北京市三帆中学2025-2026学年第一学期九年级数学期末试卷（含答案）

这是一份北京市三帆中学2025-2026学年第一学期九年级数学期末试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
1. 未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线的对称轴是（ ）
A. 直线B. 直线C. 直线D. 直线
3. 将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
B. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
C. 抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得
D. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率
5. 已知在中，，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（ ）．
A. 点B在内B. 点C在上
C. 直线与相切D. 直线 与相离
6. 如图，正六边形内接于，若的面积为，则的半径为（ ）
A. B. C. D.
7. 新年将至，某商场对一款智能音箱进行降价促销，其零售价由最初的100元经过两次降价后变为81元，且两次降价的百分率相同，设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知抛物线，过，两点，其中，． 有以下四个结论：
①；②； ③点，在抛物线上，，当时，总有，则；④若点，在抛物线上且在对称轴的同侧，总有，则．其中正确的结论为（ ）
A. ①②B. ②③C. ③④D. ②③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是_________．
10. 请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②顶点坐标为．此二次函数的解析式可以是____________．
11. 圆心角是的扇形的半径为4，则这个扇形的面积为_________．
12. 如图，是的直径，点C，D，E在上，若，则的度数为 ________ ．
13. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是____．
14. 如图，是的切线，A，C为切点．若，，则直径的长是_____．
15. 如图， 在平面直角坐标系 中，，．将绕点A逆时针旋转， 若的对应点恰好落在边上．则点B的对应点的坐标为_____．
16. 已知在中，，，，D是边上的一个动点， 以为直径作， 分别交、于点E、F， 连接， 则线段长度的最小值为_______．
三、解答题（共68分， 第17-18， 20-23题， 每题5分， 第19、24-26题，每题6分， 第27-28题，每题7分）
17. 计算：
18. 已知直线， 在直线上方求作一点， 使得．
下面是小张的作法：
①分别以，为圆心，长为半径画弧，在直线下方交于点；
②以点为圆心，长为半径画圆；
③在 上任取一点 （不与，重合）， 连接，．
则为所求．
（1）使用无刻度的直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：在直线下方的圆弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．
，
是等边三角形．
．
，
（ ）（填推理的依据）
．
四边形 内接于，
（ ）（填推理的依据）
．
19. 已知，二次函数 （，，是常数，）的与的部分对应值如下表．
（1）求二次函数的解析式．
（2）①在平面直角坐标系中画出函数图象；
②当时，的取值范围是 ；
③当时，的取值范围是 ．
20. 如图， 等边， 在边延长线上取点D， 连接， 将线段绕点 D顺时针旋转得到线段，连接．
（1）求的度数；
（2）若， 求的长．
21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的倍，求的值．
22. 如图，、是的两条弦，， 过点O作交于点 E， 交于点G，延长交于点 F．
（1）求证：；
（2）若，， 求的半径．
23. 临近元旦节，小雪家从网上购买了4箱“库尔勒”香梨，但开箱验货后，发现其中混入了若干“红酥梨”．统计后发现每箱中最多混入了2个“红酥梨”，具体数据见表：
若事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为
（1）求m和n的值；
（2）小雪准备将其中两箱送给舅舅，她从4箱中随机挑选了两箱，用列举法求两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率．
24. 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图①），喷淋头喷洒的最外层水柱的形状为抛物线．如图②，已知车棚建在两面墙之间，为水平地面，，．消防喷淋头M安装在距离地面3米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为2米，此时最外层的水柱喷射到墙面上的点E处，米．以O为原点，地面所在的水平线为x轴，墙面所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）已知车棚的宽度为15米，为了确保发生火灾时可以完全把火扑灭，喷出的水需要覆盖离地面1米高的全部范围．工作人员计划在棚顶上安装若干个与消防喷淋头M相同型号的消防喷淋头（第一个喷淋头的位置不变）．
①请通过计算，回答至少需要 个消防喷淋头；
