西南大学附属中学校2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份西南大学附属中学校2025届九年级上学期1月期末考试数学试卷(含解析)，共32页。
1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡收回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A. B. 3.14C. D. 0
答案：C
解：∵，
∴最大的数是，
故选：C．
2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：由题意知，主视图如下，
故选：C．
3. 如果一个正多边形的每个外角都等于，那么它是（ ）边形．
A. 七B. 八C. 九D. 十
答案：C
解：∵一个正多边形的每个外角都等于，
∴，
故选：C．
4. 若反比例函数的图像经过第二、四象限，则点在第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
答案：D
解：∵反比例函数的图像经过第二、四象限，
∴，
∴在第四象限，
故选：D．
5. 下列命题正确的是（ ）．
A. 两直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 等腰三角形的高线，中线，角平分线“三线合一”
C. 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 四边相等的四边形是正方形
答案：C
解：A、两条相互平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故原选项错误，不符合题意；
B、等腰三角形的底边上的高线，中线，顶角的平分线“三线合一”，故原选项错误，不符合题意；
C、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，符合题意；
D、四边相等的四边形是菱形，故原选项错误，不符合题意；
故选：C ．
6. 估计的值应在（ ）
A. 1和2之间B. 3和4之间C. 5和6之间D. 7和8之间
答案：B
解：由题意可得，
，
∵，
∴，
故选：B．
7. 干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2000年为例：天干为；地支为；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
依据上述规律推断2025年为农历（ ）年．
A. 乙巳B. 戊申C. 乙申D. 戊巳
答案：A
解：天干为：，
地支为：，
∴2025年为农历乙巳年，
故选：A．
8. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：∵在中，，，
∴，，
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，，，
∴图中阴影部分面积为
，
故选：B．
9. 如图，在边长为2的正方形中，点是对角线延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，且经过线段的中点，延长交的延长线于点．则的长度为（ ）
A. 3B. C. D.
答案：A
解：如图所示，连接交于点，与交于点，
∵四边形是边长为的正方形，
∴，，，，
在中，，
∴，
∵，，
∵将AE绕点逆时针旋转得到AG，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
∴，
∵点是中点，
∴，
∴，则（负值舍去），
∴，
在中，，、
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
10. 将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（ ）．
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：B
解：①经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到，经过第三次操作后得到，
则由题意，得，解得，故①错误；
②经过第一次操作后得到，
经过第二次操作后得到，即，
经过第三次操作后得到，
经过第四次操作后得到，即
经过第五次操作后得到，
经过第六次操作后得到，即，
……，
依次类推，
经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为，故②正确；
③经过第一次操作后得到，
经过第二次操作后得到，即，
经过第三次操作后得到，
经过第四次操作后得到，即，
经过第五次操作后得到，
经过第六次操作后得到，即，
……，
依次类推，，，，，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
同理直线的表达式为，
可得两直线相交于坐标原点，
若直线与直线互相垂直时，则有，
∵，
∴，，
由得：，
整理，得，
解得，故③错误，
综上，正确的有1个，
故选：B．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 已知函数，则自变量的取值范围是________________．
答案：
解：函数，
∴，
解得，，
故答案为： ．
12. 高考“”选科模式是指除语文、数学、外语3门科目以外，学生应在历史和物理2门首选科目中选择1科，在政治、地理、化学、生物4门再选科目中再选择两科．某同学从4门再选科目中随机选择两科，恰好选择生物和政治的概率为________________．
答案：
解：由题意可得，树状图如图所示，
，
总共有：种组合，需要的有2种，
∴，
故答案为：．
13. 在等腰中，，点M，N分别是边，上的点，与相交于点，过点作交于点，若，且，则的值为________________．
答案：
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若关于的不等式组有且只有两个奇数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和为________________．
答案：
解：解不等式组得，
，
∵不等式组有且只有两个奇数解，
∴，即，
解分式方程得，
，
∵关于的分式方程有整数解，
∴或或或，
∴，
故答案为：．
15. 如图，为圆的直径，过圆外一点作圆的两条切线，交圆于B，D两点，弦于点，连接交于点，交圆于点，已知，则的长为________________；则的长为________________．
答案： ①. ②.
解：连接、、、、，如图，
设圆的半径为r，
∵，，
∴，
∴中，由得，
解得，则；
∵为圆的直径，
∴，即，
∵过圆外一点作圆的两条切线，交圆于B，D两点，
∴，，又，
∴垂直平分，
∴，
∴，又，
∴，则，
∴；
∵，，
∴，则，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，
解得，
∴，
故答案为：，．
16. 一个各位数字均不为0的四位数，且满足各数位数字之和能被十位数字整除，则称这个四位数为“希福数”．若为“希福数”，则________________；将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，将的个位数字放在千位数字前记为，规定．已知一个四位数（，，）是“希福数”，若能被6整除，则满足条件的的最大值与最小值的和为________________．
答案： ①. 2 ②.
