可；（ii）由函数的奇偶性和单调性将不等式转化为，解绝对值不等式可得结果.
【小问1详解】
设且，
则，解得，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知；
（i），，且，
，
因为，所以，，
从而，，，
所以，
即，即，
所以在上单调递增；
（ii）由知为偶函数，
则不等式等价于，
又在上单调递增，所以，即，
即，解得，
所以不等式的解集为.
18. 已知函数.
（1）当时，求的值域.
（2）若为偶函数，函数，
（i）求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）；
（ii）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）（i），单调递增；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数性质可得，再结合对数函数性质分析求解；
（2）（i）根据题意结合偶函数的定义可得，再结合单调性的性质判断的单调性；（ii）根据单调性可得，结合恒成立问题可得，整理可得，再根据存在性问题结合函数最值分析求解.
【小问1详解】
当时，，
因为，则，
所以的值域为.
【小问2详解】
（i）因为，可知函数的定义域为，
且，
若为偶函数，则，
即，可得，
结合的任意性，可得，即，
所以，可知函数的定义域为，
因为在定义域内单调递增，且在定义域内单调递增，
则在定义域内单调递增，且在定义域内单调递增，
所以在定义域内单调递增；
（ii）由（i）可知：在上单调递增，则，
因为对任意的，成立，
则，可得，
即，可得，
又因为，则，可得.
构造，，
因为，在上都是增函数，
可知在上是增函数，则，
要满足存在，，
则，即，可得，
所以实数的取值范围是.
19. 已知函数的定义域为，若，则点是图象的对称中心，若，则直线是图象的对称轴.
（1）求函数图象的对称中心.
（2）若，且是偶函数.
（i）求实数的值；
（ii）求的值域.
【答案】（1）
（2）（i），；（ii）
【解析】
【分析】（1）设图象的对称中心为点，根据题意可得，运算求解即可；
（2）（i）分析可知直线是图象的对称轴，结合函数零点可知，是的零点，代入求解即可；（ⅱ）整理可得，换元令，结合二次函数性质运算求解.
【小问1详解】
设图象的对称中心为点，
则，
整理可得，
要使上面的等式对任意都成立，则，解得，，
所以图象的对称中心为点.
【小问2详解】
（i）因为是偶函数，则，即，
所以直线是图象的对称轴，
又因为，
则，可知，是的零点，
且直线是图象的对称轴，
可知，也是的零点，即，
可得，所以，；
（ii）因为，
即.
令，当且仅当时，等号成立，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的值域为.