四川省成都市成华区某校2026届高三数学上学期12月一诊考前模拟试题含解析

这是一份四川省成都市成华区某校2026届高三数学上学期12月一诊考前模拟试题含解析，共22页。试卷主要包含了 已知集合，，是实数集，则， 设双曲线C， 设直线与圆， 设，函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，是实数集，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求得集合，进而得到，进而根据交集的定义计算即可.
【详解】因为或，
所以，
又，
所以.
故选：B.
2. 若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的运算法则及几何意义求解即可.
【详解】由，得，
所以在复平面内z对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：,又因为是与的等比中项,所以，即，解之得，所以，故选D.
考点：1.等差数列定义与性质；2.等比数列的定义与性质；3.等差数列的前项和.
【名师点睛】本题考查等差数列定义与性质、等比数列的定义与性质、等差数列的前项和，属中档题；解决等差数列与等比数列相关问题最常用的方法就是基本量法，即用首项及公差，公比来表示已知条件，列出方程或方程组，求出就可以解决受益人问题.
4. 设双曲线C：的左､右焦点分别为，，以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段的中点，则双曲线C的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由焦点到渐近线的距离求出半径，再利用该圆过线段的中点得到，即可求出离心率,
【详解】由题意知：渐近线方程为，由焦点，，
以为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线相切，
则圆的半径等于圆心到切线的距离，即，
又该圆过线段的中点，故，
所以离心率为.
故答案为：.
5. 登山运动员 人， 平均分为两组， 其中熟悉道路的有4人， 每组都需要 人， 那么不同的分配方法种数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理及组合的平均分组问题即可求解.
【详解】先将4个熟悉道路的人平均分成两组有种.
再将余下的6人平均分成两组有种.
然后这四个组自由搭配还有种，
故最终分配方法有种
故选：B.
6. 设直线与圆：相交于，两点，若，则圆面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理的逆定理建立的等式，计算出的值，利用圆的面积公式求解.
【详解】：圆心为，半径为，
到直线的距离为，
，，，，
圆的面积为.
故选：A.
7. 已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用辅助角公式及函数的对称性求出，即可得到函数解析式，再求出函数在上的单调性，求出端点函数值与最大值，依题意与在上恰有两个交点，即可求出参数的取值范围.
【详解】因为（其中），
又函数的图象关于直线对称，且，
所以，解得，
所以，
当时，则，
令，解得，且，
令，解得，且，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，，，
因为方程在上恰有两个实数根，即与在上恰有两个交点，
所以，即的取值范围是.
故选：C
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（ ）
A. 2025B. 2024C. 1013D. 1012
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和函数的对称性可得，进而，则函数是以8为周期的周期函数，分别求出的值，结合函数的周期即可求解.
【详解】由，令，得，所以.
由为奇函数，得，
所以，故①，
又②，
由①和②得，
即，
令，则，
所以③，
令，得，得；
令，得，得.
又④，
由③-④得，即，
所以函数是以8为周期的周期函数，故，
所以，
所以.
故选：A
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ）
A 若，则事件与B相互独立
B. 若A与B相互独立，则
C. 若A与B互斥，则
D. 若B发生时A一定发生，则
【答案】AB
【解析】
【分析】利用独立事件的定义判断A；利用并事件的概率公式判断B；利用互斥事件的概率公式判断C；分析可知判断出D.
【详解】对于A，由，，得，
显然，因此事件与相互独立，A正确；
对于B，若与相互独立，则，
因此，B正确；
对于C，若与互斥，则，C错误；
对于D，若发生时一定发生，则，，D错误.
故选：AB
【点睛】关键点点睛：判断两个事件相互独立的关键是利用相互独立的定义，即事件相互独立，则，反之亦然.
10. 设，函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在，使得
B. 函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线
C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为
D. 函数的极小值点为
【答案】BD
【解析】
【分析】构造函数，通过求导分析单调性可得选项A错误；根据两函数互为反函数，结合函数图象特征可得选项B正确；设图象上任意一点坐标，利用点到原点的距离公式结合基本不等式可得选项C错误；通过求导分析单调性可得选项D正确.
【详解】对于A：设，则，
由得，由得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即恒成立，选项A错误.
对于B：由得，即，
所以函数与函数互为反函数，图象关于直线对称，
结合图象可得函数与的图象都过原点，直线为函数与唯一的公切线，选项B正确.
对于C：设点为函数图象上任意一点，则，当且仅当时等号成立，选项C错误.
对于D：令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故是函数极小值点，选项D正确.
故选：BD.
11. 如图，在平面四边形中，，将沿折起，使点到达点的位置，下面正确的是（ ）

A. 为线段上的动点，则的最小值为
B. 异面直线与所成角的余弦值取值范围是
C. 若平面平面在三角形内部，，则轨迹长度为
D. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项在翻折前的平面四边形中，当共线，即的长就是的最小值，结合余弦定理求解即可；B选项，利用空间向量表示异面直线夹角的余弦值；C选项，先由等体积法可求得点到平面的距离，则可得在平面内，的轨迹为圆，但要判断此圆是否完全在三角形内；D选项，分析体积最大时的几何关系，由直角三角形斜边中线性质可得出圆心半径， 求出表面积.
【详解】A选项，在直角三角形中，，则，
在直角三角形中，，则，
对于线段上的任意动点，翻折前后总有，
对于翻折前的平面四边形，当共线，即的长就是的最小值，
由于，由余弦定理可得，故A正确；