解：∵为“希福数”，
∴能被9整除，即为整数，且，
∴，
故答空1答案为：2；
∵是“希福数”，
∴能被整除，
∴能被整除，
∵，，，
∴，
，
∴，
∵，，，
∴
∵能被6整除，
∴或或或或或或或，
∵能被整除，
∴最小值为，，，即，
∴最大值为，，，即，
∴，
故答空2答案为：．
四、解答题：本大题共8小题，17题16分，其余每小题10分，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小西进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交，这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空．
（1）如图，在平行四边形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）已知，平行四边形，点分别是上的点，且垂直平分，求证：四边形是菱形．
证明：在平行四边形中，，
① ，
垂直平分，
② ，，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
③ ，
四边形是菱形．
进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则 ④ ．
答案：（1）作图见解析
（2），，，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形
【小问1详解】
解：如图所示，直线、线段和即为所求；
【小问2详解】
证明：在平行四边形中，，
，
垂直平分，
，，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形．
理由：同理上可得，四边形是菱形．
故答案为：，，，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形．
19. 西大附中09届校友储卫民荣获“2024年感动重庆十大人物”提名奖．他策划拍摄的《火车看中国》《不一样的中国》《中国新塔》等系列作品，不仅仅是一幅幅美丽的风景照，更是一个个充满故事的画面，通过人物情感、表情与环境的互动，展现出中国人民的勤劳、善良和勇敢，向世界真实展现当代中国的发展变化，看到一个真实、美丽、充满活力的中国．小福是我校初三年级的学生，更是储卫民的粉丝，为了了解同学们对储卫民的喜爱程度，他在初三（1）班和（2）班各随机抽取了20位同学展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，共分成4组，其中A：为不喜欢，B：为比较喜欢，C：为喜欢，D：为非常喜欢），下面给出了部分信息：初三（1）班20名学生评分数据的扇形统计图如图所示：其中评分在D：的学生评分为：91，91，92，93，94，95，97，98，99，99，99，99，99，根据信息，解决下列问题：
初三（2）班20名学生的评分数据整理如表：
两组数据的平均数，众数，中位数，如表所示：
分数
70
81
83
85
88
91
92
94
96
100
人数
1
1
2
0
1
3
2
4
1
5
班级
平均分
中位数
众数
（1）填空：____________，____________，____________．
（2）根据以上数据，你认为哪一个班级的同学更喜欢储卫民，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校初三年级共1600人，估计初三年级对储卫民“非常喜欢”的人数？
答案：（1）92.5，100，20
（2）初三（2）班的同学更喜欢储卫民，理由见解析
（3）1000人
【小问1详解】
解：将初三（1）班评分数据从大到小排列，第10个数据是93，第11个数据为92，
∴中位数，
初三（1）班
91.7
99
初三（2）班
91.7
93
∵初三（1）班评分在D：的学生有13人，占，
∴；
根据初三（2）班表格数据，评分为100分的有5人，人数最多，
∴众数，
故答案为：92.5，100，20；
【小问2详解】
解：我认为初三（2）班同学更喜欢储卫民，理由是：初三（2）班的评分数据中位数和众数都高于初三（1）班的评分数据，故初三（2）班的同学更喜欢储卫民；
【小问3详解】
解：由题意，初三（1）班对储卫民“非常喜欢”的有13人，初三（1）班对储卫民“非常喜欢”的有15人，
∴初三年级对储卫民“非常喜欢”的人数有人．
20. 北碚玻璃器皿成型刻花工艺，是流行于重庆市北碚区的传统手工技艺，也是市级“非物质文化遗产”之一．其突出了玻璃制品刻花和精雕工艺的特色，更加突出了手工工艺在玻璃制品上的再创造；通过手工刻花工艺，使用粗砂、细砂砂轮切削后抛光等工艺，展现出玻璃制品晶莹剔透、高雅华贵的品质．精雕工艺的创新，使玻璃工艺的表现形式更加丰富多彩．为推进玻璃器皿销售，渝礼堂准备购进花瓶和茶具，其中茶具的进价比花瓶的进价少元，已知花瓶的售价为每件元，茶具的售价为每件元，若用元购进花瓶的数量与用元购进茶具的数量相同．
（1）求茶具、花瓶每件的进价各是多少元；
（2）已知渝礼堂月份卖出花瓶个，茶具套，1月份购进花瓶和茶具若干．为增加1月份花瓶的销量，渝礼堂采取降价措施．据市场调查发现，在月的基础上，若花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，1月份茶具售卖的数量和价格与月份一样．若渝礼堂1月份卖出的花瓶和茶具共获利元，则花瓶的售价应降价多少元？
答案：（1）茶具每件的进价是元，花瓶每件的进价是元；
（2）花瓶的售价应降价3元．
【小问1详解】
解：设花瓶的进价为元，则茶具的进价为元，由题意可得，
，
解得：，
∴，
答：茶具每件的进价是元，花瓶每件的进价是元；
【小问2详解】
解：设花瓶的售价降价元，
∵花瓶的售价每降低1元，可多售出2个，
∴花瓶售出的数量为：，
由题意可得，
，
解得：，（不符合题意舍去），
答：花瓶的售价应降价3元．
21. 如图1，在四边形中，，，连接．点从出发，沿运动，到点停止运动．点在上运动速度为每秒1个单位长度，在上运动速度为每秒个单位长度，设的运动时间为的面积为．
（1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围；
（2）在图2的平面直角坐标系中画出的函数图象；并写出函数的一条性质；
（3）若直线与函数的图象有2个交点，请结合函数图象直接写出的取值范围．
答案：（1）