②直接写出安装最少喷淋头时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离d的取值范围．
25. 如图，是的外接圆， D是的中点， 过点D作直径交于点M，的延长线与的延长线交于点N，过点F作射线使得
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；
（2）为抛物线上两点，若对于 ，，都有 ，求c的取值范围．
27. 如图， 是等边三角形，点E 是边 延长线上一点，连接，在边 上取一点，使得，将线段绕点 E 顺时针旋转 得到线段， 连接．
（1）①补全图形；②求的度数；
（2）用等式表示线段和之间的数量关系并证明．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于上的点P和直线l，给出如下定义：将图形M绕点P 逆时针旋转，再关于直线l对称，得到图形N，称图形N是图形M关于点P和直线l的“旋转对称”图形．已知点．
（1）当直线时，
①若点，，中，点 是点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形上的点；
②若直线与点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形有公共点，直接写出k的取值范围；
（2）已知线段，直线，点，，若线段上的点都是线段关于点P和直线l的“旋转对称”图形上的点，直接写出点C的横坐标的取值范围．
参考答案
一、选择题（共16分，每题2分，第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个）
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 【答案】解：点关于原点的对称点：横坐标：，纵坐标：，
故答案为：．
10. 【答案】解：设二次函数的解析式为，
∵顶点坐标为，
∴，，即，
∵开口向下，
∴，取，得．
故答案为：（答案不唯一）．
11. 【答案】解：该扇形的面积为，
故答案为：．
12. 【答案】解：如图，连接，
为的直径，
，
，
，
，
故答案为：．
13. 【答案】解：在方程中，
，，，
判别式为
化简得．
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
得，
解得，
故答案为：2．
14. 【答案】解：∵是的切线，A，C为切点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：10．
15. 【答案】解：如图，
由旋转的性质可知，旋转角，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴轴，
在直角中，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∴点的坐标为．
故答案为：．
16. 【答案】解：在中，，，，
则，
连接、，过点作于点，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴当最小时，的值最小，即当时，取最小值，最小值为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共68分， 第17-18， 20-23题， 每题5分， 第19、24-26题，每题6分， 第27-28题，每题7分）
17. 【答案】解：
，，，
，．
18. 【答案】（1）
解：如图所示，为所求：
（2）
证明：在直线下方的圆弧上任取一点（不与，重合），连接，，，．
，
是等边三角形．
．
，
（同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半），
．
四边形内接于，
（圆内接四边形对角互补），
．
故答案为：；同弧所对圆周角等于该弧所对圆心角的一半；圆内接四边形对角互补．
19. 【答案】（1）
解：根据题意可得，
解得，
∴二次函数的解析式为 ．
（2）
解：函数图象如下图：
，
开口向上，对称轴为直线，最小值为，
当时，随着增大，减小，
当时，随着增大，增大，
当时，，
当时，，
∴当时，的取值范围是．
故答案为：．
函数图象开口向上，与轴的交点坐标为，，
∴当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
20. 【答案】（1）
解：将线段绕点D顺时针旋转得到线段，
，
即是等边三角形，
，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∵，
，
．
（2）
解：如图，过点E作交的延长线于点H，
∵，，
∴，
∵，
∵，
∵，
，
∴，
，，
∵，
，
∴．
21. 【答案】（1）
解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
（2）
设方程的两个实数根为、，且，
∴，，
由（1）可知：，
∵为符合条件的最小整数，
∴，
∵该方程的较大根是较小根的倍，
∴，
∴，，
∴，
解得：，．
当时，，则，符合题意，
当时，，则，与不符，舍去，
∴．
22. 【答案】（1）
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∴；
（2）
解：连接，设的半径为，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，，
∴的半径为5．
23. 【答案】（1）
解：∵事件“每箱中混入1个红酥梨”的概率为，
∴，
∴，
∴；
（2）
解：把没有“红酥梨”的1箱记为A，混入了1个“红酥梨”的记为、，混入了2个“红酥梨”的记为C，从4箱中随机挑选两箱的情况有、、、、、，共6种等可能的结果，其中两箱中一共混入了1个“红酥梨”的结果有，共2种，