B选项，，
，
，
对于，翻折前为，由于，则可完全翻折使得在直线 上，
由于需要是异面直线，故，，则，
在三角形中可求得，
则，故B正确；
C选项，由平面平面，交线为，平面，可得平面，
则，可得，则，即三角形为直角三角形，
作平面，垂足为，
则由即可得，
则，即在平面内，的轨迹是为圆心，1为半径的圆，
对于三角形，由等面积可得其内切圆半径，
则在三角形内部，的轨迹不是完整的圆，故长度不是，C错误；

D选项，三棱锥的底面积不变，长度不变，
由选项C得当平面平面时，平面，此时体积最大，
且此时三角形，都是以为斜边的直角三角形，
则取中点，可得，
则三棱锥的外接球半径为2，表面积为，故D正确；
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，且，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】先求出的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，
所以，
又，
所以，即.
故答案为：.
13. 某一随机变量X的分布列如下表，且，则______.
【答案】8
【解析】
【分析】根据题意可得，即可求得的值，进而结合期望公式可求得，进而得到.
【详解】由题意，得，解得，
所以，
所以.
故答案为：8.
14. 已知平面四边形中，，，，，则该平面四边形面积的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据余弦定理可得，进而表示出四边形面积，进而得到，进而求解.
【详解】连接，由余弦定理得，
，
即，
即，
又四边形的面积
，
则
，
即，即，
当且仅当时，等号成立，
所以平面四边形面积的最大值为.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角C大小；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理及同角三角函数的基本关系化简求解即可；
（2）由三角恒等变化可得，再由正弦型三角函数的值域求解即可.
【小问1详解】
由已知及余弦定理，化简，
可得，
∴，
∵为锐角，∴．
【小问2详解】
由正弦定理，得，
，
由，
可得：，，
∴．∴．
16. 已知动点与定点距离和P到定直线的距离的比是常数，记点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的标准方程；
（2）设点，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且，，求直线FM的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据距离公式列出方程即可求解；
（2）设，可得直线的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求解.
【小问1详解】
由题意，，
整理化简得，，
所以曲线C的标准方程为.
【小问2详解】
由题意，直线的斜率都存在，设，
则直线的方程为，
分别延长，交曲线于点，
设，
联立，即，
则，
根据对称性，可得，
则
，
即，解得，
所以直线FM的斜率为.
17. 如图，在三棱锥中，平面，，，点M，N分别是线段SB，AC上的动点，且满足.
（1）证明：平面；
（2）当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AMN所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据平面可得，再根据线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，表示出，进而确定线段MN的长度最小时的值，再根据空间向量求解即可.
【小问1详解】
因为平面，平面，
所以，
又，，平面
所以平面.
【小问2详解】
以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，，
所以，，
所以，
所以当时，最小，
此时，，
则，，
设平面AMN的一个法向量为，
则，即，
取，则，又，
设直线SC与平面AMN所成角为，
则，
即直线SC与平面AMN所成角的正弦值为.
18. 今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.
经计算可得：，，.
（1）因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；
（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为，求；
（3）请依据下列定义，解决下列问题：
定义：如果对于任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a.
运用：记（2）中所得概率的值构成数列.求的最值，并证明数列收敛.
参考公式：，.
【答案】（1）
（2）
（3）最大值为，最小值为，证明见解析
【解析】
【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出的值，进而得到y关于t的经验回归方程；
（2）由题意可知，，其中，，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；
（3）分为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．
【小问1详解】
由题意，，，
则，
，
所以y关于t的经验回归方程为.
【小问2详解】
由题意，可知，，
当时，，即，
又，
所以当时，数列为各项都为1的常数列，
即，
所以，，又，
所以数列为首项为公比为的等比数列，
所以，即.
【小问3详解】
由（2）知，，
当为偶数时，，且随的增大而减小，
因此的最大值为；
当为奇数时，，且随的增大而增大，
因此的最小值为，
综上所述，的最大值为，最小值为.
对于任意，总存在正整数，其中表示不超过的最大整数，
当时，，
所以数列收敛于.
【点睛】知识方法点睛：与新定义有关的问题的求解策略：
1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；
2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.
19. 已知函数．
（1）当，求在点处的切线方程；
（2）当，求函数的零点个数；
（3），求整数的值．
【答案】（1）
（2）个
（3）或
【解析】
【分析】（1）借助导数几何意义计算即可得；
（2）当时，借助导数合理放缩可得其单调性，结合零点存在性定理可得其在该范围内零点个数，当时，分、、以及，再合理放缩即可得解；
（3）分、、与进行讨论即可得.
【小问1详解】
当时，，则，
有，又，
故在点处的切线方程为；
【小问2详解】
，定义域为，，
①，因为，所以在上单调递增．
又因为，
由零点存在性定理可得，存在使得．
②当且，
因此恒成立，即在该区间内无零点．
③当时，．
因为，
所以在区间上单调递减．
.
因为，所以，在上，故该区间内无零点．
④当时，，
因此该区间内也无零点．
综上，函数在上仅有一个零点．
【小问3详解】
函数，由题意．
当时，对于任意恒成立，
当时，由（2）知在上恒成立．
当且时，取，有，
由于且，故，与矛盾．
综上所述，的值为0或1．
X
0
1
2
3
P
0.1
m
0.2
n
星期t
1
2
3
4
5
6
销售量y（张）
218
224
230
232
236
90