湖北省楚天协作体2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

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1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线标准方程得出即可得出离心率.
【详解】因为双曲线，所以，
所以，所以，所以离心率为.
故选：A.
2. 直线的纵截距为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】令求出所对应的的值，即可得解.
【详解】对于直线，令，即，解得，
所以直线的纵截距为.
故选：B
3. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的基底表示结合向量的数量积和模长的计算即可.
【详解】，
所以，
因为三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，
所以，
所以.
故选：C.
4. 关于直线的方程下列说法错误的是（ ）
A. 经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示
B. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示
C. 方程（、不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线
D. 不经过原点的直线都可以用方程来表示
【答案】D
【解析】
【分析】根据点斜式判断A，根据两点式判断B，根据一般式判断C，举反例判断D.
【详解】对于A：由直线方向向量为，可得该直线的斜率为，
又由直线过定点，可得直线方程为，故A正确；
对于B：设是该直线上的任意一点，则，，
由，可得，
即经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示，故B正确；
对于C：直线的一般式方程（、不同时为零）可以表示平面内的任意一条直线，故C正确；
对于D：不过原点但在轴或轴上无截距的直线（）或（）不能用方程表示，故D错误.
故选：D.
5. 已知圆，圆，M、分别是圆、上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，计算出，即可得出的最小值.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为1，
在圆中，圆心，半径为3，
是直线上的动点，连接，，
则的最小值为，的最小值为，
则的最小值为.
设圆心关于直线的对称点为，
连接，，

则解得，
故，
∴，
∴的最小值为.
故选：C.
6. 已知直线与椭圆相交于，两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，，利用点差法计算可得.
【详解】依题意直线的斜率存在，设，，
则，即，
又，所以，
即，所以，
即，所以直线的斜率为.
故选：B
7. 正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可.
【详解】点在上，点在上，
则的长度最小值即异面直线和的距离，
以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
设为直线和的法向量，
又因为，，，
则，令，则，
所以异面直线和的距离为，
即长度最小值为.
故选：C.
8. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，直线与双曲线在第一、三象限分别交于点A，B，O为坐标原点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用为正三角形得到点，代入双曲线方程化简，得到离心率的齐次式计算可得.
【详解】因为为正三角形，，所以，
因为点在双曲线上，
所以，化简得，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以.
故选：D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为
B. 若空间向量，满足，则与夹角为锐角
C. 若A，B，C三点不共线，平面外任一点，有，则M，A，B，C四点共面
D. 若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量
【答案】AC
【解析】
【分析】由对称特征求出点的坐标判断A；举例说明判断BD；利用共面向量定理的推论判断C.
【详解】对于A，点关于轴对称点的坐标为，A正确；
对于B，当时，可能同向共线，此时夹角为，B错误；
对于C，平面外任一点，，由，得四点共面，C正确；
对于D，当时，，它不能作为平面的法向量，D错误.
故选：AC
10. 已知圆，点是圆上的任意一点，则以下说法错误的是（ ）
A. 的取值范围是
B. 的最大值为3
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据斜率定义，设出动点所在直线，结合圆的性质，利用点到直线距离公式，建立不等式，可得其正误；对于B，利用参数方程，结合三角函数的恒等式以及性质，可得其正误；对于C，利用两点距离公式，根据圆与点的位置关系，可得其正误；对于D，利用点到直线距离公式，根据圆与直线的位置关系，可得其正误.
【详解】由题可知圆的圆心为，半径为1，
设，则，又点是圆C上的任意一点，
所以，解得，
所以的最大值为，最小值为，故A正确；
设，，
则，
当时，取最大值，故B错误；
表示点P到点距离，
因为圆心到点的距离为，
故的最大值为，最小值为，故C错误；
，表示点P到直线距离的倍，
因为圆心到直线的距离为，
故点P到直线距离的最小值为，
故的最小值为，故D正确.
故选：BC
11. 已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与直线相交于M，N两点.则下列说法正确的是（ ）
A. 焦点的坐标为B.
C. 的取值范围是D. 与的面积之比为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，根据抛物线的标准方程，结合焦点的概念，可得其正误；对于B，设出直线，联立抛物线方程，利用韦达定理，可得其正误；对于C，利用向量的坐标，根据数量积的坐标公式，可得其正误；对于D，根据三角形面积公式，可得其正误.
【详解】由题意知抛物线方程为，其焦点坐标为，故A错误；
显然直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，
联立，消去得到，
，，，故B正确；
由抛物线性质知，，
则，当且仅当时，故C正确；
显然，根据相似三角形可得与，
（定值），故D错误.
故选：BC.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若直线的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线与平面所成角的余弦值为_____.
【答案】##
【解析】
【分析】由空间线面角的公式计算可得.
【详解】设直线与平面所成角为，
依题意，，.
故答案为：.
13. 已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，若，则直线过定点_____.
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线的定义及焦半径公式求出，即可得到抛物线方程，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由，得到，即可求出的值，从而得解.
