2024年中考数学（南通）第三次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（南通）第三次模拟考试（含答案），共41页。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．全体实数B．C．D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．某校为落实“双减”政策，每周星期三下午开展“”活动，为学生全面发展搭建平台．小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．赫米纳尔·丹德林是一位著名的法国数学家．他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果，并且举世闻名的丹德林双球（如图）就以他的名字命名．在双球中，一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行．利用这个模型，丹德林证明了平面截圆锥的截面为椭圆．若图中所示为该模型的正面，且该模型不具有透光性，则丹德林双球的正视图为（ ）
A． B． C． D．
6．在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表：
若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（ ）
A．39B．40C．41D．42
7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．8B．9C．10D．与的值有关
8．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．无法确定
9．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点．设，则关于的函数图像大致为（ ）
A． B． C． D．
10．已知非负数，，满足，，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每题4分，共30分）
11．因式分解： ．
12．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为 ．
13．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒．每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒．要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为 ．
14．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，过点作轴于点，连接．若的面积为，则的值为 ．
15．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度．坡底，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是，点E，A，C在同一水平线上，则建筑物的高为 （结果用含有根号的式子表示）
16．如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ．
17．如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ．
18．如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（12分）计算：
(1)不等式组的解集；
(2)计算：．
20．（10分）随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．
(1)若由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；
(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．
21．（10分）近期教育部表示 “双减”依然是今年工作中的“重中之重”，作为“双减”政策落地后第二个学期，不少学校的作业总量已经大幅减少．依据政策要求，初中书面作业平均完成时间不超过分钟，学生每天完成作业的时长不能超过小时．某中学自纠自查，对本校学生的作业情况进行了抽样调查，统计结果如图所示：
(1)这次抽样共调查了 名学生，并补全条形统计图；
(2)计算扇形统计图中表示作业时长为小时对应的扇形圆心角度数为 ；
(3)若该中学共有学生人，请据此估计该校学生的作业时间不少于小时的学生人数；
(4)通过本次调查，你认为该学校作业布置是否满足教育部的“双减”政策要求？请说明理由．
22．（10分）如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积．
23．（10分）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接；
(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
24．（12分）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底为10米处的点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线．当无人机飞越坡底上空时（即点），与地面的距离为20米．
(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
25．（13分）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
实践探究：（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
问题解决：（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
26．（13分）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
(1)反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
(2)若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；
(3)若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
2024年中考第三次模拟考试（南通卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．全体实数B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可．
【详解】解；∵分式有意义，
∴，
∴，
故选：B．
2．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、负整数指数幂．根据同底数幂的乘除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、负整数指数幂法则进行解题即可．
【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意；
B、，故该项不正确，不符合题意；
C、，故该项正确，符合题意；
D、，故该项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是数轴和绝对值，从数轴中提取已知条件是解题的关键．
根据数轴可知，，由此逐一判断各选项即可．
【详解】解：根据数轴可知，，
∵，故选项A不符合题意；
∵，故选项B不符合题意；
∵，故选项C不符合题意；
∵，故选项D符合题意；
故选：D．
4．某校为落实“双减”政策，每周星期三下午开展“”活动，为学生全面发展搭建平台．小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是多边形内角和，熟知多边形内角和公式是解答此题的关键．
先根据五边形内角和定理得出，再根据进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得，，
∵，
∴，故选：C．
5．赫米纳尔·丹德林是一位著名的法国数学家．他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果，并且举世闻名的丹德林双球（如图）就以他的名字命名．在双球中，一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行．利用这个模型，丹德林证明了平面截圆锥的截面为椭圆．若图中所示为该模型的正面，且该模型不具有透光性，则丹德林双球的正视图为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．细心观察原立体图形中几何体的位置关系是解决问题的关键．
【详解】解：从正面看，可得如下图形：

故选：D．
6．在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表：
若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确获得函数解析式是解题关键．根据题意，可知鞋号与脚长的对应关系为一次函数，设鞋号与脚长的关系式为，利用待定系数法解得函数解析式，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可知鞋号与脚长的对应关系为一次函数，
