河北省衡水中学2025-2026学年高一上学期综合素质评价三（12月）数学试卷含解析（word版）

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主命题人 张艳
（考试分I、Ⅱ两部分共150分，时间共120分钟）
I卷（共58分）
一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合补集的概念求解即可.
【详解】由，，得．
故选：B．
2. 为钝角是为第二象限角的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用推出来判断是否充分和必要条件，即可.
【详解】若为钝角，则，则为第二象限角；
反之，若为第二象限角，例如，则不为钝角.
所以为钝角是为第二象限角的充分不必要条件.
故选：A.
3. 在一次数学实验中，小胡同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
在以下四个函数模型中，为常数，最能反映间函数关系的可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不同函数模型的增长速度可知指数函数符合题意.
【详解】根据表格提供数据可知，自变量变化量相同时，函数值增长越来越快，
即函数增长非常快，所以指数增长符合，即B选项符合.
故选：B.
4. 若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出的值，可得的值．
【详解】因为角的终边经过点，，，，
所以，
则.
故选：C.
5. 函数的简图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用余弦函数的图象平移可得．
【详解】把的图象向上平移1个单位即可.
故选：D
【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查学生数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题．
6. 把表示成的形式，且使，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用终边相同的角的表示方法，即可得解.
【详解】，
，
故选：A.
7. 函数的零点所在的区间可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项．
【详解】在上单调递增，在内单调递增，
在定义域上单调递增，
，，
根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确；
，函数在定义域上单调递增，
，故BCD错误．
故选：A．
8. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】借助诱导公式计算即得.
【详解】.
故选：D.
二、多选题（共3个小题，每小题6分，共18分.选对部分得部分分，选错不得分）
9. 下列结论正确的有（ ）
A. 若，则为第四象限角；
B. 函数的零点是；
C. 若，则为第四象限角；
D. 终边在y轴非负半轴上的角的集合为.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据三角函数的定义与符号，可判定A正确；根据函数零点的定义，可判定B正确；根据弧度制的定义，可判定C错误；根据终边相同角的表示方法，可判定D正确.
【详解】对于A，由，根据三角函数的定义与符号，可得为第四象限角，所以A正确；
对于B，由函数，可得其定义域为，且为单调递增函数，
因为，所以函数的零点为，所以B正确；
对于C，根据弧度制的定义，可得，所以为第三象限角，所以C错误；
对于D，根据终边相同角的表示方法，可得终边在轴非负半轴上的角的集合为，所以D正确.
故选：ABD.
10. 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A. 函数偶函数
B. 函数的定义域为
C. 函数的值域为
D. 在其定义域上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】本题考查已知函数类型求解析式以及幂函数的性质，先设出幂函数解析式，代入已知点的坐标，求出解析式，再根据解析式逐项判断.
【详解】设，由的图象经过点，得，解得，所以.
选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误；
选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确；
选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确；
选项D，由在上是增函数，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数函数有四个不同的零点，且，则（ ）
A. 的取值范围是B.
C. 的最小值是D. 越大，的值越大
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先画出函数图像，根据图像即可判断选项A错误，再利用函数的性质，列出等式即可得到选项B正确，由将选项C化为，利用对勾函数的单调性即可判断C,D的对错.
【详解】对于选项A:画出的大致图象，由图可知，则A错误.
对于选项B：因为，所以，
所以，则B正确.
对于选项C：由图可知，所以，
当且仅当时，等号成立，则C正确.
对于选项D：在上单调递减.
因为越大，越小，所以的值越大，则D正确.
故选：BCD
Ⅱ卷（共92分）
三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分）
12. （且）的图象恒过定点______.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数图象特征列式求解即可.
【详解】令，得，则，
得（且）的图象恒过定点.
故答案为：
13. 已知扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形面积公式，求出结果即可.
【详解】由扇形面积公式，得.
故答案为：.
14. 已知函数的定义域为，对于，，有，且，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据单调性的定义得，在上为减函数，不等式化为，利用单调性得，解一元二次不等式即可．
【详解】对于，，有，，所以．
所以函数在上为减函数．令，易得其在上为减函数．
由，得．
由，得，
所以，即，得或．
故不等式的解集为．
故答案为：
四、解答题（共5个小题，共77分）
15. 已知且，函数是指数函数，且.
（1）求m和a的值；
（2）求的解集.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的定义求解即可；
（2）设，先将不等式利用换元法化为，
结合二次不等式和指数不等式的解法可得答案.
【小问1详解】
由题意得，，解得或（不符合题意，舍去）
由且，得.
【小问2详解】
由（1）得，，即为，
设，则原不等式化为，解得或，
，得，原不等式的解集为.
16. 已知.
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式、巧用同角三角函数基本关系化简表达式，即可得出答案；（2）根据已知条件先判断的正负，再结合即可求解.
【详解】，
（1）当时，；
（2）由，可得，
且，所以，所以，
所以.
17. 已知函数.
（1）求函数的定义域；
（2）判断奇偶性，并加以证明；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）偶函数，证明见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由且求解；
（2）利用函数奇偶性的定义判断；
（3）将转化为求解.
【小问1详解】
由题意得：且，
解得，所以函数定义域；
【小问2详解】
因为的定义域为，关于原点对称，
又，
所以为偶函数；
【小问3详解】
，
则，化简得 ，
解得或，
故实数的取值范围为或.
18. 已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且.
（1）求函数、的解析式；
（2）若对任意恒成立，求k的取值范围；
（3）设，，对于，都，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性得，结合，求得函数、的解析式；
（2）结合指数函数的单调性可得在上单调递增，然后利用的奇函数性质和单调递增将不等式恒成立转化为对任意恒成立，利用判别式法求解k的取值范围即可；
（3）利用指数函数的单调性求得时，；利用换元法求得的最小值，然后两函数值域关系列不等式即可求解.
【小问1详解】
由题设，，又，
所以两式相加可得，两式相减可得；
【小问2详解】
由得，
因为是奇函数，所以，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
故原问题可化为，即对任意恒成立，
所以，解得.
【小问3详解】
时，，
又，故，
时，，
令，则，
则，
由，都，使得，只需，即.
19. 我们知道，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数.已知函数，其反函数为.
（1）求反函数的解析式；
（2）求函数的最小值；
（3）对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“函数”.已知函数为其定义域上的“函数”，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据反函数的概念直接求解即可；
（2）利用换元法令，可得关于的二次函数，根据二次函数的性质分类讨论即可得到答案；
（3）根据题意分别讨论在、和上存在满足题意，根据所给方程代入计算，结合函数单调性分析即可得到答案.
【小问1详解】
由题意可得.
【小问2详解】
由（1）得，
令，，
当时，在上为单调递增函数，所以的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，在上为单调递减函数，所以的最小值为.
综上，当时，的最小值为，当时，的最小值为，
当时，的最小值为.
【小问3详解】
①设在上存在，满足，
则(*)，
令，易知为偶函数，任取，
因为，所以，，，
所以，即，
所以在单调递增，结合偶函数性质可得在单调递减，
令，由可得，
所以(*)可化为，，
易知在上单调递增，则，
②设在存在，满足，
则，即有解，
因为在上单调递减，所以，
同理当在存在，满足时，解得，
所以实数的取值范围.
3
5
7
9
11
13
21.01
21.11
21.99
30.03
101.96
749.36