（2）作图见详解，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）
（3）
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
在中，，
当点在上时，如图所示，过点作于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵点在上运动速度为每秒1个单位长度，设的运动时间为，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，即；
当点在上时，如图所示，
∵在上运动速度为每秒个单位长度，
∴点在上运动时间为，
∴，
∴，
∴与的函数关系式为；
【小问2详解】
解：如图所示，
根据图示可得，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（答案不唯一）；
小问3详解】
解：根据（2）中的图形及解析式可得，
在中，当时，，当时，；
在中，当时，，当时，；
直线中，当时，，当时，，
∴直线过，如图所示，
当时，，则直线于函数的图象有一个交点，
∴；
当直线过点时，，则直线，
∴，
解得，，即直线于函数有两个交点，交点为，符合题意；
当直线过点时，，此时直线于函数只有一个交代，不符合题意；
综上所述，直线与函数的图象有2个交点时，．
22. 如图，是某公园平面图，景点在入口的正东方向1400米处，景点在入口的东北方向1200米处，景点在景点正北方向，景点在景点北偏东方向，在景点的正东方向，且景点在景点的北偏东方向．（参考数据：，）
（1）求景点到的距离（结果保留根号）；
（2）小希与小福同时从出发，小希选择路线游玩，小福选择路线游玩，但当小福到时接到通知处有施工无法通行（接通知的时间忽略不计），于是小福选择的小路继续到，若在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，请通过计算说明小希与小福谁先到达处？
答案：（1）米
（2）小希先到达处
【小问1详解】
解：过E作于F，延长交于H，如图，则，
由题意，得，，，，，，，
∴是等腰直角三角形，，
∴
∴，，
由得，
解得，
即景点到的距离为米；
【小问2详解】
解：由题意，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，则，
由得，
∴，
∴小希走的路程为（米），
小福走的路程为（米），
∵在整个过程中，小希与小福的速度均相同且保持不变，，
∴小希先到达处．
23. 如图，拋物线与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点是线段上方抛物线上一动点，过点作轴交线段于点，点为轴上一动点，点为拋物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求的最小值；
（3）将拋物线沿方向平移，平移后的抛物线经过，点为平移后抛物线上一动点，原拋物线的对称轴交轴于点，当时，求所有符合条件的点的坐标，并写出其中一种情况的解答过程．
答案：（1）
（2）
（3），，解答过程见解析
【小问1详解】
解：∵拋物线与轴交于两点，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，则，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
由题意，设，，则，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值，此时，
如图，作点P关于y轴的对称点，连接，，，
则，，
∵拋物线与轴交于两点，
∴点A、B关于直线对称，
∴，
∴，当A、N、M、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，
∵，
故的最小值为；
【小问3详解】
解：由得抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∵将拋物线沿方向平移，
∴设抛物线向左平移个单位，再向下平移m个单位，得到新抛物线，
则平移后的抛物线解析式为，
∵平移后的抛物线经过，
∴，解得，（舍去），
∴新抛物线的解析式为，
当在上方时，如下图，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，（舍去），
则T坐标为；
当在下方时，如上图，设即与y轴相交于S，
∵，，
∴，又，，
∴，
∴，则，
设直线的解析式为，
将代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
联立方程组，解得，（舍去），
故即T的坐标为，
综上，满足条件的所有点T坐标为和．
24. 如图，在等边三角形中，点在线段上移动，连接，将线段绕点顺时旋转得到线段，连接交线段于点．
（1）如图1，若，求的长度；
（2）如图2，当三点共线时，连接，点为中点，过点作于点，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点，连接，请直接写出的最小值．
答案：（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵将线段绕点顺时旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，延长至，使得，连接
∵点为中点，
∴，
在中，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
中，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，即垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，即
又∵，
∴，则，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，以为边在左侧作等边，连接，，
∵点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，
∴，
∵是的中点，
∴，即点在为圆心为半径的圆上运动，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点，
∴，，
∴，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，
∴
当运动到线段上时，取得最小值，最小值为．