设鞋号与脚长的关系式为，
根据题意，可得，解得，
所以鞋号与脚长的关系式为，
若小华的脚长为259毫米，可令，
则有，
解得，
所以，他的鞋号（码）是41．
故选：C．
7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．8B．9C．10D．与的值有关
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出“，，”是解题的关键．利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出，，，再将其代入中即可求出结论．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，，，
．
故选：B．
8．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，使；分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，先求出的度数，再求出的度数，最后利用角平分线的定义计算即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
故选：B．
9．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线交于点，交于点．设，则关于的函数图像大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数的图像、相似三角形的性质与判定等知识点，由三角形相似得出y与x的关系式是解题关键．
根据两角可得，再利用对应边成比例可得y与x的关系式，进而可得对应图像．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
．
的垂直平分线交于点E，交于点H，
，，
∴，
∴，即，
．
∴对应函数图像为A选项．
故选：A．
10．已知非负数，，满足，，设的最大值为，最小值为，则的值为（ ）
A．6B．5C．4D．
【答案】C
【分析】用表示出、并求出的取值范围，再代入整理成关于的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出、的值，再相减即可得解．
【详解】∵，，
∴，，
∵，都是非负数，
∴，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴，
又∵是非负数，
∴，
∴对称轴为直线，
∴时，最小值，
时，最大值，
∴．
故选：C．
填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，使原式化为，再逆用完全平方公式进行因式分解，即可得答案．
本题考查了利用提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】
．
故答案为：．
12．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故答案为：．
13．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒．每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒．要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可．
【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得：
，
故答案为：．
14．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，过点作轴于点，连接．若的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数的性质可判断点与点关于原点对称，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即可求解，掌握反比例函数的性质及比例系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，
∴点关于原点对称，
∴，
∵轴于点，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为，且D离地面的高度．坡底，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是，点E，A，C在同一水平线上，则建筑物的高为 （结果用含有根号的式子表示）
【答案】
【分析】本题主要考查的是解直角三角形的应用，过点作，交于点，先证明四边形为矩形，得到，，再根据三角函数值得到，最后利用即可算出答案；掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：过点作，交于点，如图，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴；
故答案为：．
16．如图，已知，在矩形中，，分别以所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数（）的图象与边交于点E，将沿对折后，C点恰好落在上的点D处，则k的值为 ．
【答案】
【分析】过点E作于点G，根据，设，，根据折叠性质，；，利用勾股定理，三角函数，反比例函数的性质计算即可．
【详解】过点E作于点G，
∵，
∴设，，
∵矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
根据折叠性质，；，
，
∴，
∴，
∴，
根据反比例函数的性质，得，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
17．如图，矩形中，已知为边上一动点，将沿边翻折到．点与点重合．连接．则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，在上取点G，使，连接，，证明，可得出，则，当D、F、G三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：在上取点G，使，连接，，
∵翻折，
∴，
又，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
当D、F、G三点共线时，最小，
在中，，，，
∴，
即的的最小值为．
故答案为：．
18．如图，，，点是线段上一个动点，连接，将线段沿直线进行翻折，点落在点处，连接，以为斜边在直线的左侧或者下方构造等腰直角三角形，则点从运动到的过程中，线段的最小值是 ，当从点运动到点时，点的运动总路径长是 ．
【答案】
【分析】由，可得在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到，当、、共线时，最小；连接，，可证明∽，从而得出，故点在以为圆心，为半径的圆上运动，当点从点运动到点时，点运动，进一步求得结果．
【详解】解：如图，连接，而，，
∴，

由折叠得：，
点在以为圆心，为半径的圆上运动从运动到，
当、、共线时，最小，，
连接，，，
，
同理：，
，
，
，
，
∽，
，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图，
当点从点运动到点时，点运动，
，点运动的路径长为：，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．计算：
(1)不等式组的解集；
(2)计算：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，实数的运算，负整数指数幂，零指数幂 ，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握相关的法则和定义，
（1）先求出两个不等式的解集，再求出其公共解即可，
（2）先化简各式，再进行计算即可；
【详解】（1）解：
解①得
解②得
则等式组的解集为：，
（2）解：
20．随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．
(1)若由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；
(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查列表法与树状图法，解题关键在于根据题意画出树状图．
（1）直接利用概率公式求解可得；
（2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【详解】（1）解：由甲组对四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的结果数为1，
∴甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概率为．
21．近期教育部表示 “双减”依然是今年工作中的“重中之重”，作为“双减”政策落地后第二个学期，不少学校的作业总量已经大幅减少．依据政策要求，初中书面作业平均完成时间不超过分钟，学生每天完成作业的时长不能超过小时．某中学自纠自查，对本校学生的作业情况进行了抽样调查，统计结果如图所示：
(1)这次抽样共调查了 名学生，并补全条形统计图；
(2)计算扇形统计图中表示作业时长为小时对应的扇形圆心角度数为 ；
(3)若该中学共有学生人，请据此估计该校学生的作业时间不少于小时的学生人数；
(4)通过本次调查，你认为该学校作业布置是否满足教育部的“双减”政策要求？请说明理由．
