浙江省杭州市2026届高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份浙江省杭州市2026届高三数学上学期10月月考试题含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 复数的实部是（ ）
A. 1B. -1C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的概念即可求解.
【详解】由得，实部为，
故选：B.
2. 的展开式中x的系数是（ ）
A. B. 6C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用二项式定理的通项公式得，令，解出代入即可求解.
【详解】由题意有：，令，解得，
所以，所以x的系数为，
故选：C.
3. “集合A、B满足：”的一个充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得，进而求解.
【详解】由,
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系式及两角差的余弦公式直接计算即可.
【详解】由已知，则，
又，
当时，，
当时，.
故选：C.
5. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足.当时，，则当时，的最大值为（ ）
A. 2B. 1C. -1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】先根据推出周期为4，再根据奇函数推出时的表达式，再根据周期性推出时的表达式，再用二次函数求最大值.
【详解】由题意知，即，
则，
所以函数是以4为周期的周期函数，
又当时，，且是定义在上的奇函数，
∴时，，
∴当时，，
所以当或6时，函数的最大值为．
故选：D．
6. 已知圆：，直线：，点，点P在圆上运动，点Q满足（为坐标原点），则点Q到直线距离的最大值为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，由得，进而得，利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】设，由有，
所以，又点在圆上，所以，
即，所以点在以为半径，圆心为的圆上，
由圆心到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为：，
故选：A.
7. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解.
【详解】设小球的半径为，所以小球的表面积为，所以，
在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：

因为小球的半径，
所以，
又都是等边三角形，所以，
圆台的上、下底面圆的半径分别为，
母线长
所以圆台的侧面积为，
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为，其面积为，
综上，圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为.
故选：B.
8. 若对任意均成立，则的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先必要性探路，取函数的零点，令代入原不等式解得，再根据不等式证明符合题意，进而可得的最大值.
【详解】构造，，可知在定义域内单调递增，
且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于；
则在定义域内存在唯一零点，即，可得，
若对任意均成立，即，
令可得，即，
整理可得，即，可得；
若，构造，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，则，
可得，符合题意；
综上所述：，所以实数的最大值为1.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的值域为
B. 的图象关于点对称
C. 在区间上单调递增
D. 的图象可由曲线向右平移个单位得到
【答案】ACD
【解析】
【分析】化简函数解析式，求解值域，判断选项A，利用整体法求解函数的对称中心和单调递增区间，判断选项BC，再由图象变换法则判断选项D.
【详解】对A，因为，所以函数的值域为，A正确；
对B，令，得，
所以函数图象关于点不对称，B错误；
对C，由，
得，
所以函数在上单调递增，而，
得在上单调递增， C正确；
对D，函数的图象向右平移个单位得，D正确.
故选：ACD
10. 已知首项为正数的等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. B.
C. 当时，的最小值为47D.
【答案】BC
【解析】
【分析】设出公差，由题意结合等差数列求和公式可得，再结合即可得A；借助作差法计算可得B；借助等差数列求和公式可得C；借助的值结合等差数列求和公式与作差法计算即可得D.
【详解】对A：设等差数列的公差为，
则，
，
即，
则若
若，由，则，则，不符，故，
则，由，则、，
即，故A错误；
对B：，，
故，故B正确；
对C：，则需，
由，则，则当时，，
由，则，则当时，，
故当时，的最小值为，故C正确；
对D：由
，
则
，
，
故，故D错误.
故选：BC.
11. 已知平面上一点到点，的距离满足，设点的运动轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B.
C. 点P横坐标的取值范围是
D. 当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆内部
【答案】ABD
【解析】
【分析】通过设点坐标，根据点的对称、三角形的性质、椭圆的性质，逐一分析选项.
详解】对于选项A：
设点，则关于原点的对称点为，根据两点间距离公式.
所以.
又因为，
所以.
又，所以.
所以曲线关于原点对称，所以A正确；
对于选项B：
当点与点共线时，则.
此时，所以或.
此时，
由得，
解得.
当点与点不共线时，根据三角形性质可得
，由得，
解得.
综上可得，B正确；
对于选项C ：若横坐标的范围为，取，
此时，但，矛盾，所以C错误.
对于选项D：
当点不在坐标轴上时，由B可知.
所以.
根据椭圆性质可知点在椭圆的内部.
故答案为：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算，再计算，利用数量积的夹角公式即可求解.
【详解】由题意有：，，
所以，又，
所以.
故答案为：.
13. 已知函数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求导，当时，代入求得，则，再求即可．
【详解】，
则，
当时，，解得，
所以，
，
故答案为：．
14. 某班5位同学参加3项跑步比赛，要求每人报名1项或2项，且每个项目恰有2人报名，则不同的报名方法有____种.