【详解】抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线，
依题意直线，，的斜率必存在，
设直线的方程为，，，
联立方程，消去整理得，
则，，，
因为，
所以，
即
，
解得或（舍去），满足，此时直线的方程为，
所以直线过定点.
故答案为：
14. 已知的三个顶点分别是，，，则角平分线所在的直线方程为_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的坐标表示先求出与和同方向的单位向量，然后由向量的加法可得角平分线所在的直线的方向向量，再利用方向向量和直线的点斜式方程计算可得.
【详解】由题意知：，，
故与同方向的单位向量为：，
与同方向的单位向量为：，
故角平分线所在的直线的方向向量为：，
设角平分线所在的直线的斜率为，
又直线的方向向量可以表示为，，直线又过，
故角平分线所在的直线方程为：，即.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 求满足下列条件的曲线的标准方程：
（1）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过，两点，求的标准方程；
（2）求过点的抛物线的标准方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设双曲线的方程为，，代点，列方程组求解；
（2）分开口向左、开口向上两种情况，分别设标准方程，代点求解
【小问1详解】
设满足题意双曲线的方程为，，
双曲线经过，两点，则有，解得，
则满足题意的双曲线的标准方程为；
【小问2详解】
由于点在第二象限，所以过的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左，焦点在轴上，设其方程为，
将点代入，可得，所以，
所以抛物线的方程为；
若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为，
将点代入可得，所以，
所以抛物线的方程为,
综上所述，抛物线的标准方程为或
16. 若动点满足（其中点A，B是不重合的两个定点），则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足.
（1）求点的轨迹方程并指出点的轨迹形状；
（2）若直线过点且与点的轨迹相切，求直线的方程.
【答案】（1），点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆.
（2）或
【解析】
【分析】（1）设，利用距离公式得到方程，整理即可得解；
（2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离等于半径得到方程，解得即可.
【小问1详解】
设，因为，，点满足，
所以，
平方化简得，即，
所以点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆.
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，直线的方程为时，
此时圆心到直线的距离为2，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，所以直线的方程为，即；
综上所述，直线的方程为或
17. 在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于M，N两点，是的右焦点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆与圆之间的位置关系，可得动圆圆心与两定圆圆心的距离之和，结合椭圆的定义，可得答案；
（2）设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式，利用基本不等式，可得答案.
【小问1详解】
圆，即，得圆心，，
圆，即，得圆心，，
因为，所以圆内含于圆.
设动圆的半径为，则由已知得，，
所以，
则动圆圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，.
故轨迹C的方程为
【小问2详解】
设直线，，，，
联立，消去，整理得，
，得，，
由，
由于，则，
，
令，则，
，
当且仅当，即，即时，等号成立，
所以面积的最大值为.
18. 如图，在正四棱锥中，，E，F分别为PB，PD的中点.设平面平面.
（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的正切值；
（3）若平面与棱交于点，求的长度.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理可得；
（2）设，连接，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解可得；
（3）连接，设，由向量的坐标运算求出，再利用计算可得.
【小问1详解】
在中，因为E，F分别为，PD的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以.
【小问2详解】
设，连接，
因为为正四棱锥，所以为正方形的中心，
所以，平面
以为原点，，OB，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意可知，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则
因为平面，所以为平面的法向量，
设平面与平面夹角为，
则，故.
【小问3详解】
连接，设，所以，
因为，所以，
已知平面的法向量为，
所以平面的法向量为，
由平面，可知，
即，解得，，故.
19. 已知点在曲线上运动，动点与定点的距离与到定直线的距离之比为2.
（1）求曲线的方程；
（2）若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧.求直线斜率的取值范围；
（3）若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为.求证：直线过定点并求定点坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，定点
【解析】
【分析】（1）问根据直接法求出轨迹方程即可；
（2）小问根据点斜式写出直线方程，代入曲线E,整理成关于x的一元二次方程，结合判别式和两根之积是负值计算求得即可；
（3）问设出直线方程后代入曲线整理成关于y的一元二次方程，根据交点在一四象限，利用根与系数的关系转化分析计算即可求出定点。
【小问1详解】
设，由动点到定点的距离和它到直线距离之比为2，
可得，化简得，即，
故点的轨迹的方程为
【小问2详解】
由题意可知，当直线斜率不存在时，因为直线过,此时直线方程是,
显然与曲线没有交点，不符合题意；
当直线斜率存在时，因为直线过,设直线方程为，
直线与曲线的两个交点分别是，，联立方程得
，将代入,
消去整理得，，因为直线与曲线有两个不同交点，
所以,且，又因为直线与曲线的交点分别在轴两侧，
所以,
解得，将代入判别式,显然满足判别式大于，
所以直线斜率的取值范围为
【小问3详解】
设，点，，
由可得，
因为与E在第一象限和第四象限各有一个交点，此时,所以，
且，，
由题可得，直线的斜率,其中，
又因为直线过，所以直线方程是，
令，则
又因为
.即直线恒过定点.