∴两箱中一共混入了1个“红酥梨”的概率为．
24. 【答案】（1）
解：由题意可知：顶点M的坐标为，点E的坐标为，
则可设最外层水柱所在抛物线的表达式为，
将点代入，得，解得，
最外层水柱所在抛物线的表达式为；
（2）
解：①∵，
∴当时，，解得或，
设抛物线上横坐标为4的点为P，则，
∴一个喷淋头在高度覆盖的水平宽度为4米，
，
∴至少需要4个消防喷淋头；
②由题意可设消防最后一个喷淋头N的最外层水柱所在抛物线的表达式为，
当抛物线经过点时，有，
解得（舍去）或，
此时米，
米．
当抛物线经过点时，有，
解得（舍去）或，
此时米，
米．
综上所述，在满足所需条件时，第一个喷淋头和最后一个喷淋头之间的距离的取值范围为．
25. 【答案】（1）
证明：如图，
连接，，
D是的中点且直径过点D，
，，
．
由圆周角定理得，，
．
，
．
设，则，
，
，
，
即．
是的半径，
是的切线．
（2）
解：如图，
过点作于点，则，．
直径，
，，，
．
，
，
，
．
，
，
．
，，
，，
，．
的直径，
的半径为2．
在中，，
，
．
设，
则由勾股定理得，，
，
即，
解得，，
即．
在中，，
．
26. 【答案】（1）
解：∵，
∴顶点坐标为；
（2）
解：∵，
∴对称轴为，
∵，
∴要么在对称轴上，要么在对称轴的右侧，且，
∴，
设关于对称轴的对称点为，
∴，
∴，
∴当时，其函数值与时相同，
当时，函数图象开口向上，当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，取得最小值，
∵对于 ，，都有 ，
∴，
∴，
∵，
∴矛盾；
∴当时不符合题意；
当时，函数图象开口向下，当时，随的增大而减小，
当在对称轴左侧，那么在对称轴右侧，
∴，
∴，
∵，
∴要么在对称轴上，要么在对称轴的右侧，
∵，
∴，
∴，
故；
当在对称轴右侧，那么在对称轴左侧，
同理，可得，
解得，矛盾，
综上，．
27.【答案】（1）
解：①由题意，补全图形如图：
②∵旋转，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴；
（2）
解：，证明如下：
过点作，交于点，连接，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵旋转，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
作，则，
∴，
∵，，
∴，
∴．
28. 【答案】（1）
解：先论证点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形的特征，
设点A绕点P逆时针旋转所得的点为点，点关于直线l对称的点为点，
如图，在y轴上取点，连接，，
由旋转的性质可知，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为定值，
∴点A旋转所得的点E在以点Q为圆心，为半径的圆上运动，
∵经过点，
∴点关于直线l对称的点也在上．即就是关于点P和直线l的“旋转对称”图形
①判断题干的点：
对于点，，点在上；
对于点，，点在上；
对于点，，点在内；
故答案为：和．
②对于直线，当时，为定值，
∴直线过定点，
如图，在y轴上取点，过点作的切线，切点为、，与x轴交于点J、K，连接，
∵，，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
在直角中，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴点J坐标为，
将，代入直线得，
，
解得，，
∴直线的斜率，
根据对称性可得，直线的斜率，
当直线落在直线和直线之间时，其与点A关于点P 和直线l的“旋转对称”图形有公共点，
∴的取值范围为或．
（2）
解：如图，取点，连接，，，
由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形，
∴，，
由勾股定理得，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴为定值，
∴点A旋转后所得的点E在以点T为圆心，1为半径的圆上运动，
作关于直线的对称，则点E的对称点F在上运动，
∵线段，
∴线段关于点P和直线l的“旋转对称”图形是以点为圆心，内径为，外径为的圆环，如图所示，
∵点，
∴，
将①代入②得，，
∴点C在直线上运动，
∵，
∴轴，线段，且点D在点C左侧，
设直线为，则点坐标为，点坐标为，
取中点W，连接，
由勾股定理得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴点G坐标为，
同理可得，点H坐标为，点I坐标为，点J坐标为，
①当点C在线段上时，
当与内圆相切时，设切点为L，
∵轴，
∴，
∵与内圆相切，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴，此时，
∵线段都在圆环内，
∴；
②当点C在线段上时，
当点D在外圆上时，设，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
同理①可得，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
解得，（负值舍去），此时，
∵线段都在圆环内，
∴，
综上所述，点C的横坐标的取值范围为或．
…
0
1
2
…
…
3
0
0
…
每箱混入“红酥梨”个数/个
0
1
2
箱数/箱
1
m
n
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
C
D
C
A
B
D