【答案】
【解析】
【分析】设报1项的同学有人，报2项的同学有人，根据题意得，解出，再利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】设报1项的同学有人，报2项的同学有人，
由题意有：5位同学每人报名1项或2项，3个项目每个项目恰有2人报名，总报名名额为，
所以，即恰好有1人报2项，其余4人各报1项，
第一步：先选报2项的同学有种选法，
第二步：选该同学报的2个项目有种选法，假设选的项目是和，
则项目各已有1人，还需各1人，项目还需要2人，
第三步：分配剩余4人，从4人中选1人去项目有种选法，选1人去项目有种选法，
剩余的2人去项目有种选法，共有种选法，
根据分步乘法计数原理有：种选法.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某校倡导学生为特困生捐款，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：
（1）求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算售出8箱水时的预计收益；
（2）学校决定将收益奖励给品学兼优的特困生，获奖学生每人奖励300元.已知甲、乙两名学生是否获奖是相互独立的，甲获奖的概率为，乙获奖的概率为，求甲、乙两名学生获奖总金额X的分布列及数学期望.
附：，，，，，.
【答案】（1）回归直线方程为，售出8箱水的预计收益是186元
（2）分布列见解析，数学期望为元
【解析】
【分析】（1）由题干所给数据及公式求出，即可得到回归直线方程，再令计算可得预计收益；
（2）由题意可得获奖总金额X的值为，利用独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求得分布列，进而计算数学期望即可.
【小问1详解】
依题意可得，，
所以回归直线方程为，
当时，（元），
即某天售出8箱水的预计收益是186元.
【小问2详解】
获奖总金额X的值为，
记甲获奖为事件，乙获奖为事件，根据题意可得，
所以，
，
，
所以总金额X的分布列为：
所以（元）.
16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求A；
（2）若，点D在边上，，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合题意利用余弦定理得，利用正弦定理得，进而求解；
（2）先计算，由得，进而得，最后利用余弦定理即可求解.
【小问1详解】
由余弦定理有：，
又由有：，
由正弦定理有：，
又，所以，
所以，即，
又，
所以；
【小问2详解】
由（1）有，
由有：，
又由余弦定理有：，
当时，等号成立，
所以，
所以，
所以面积的最大值为.
17. 已知正项数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）若，记数列的前n项和为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据与的关系，结合题设可得数列为2为首项，2为公差的等差数列，进而求解即可；
（2）由题意可得，进而求和即可.
【小问1详解】
由，①
当时，，即或（舍去）；
当时，，②
①②得，
得到，
则，
因为，所以，
则，即，
所以数列为2为首项，2为公差的等差数列，
则.
【小问2详解】
由，
则
.
18. 已知椭圆：经过点和.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0.
（i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点；
（ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求.
【答案】（1）；
（2）（i）证明过程见解析；（ii）1
【解析】
【分析】（1）代入和，得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）（i）设直线的方程为，联立，设，得到两根之和，两根之积，设关于x轴对称点为，则，且在直线上，根据，得到方程，求出，从而求出直线过定点；
（ii）设直线为，联立，得到两根之和，两根之积，直线为，表达出直线，联立直线得，同理可得，结合两根之和，两根之积，得到，（），由于，所以，当时，其中一个点坐标为，与重合，不合要求，从而得到结论.
【小问1详解】
将和代入可得，
解得，故椭圆C的方程为；
【小问2详解】
（i）设直线的方程为，
联立得，
，故，
设，
故，
直线，关于x轴对称，设关于x轴对称点为，
则，且在直线上，
直线的斜率存在并且不为0，故直线斜率存在且不为0，
其中，，即，
所以，其中，
所以，，
将代入可得
，化简得，代入中，
，即且，
所以直线方程为，
直线过定点；
（ii）由题意得，直线过点，设直线为，
联立得，
，
故，解得，
设，
则，
直线为，直线为，
联立直线与直线得，同理可得，
，
其中，
故
将代入得
，（），
由于，所以，
当时，直线为，
联立得，即，解得或2，
当时，，当时，，即其中一个点坐标为，
与重合，不合要求，
综上，
19. 设函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意，都有，求的最大值；
（3）已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：.
附：.
【答案】（1）
（2）
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义得到切线方程；
（2）利用端点效应，得到，再证明时，在上恒成立，得到答案；
（3）在，设，所以，，故，故为等差数列，故，故，，由（2）知，，，故，求出，所以.
【小问1详解】
，，
，
故，
故曲线在处的切线方程为；
【小问2详解】
对任意，都有，
其中，，
令，
则，，
令，
则，其中，
令，即，解得，
下面证明时，在上恒成立，
，
令，，注意到，
则，注意到，
令，则，注意到，
令，则，
其中在上恒成立，令，，
故，故在上单调递减，
其中，故在上恒成立，
故在上恒成立，
故在上恒成立，
故在上单调递增，
故，故在上单调递增，
，故在上单调递增，
，故，
所以，的最大值为；
【小问3详解】
令，则，
均大于0，设，
因为，，
所以，，
显然，，若，，上式不成立，
由于在上单调递增，
故，，，
故为等差数列，首项和公差均为，故，，
故，，
，
由（2）知，，
所以，，
，
因为，所以，
所以，，
所以，
其中，
所以.
售出水量x（单位：箱）
7
6
6
5
6
收益y（单位：元）
165
142
148
125
150
0
300
600