【答案】(1)，见解析
(2)
(3)估计该校学生的作业时间不少于小时的学生人数有人
(4)不满足，见解析
【分析】本题主要考查统计与调查及平均数，熟练掌握统计与调查及平均数是解题的关键．
（1）根据统计图可知作业时长为小时的人数有人，所占百分比为，进而问题可求解；
（2）由（1）及作业时长为小时的人数可求所占百分比；
（3）由题意知作业时长不少于小时的人数为人，然后问题可求解；
（4）先由题意得出作业时长为小时的所占百分比，然后求出作业时长的平均值，进而问题可求解．
【详解】（1）解：由两幅统计图可知：部分学生完成作业所需要的时间为小时的有人，占调查学生总数的，每天完成作业所需要的时间为小时的占调查学生总数的，
∴这次抽样共调查了（名）学生，
∴每天完成作业所需要的时间为小时的有人，
补全条形统计图如下：
故答案为：；
（2）由条形统计图可知：每天完成作业所需要的时间为小时的有人，
∴扇形统计图中表示作业时长为小时对应的扇形圆心角度数为；
故答案为：．
（3）由条形统计图可知：
调查学生中作业时间不少于小时的学生人数为（人），
∴（人），
答：该校学生的作业时间不少于小时的学生人数人；
（4）通过本次调查，我认为该学校作业布置不满足教育部的“双减”政策要求，理由如下：
由统计图中的数据可知：
调查学生中，每天完成作业时长超过小时的学生有人，占调查总人数的，调查学生中，作业平均完成时间为（小时），
而初中书面作业平均完成时间不超过分钟（即小时），学生每天的完成作业时长不超过小时，
∴该学校作业布置不满足教育部的“双减”政策要求；
建议如下：
要进一步减轻学生的作业负担及校外培训负担，将学生书面作业平均完成时间控制在小时内；大多数学生每天的完成作业时长都不超过小时，要教育少数学生每天的完成作业时长不超过小时．
22．如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积；
【答案】(1)见详解
(2)1
【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，然后证明得到；
（2）连接、，如图，根据垂径定理得到，则利用和都为等腰直角三角形，所以，再根据切线的性质得到，接着证明为等腰直角三角形得到，然后根据扇形的面积公式，利用弧、线段、围成的阴影部分面积进行计算．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和扇形的面积公式．
【详解】（1）证明：为的直径，
，
点为弧中点，
，
，
平分，
，
，，
，
；
（2）解：连接、，如图，
点为弧中点，
，
∴和都为等腰直角三角形，
，
，
，
为的切线，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，
，
弧、线段、围成的阴影部分面积．
23．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接；
(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
【答案】(1)图形见解析
(2)两点之间线段最短.
(3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．
【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．
（1）根据题意画出三棱柱木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可；
（2）根据题（1）结合两点之间线段最短即可求解；
（3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和三角形一条边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽，根据勾股定理计算的长即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（3）根据题意可得：展开图中的，．
在中，由勾股定理可得：，
即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．
24．如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式，无人机从西侧距坡底为10米处的点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线．当无人机飞越坡底上空时（即点），与地面的距离为20米．

(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．
【答案】(1)
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为米时，无人机与山坡的竖直距离为米
(3)无人机此次飞行是安全的，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
（1）把点代入 ，解答即可；
（2）根据已知求得无人机与山坡的竖直距离 把代入求得即可；
（3）无人机与山坡的竖直距离 的最小值与比较即可得解.
【详解】（1）解：由题意可知， 点，将坐标分别代入，
得： ，
解得：，
∴无人机飞行轨迹的函数表达式为，
（2）当无人机飞行的水平距离距起点为米时， ，
∵无人机与山坡的竖直距离
∴当时，(米)，
答：当无人机飞行的水平距离距起点为米时，无人机与山坡的竖直距离为米；
（3）安全， 理由如下：
由（2）知，
，
时，有最小值 ，
∴无人机此次飞行是安全的.
25．问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处．
实践探究：（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当，且时，求的长；
问题解决：（3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出，可求出答案；
（2）根据相似三角形的判定解答即可；
（3）过点作于点，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
，
将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，，
，
，
，
四边形是矩形，
∴，
，
；
（2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处，
，，
又矩形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
设，
平分，，，
，，
设，则，
，
，
解得，
，
．
26．对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，（为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
(1)反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
(2)若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含的代数式表示）；
(3)若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
【答案】(1)反比例函数是上的“民主函数”，理由见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）根据“民主函数”的定义进行判断即可；
（2）根据“民主函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可；
（3）由，，得，则抛物线在上是递增的，可知时，，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点、、的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：当时，则：，
∵，在第一象限内随的增大而减小，
∴时，，
∴，
∴反比例函数是上的“民主函数”；
（2）由题意，得：当时，，
∵，
当时，随着的增大而增大，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
当时，随着的增大而减小，
∴当时，，当时，，
∴，解得：，
即：；
综上：或；
（3）∵抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，

假设点在点的左侧，即，
，解得，，，
在中，，，，
，，，
外心在线段的垂直平分线上，设，则，
，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得，
，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
内心在轴上，
，
，
．
鞋号（码）
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33
34
35
36
37
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脚长（毫米）
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鞋号（码）
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脚长（毫米）
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