广东省2025—2026学年高三上学期12月一轮复习验收考试数学试题及答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合A={x|－2＜x＜3}，B={x|x（x－5）＜0}，则A⋃B=
【解析】依题意，B={x|0＜x＜5}，则A⋃B={x|－2＜x＜3}⋃{x|0 ＜x＜5}={x|－2＜x＜5}．故选B．
4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若an＋an＋1=8，且S21=83，则a82=
【解析】依题意，S21=a1＋10×8=83，则a1=3，故a2=5.而an＋an＋1=8，an＋1＋an＋2=8，两式相减可得，an=an＋2，故a82=5.故选C．
6. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P为线段AB的中点，平面 A1PC1⋂平面ABCD=l，则直线l与直线A1C所成角的余弦值为
【答案】AC（每选对1个得3分）
10. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点P在C上运动，直线l过点 （4，0）且与直线l′：3x＋2y=0相互垂直．记直线l与C交于M，N 两点，Q为线段MN的中点，则
【答案】BCD（每选对1个得2分）
【答案】ACD（每选对1个得2分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X~N（2，σ2），若2P（X＞3）=P（X≤3），则 P（X＜1）= 　　　　．
13. 已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，则 cs 〈a－b，b＋2c〉= 　　　　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤．
15. （13分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，其中S9=117，a4=11.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：（1）依题意，S9=9a5=117，解得a5=13.（2分）故数列{an}的公差d=a5－a4=2，（4分）则an=a4＋（n－4）d=11＋2（n－4）=2n＋3.（6分）
（2）求使得不等式Sn≤12成立的n的值．
16. （15分）俄罗斯方块这一款游戏诞生于1984年，由苏联科学院工程师开发，受到了广大人群的喜爱，这款游戏的相关比赛也在各地层出不穷．已知孙三、赵四、王五进行一次俄罗斯方块游戏比赛，共比10场，规定每场比赛先得100分者获胜，现将三人每场比赛的得分（单位：分）情况统计如下．
（1）求孙三这10场比赛得分的下四分位数以及赵四这10场比赛得分 的第40百分位数；
（2）若从这10场比赛中随机抽取3场，记这3场比赛中赵四与王五分 差的绝对值不低于20分的场次数为X，求X的分布列及数学期望．
17. （15分）已知直三棱柱ABC－A1B1C1如图所示，点M在线段BC上，且∠AMC1=90°．
（1）证明：AM⊥B1C1；
（1）证明：因为CC1⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以CC1⊥AM． （1分）又因为∠AMC1=90°，所以AM⊥MC1.（2分）因为CC1，MC1⊂平面BB1C1C，CC1⋂MC1=C1，所以AM⊥平面BB1C1C． （3分）又B1C1⊂平面BB1C1C，所以AM⊥B1C1.（4分）
（2）若∠BAC=90°，AB=AC，平面AC1C与平面AC1M的夹角为 60°，点R是线段B1B上靠近B1的四等分点，求直线A1R与平面AMC1 所成角的正弦值．
18. （17分）已知函数f（x）=ax＋1－（ax＋1）e－x，a∈R． （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（1）解：依题意，f（x）=x＋1－（x＋1）e－x，则f（0）=0，（1分）而f ′（x）=1＋xe－x，（2分）故f ′（0）=1，（3分）故所求切线方程为y=x．（4分）
（2）当a≥1时，证明：f（x）≥x；
（3）当a≤0时，证明：f（x）≤x（1－ax）．
令M（x）=（x2＋3x＋1）ex－1，则M′（x）=（x2＋5x＋4）ex，令M′（x）=0，解得x1=－4，x2=－1，所以当x＜－4和x＞－1时，M′（x）＞0，则M（x）单调递增，当 －4＜x＜－1时，M′（x）＜0，则M（x）单调递减，且M（－4）=5e－4－1＜0，M（0）=e0－1=0，因此当x＜0时，M（x）＜0，H（x）单调递减，当x＞0时，M（x）＞0，H（x）单调递增，所以H（x）min=H（0）=0，即x（xex＋ex－1）≥0；（16分）故当a≤0时，ax（xex＋ex－1）≤0≤xex－ex＋1，即f（x）≤x（1－ ax）得证．（17分）
（2）已知O为坐标原点，过点P（t，0）且与x轴不重合的直线与 椭圆E交于B，C两点．
（i）若t=6，且M（6，yM），N（6，yN）分别在直线AB，AC 上，探究：∠PAN＋∠POM是否为定值．若是，求出该定值；若不 是，请说明理由；