江西省赣州市部分学校2026届高三1月第二次教学调研考试试卷及解析

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1. 复数 z=1+i2+41-i ，则 z= ( )
A. 1+3i B. 2-4i C. 2+4i D. 1-3i
2. 已知集合 A={-4,-3,-1,0,1,2,8},B=x∈R∣x3=x ，则 A⋂B= ()
A. {0,1,2} B. {0,1} C. {1,2,8} D. {-1,0,1}
3. 已知向量 a=-2,1,b=3,0,e 是与 b 方向相同的单位向量，则 a 在 b 上的投影向量为( )
A. -5e B. 5e C. -2e D. 2e
4. 设 fx 是奇函数，且在 0,+∞ 内是减函数，又 f-3=0 ，则 x⋅fx0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 为双曲线 C 右支上的动点,过点 P 作两渐近线的垂线,垂足分别为 A,B . 若圆 x-22+y2=1 与双曲线 C 的渐近线相切,则下列说法正确的是( )
A. 双曲线的渐近线方程为 y=±33x
B. 双曲线 C 的离心率 e=33
C. 当点 P 异于双曲线 C 的顶点时, △PF1F2 的内切圆的圆心总在直线 x=3 上
D. PA⋅PB 为定值 32
三、填空题。(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。)
12. a-xyx+y7 的展开式中 x2y5 的系数为 36,则 a 的值为_____.
13. 在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 满足 A1E=12EC1 ，点 F 在平面 BC1D 内，则 A1F+EF 的最小值为_____.
14. 已知数列 an 满足 an+1=ean+1n∈N*,a2+a3=3x0 ,其中 x0 为函数 y=ex+1-x2x>1 的极值点,则 a1+a2-a3= _____.
四、解答题。(本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(本题满分 13 分)
已知 △ABC 的面积为 3,且满足 0≤AB⋅AC≤63 ,设 AB 和 AC 的夹角为 θ ,
(1)求 θ 的取值范围；
(2)求函数 fθ=csθ⋅sinθ+π3-3cs2θ+34 的值域.
16. (本题满分 15 分)
已知数列 an 满足 a1=12,an+1=an2an+1n∈N* .
(1)求证:数列 1an 是等差数列，并求数列 an 的通项公式；
(2)求数列 anan+2 的前 n 项和 Sn .
17. (本题满分 15 分)
已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F,C 上动点 P 到点 F 的最小距离为 1 .
(1)求抛物线 C 的标准方程；
(2)过点 F 的直线与抛物线 C 交于 A,B 两点， O 为坐标原点， SΔAOB=433 ，求 AFBF 的值.
18.(本题满分 17 分)
如图甲，在梯形 ABCD 中， AD//BC ， ∠ADC=90∘ ， BC=CD=2AD=4 ， E 是 CD 的中点，将 △ADE 沿 AE 折起,使点 D 到达点 P 的位置,如图乙,且 PC=23 .
(1)求证:平面 PAE⊥ 平面 ABCE ；
(2)求点 E 到平面 PBC 的距离；
(3)设 AE 的中点为 O ，在平面 POC 内取点 Q ，使得直线 EQ⊥ 平面 PBC ，问点 Q 是否在 △POC 内?
甲 乙
19. (本题满分 17 分)
对于正整数 n 和正整数 k∈{1,2,3…,n} ,现定义函数 Qn,k=Cnk⋅k2 .
(1)当 n=4 时,分别计算 Q4,k 在 k=1,2,3,4 处的取值;
(2)为了研究函数 Qn,k 的单调性，现定义差分比 Rn,k=Qn,k+1Qn,k .
①证明: 当 k>n2 时, Rn,k