湖南省长沙市师大附中2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 函数的极大值点为（ ）
A 1B. C. D.
3. 直线：被圆：截得的弦为，则的长为（ ）
A. 3B. C. D.
4. 已知非零向量，的模长相等，且，则向量，的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 若为等差数列，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分又不必要条件
6. 在中，角，，对边分别为，，，，则下列选项一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知斜率为的直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于点，，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A 2B. C. D. 3
8. 设，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比记为q，是其前n项的积，若则（ ）
A.
B.
C.
D. 与均为的最小值
10. 设抛物线：的焦点为，准线为，点是抛物线上的一个点，圆以焦点为圆心，半径，点为抛物线上不与点重合的动点，过点作的垂线，垂足为，则（ ）
A. 准线的方程为
B. 抛物线与圆有且仅有两个交点
C. 满足的点有且仅有一个
D. 当时，为等边三角形
11. 如图，在棱长为3的正方体中，点在平面内，且，点满足，则以下结论正确的是（ ）
A. 直线与直线所成角
B. 三棱锥的体积为定值
C. 动点的轨迹长度为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是第一象限角，，则________．
13. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为________．
14. 如果数列对任意的，都有，则称数列为“快速增长数列”．若数列为“快速增长数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）当时，判断函数的单调性；
（2）若函数的最小值为0，求实数的值．
16. 如图所示，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）点在棱上，当二面角的余弦值为时，求的长．
17. 已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求数列的通项公式及前项和；
（3）记，，证明：．
18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）．
（i）求的取值范围；
（ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积．
19. 已知函数的定义域为，且，的导函数，直线为点处的切线．
（1）求证：存在唯一的极小值点；
（2）求证：当时，除点外，曲线均在的上方；
（3）若，直线过点且与垂直，，分别与轴交于点，，求值（取整函数表示不超过的最大整数，如）．