2024年中考数学（南京）第二次模拟考试（含答案）

这是一份2024年中考数学（南京）第二次模拟考试（含答案），共38页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．0D．
2．光年是天文学上一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于94600亿，用科学记数法表示94600亿是（ ）
A．B．C．D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．B．C．D．
6．如图是一种轨道示意图，其中、、、分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与之间的函数关系用图像表示大致为（ ）
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
7．计算： ．
8．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
9．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ．
10．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为 ．
11．小明在教室中的座位是第3排第2列，简记作，则表示 ．
12．如图，从一张圆心角为的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．
14．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若时，则的度数 ．
15．如图，在矩形中，，，E是边上一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G，垂直平分，分别交，，于点H，M，N．若，则的长为 ．
16．如图，正方形中，为边的中点，连接为边AD上一动点，将沿所在直线翻折，若点A的对应点恰好落在的边上，则线段的长为 ．
三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：．
18．（8分）先化简，再求值：，其中，
19．（8分）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
(1)本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；
(2)本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；
(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？
20．（8分）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．
(1)任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；
(2)甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．
21．（8分）如图，在中，，点是中点，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
22．（7分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点的直线与反比例函数的图象交于点.
(1)求此反比例函数的解析式；
(2)若点的纵坐标为1，求直线的解析式；
(3)求的面积.
24．（8分）三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（参考数据：，，，）
(1)求A与C之间的距离（结果保留整数）；
(2)已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）
25．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．
(1)在图①中的线段上找一点E，使．
(2)在图②中的线段上找一点F，使．
(3)在图③中的线段上找一点G，使点G到直线距离之和为4
26．（9分）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
(1)若是圆的“奇妙四边形”，则是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知的半径为R，四边形是的“奇妙四边形”．求证：；
(3)如图2，四边形是“奇妙四边形”，P为圆内一点，，，，且．当的长度最小时，求的值．
27．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，点为直线下方抛物线上的一动点，于点轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着轴向左平移后得到抛物线，若点是抛物线与在轴下方的交点且，求抛物线对应的函数表达式．
2024年中考第二次模拟考试（南京卷）
数学·全解全析
注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
第Ⅰ卷
选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列数中，是无理数的是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】解：，0，是有理数；
是无理数．
故选B．
2．光年是天文学上一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于94600亿，用科学记数法表示94600亿是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：94600亿，
故选D
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：不等式的解为．
解集在数轴上表现为不包括端点的射线，
D、B、C都不正确．
故选：A．
4．如图，是的直径，与相切于点，，的延长线交于点，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：∵与相切于点，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵在中，是圆心角且所对的弧是，是圆周角且所对的弧也是，
∴，
即的度数是．
故选：A．
5．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得到：，
解得，
即蜡烛火焰的高度是．
故选：C．
6．如图是一种轨道示意图，其中、、、分别是正方形的四个顶点，现有两个机器人（看成点）分别从，两点同时出发，沿着轨道以相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为，两个机器人之间距离为．则与之间的函数关系用图像表示大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：设正方形的边长为1，两个机器人看作点和，两个机器人的速度均为1．
当点在边上，点在边上时，．
作于点，可得矩形和矩形．
，．
，．
两个机器人之间距离为．
．
，
函数图象为开口向上的二次函数．
故选项C和D不符合题意．
当机器人未出发时，点在点处，点在点处，如图1．
；
当机器人分别到达点和点时，如图2．
；
此时函数的的值和未出发时的值相同，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
7．计算： ．
【答案】/
【解析】解：，
故答案为：．
8．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
9．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ．
【答案】0
【解析】解：点与点均在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
故答案为：0
10．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为 ．
【答案】14
【解析】解：由题意得
，
解得：；
故答案：．
11．小明在教室中的座位是第3排第2列，简记作，则表示 ．
【答案】第5排第3列
【解析】解：由题意可知座位的表示方法为排在前，列在后，
得小华的座位表示第5排第3列．
故答案为：第5排第3列．
12．如图，从一张圆心角为的扇形纸板剪出一个边长为1的正方形，则图中阴影部分的面积为 .

【答案】
【解析】解：如图，连接，

∵四边形是边长为1的正方形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
∴阴影的面积是
；
故答案为：．
13．如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，， ．
【答案】2
【解析】解：∵中，于E，于F，为的平分线，
∴，
∵的面积是，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
14．如图，在中，，，将绕点A顺时针旋转得到，若时，则的度数 ．
【答案】
【解析】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．如图，在矩形中，，，E是边上一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点G，垂直平分，分别交，，于点H，M，N．若，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：∵，，，
∴，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为矩形，点F在边的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，解得．
故答案为：．
16．如图，正方形中，为边的中点，连接为边AD上一动点，将沿所在直线翻折，若点A的对应点恰好落在的边上，则线段的长为 ．
【答案】1或
【解析】解：如图：以点B为圆心，为直径画圆，与分别相交于两点，且为，然后过点B分别作的垂直平分线交于
当A的的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接
∵四边形是正方形
∴
则
即
∴
∵为边的中点，
∴
故
∴
如图：
当A的的对称点落在上时，即点；此时P为上的连接交于一点，
∵沿所在直线翻折
∴
即直线是的平分线，过点G作，
∴
∵四边形是正方形
∴
∴
则
设，
则
∵
∴
则中，得
即
解得
∵
∴
则
解得
综上：线段的长为1或
故答案为：1或
三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（6分）17．解方程：．
【解析】解：，
去分母得:，
去括号得:，
移项得:，
合并同类项，得．
（8分）18．先化简，再求值：，其中，
【解析】解：原式

将， 代入
原式
（8分）19．为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示．
(1)本次抽查的学生人数是_______，并补全条形统计图；
(2)本次捐款金额的众数为______元，中位数为______元；
(3)若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？
【解析】（1）解：（人），
“捐款为15元”的学生有（人），补全条形统计图如下：
（2）解：学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元，
将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元，
故答案为：15，15；
（3）（3）样本平均数为（元/人），
所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为（元），
答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元．
（8分）20．春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．

(1)任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；
(2)甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．
【解析】（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，
∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为：
故答案为：
（2）解：画出树状图，如图：

共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种
故甲和乙选到不同活动项目的概率为：
（8分）21．如图，在中，，点是中点，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【解析】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，点D是的中点，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，点D是的中点，
∴．
（7分）22．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【解析】（1）解：设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）解：设A型垃圾桶a个，
由题意可得：，
解得，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
（8分）23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点的直线与反比例函数的图象交于点.

(1)求此反比例函数的解析式；
(2)若点的纵坐标为1，求直线的解析式；
(3)求的面积.
【解析】（1）∵一次函数的图象过点，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
把代入，则，
∴，
把代入得，
；
设直线的解析式为，
则有，
解得，
故直线的解析式为；
（3）作轴，交直线于点，则点的纵坐标为1，

代入得，，
解得，
∴，
∴，
∴．
（8分）24．三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（参考数据：，，，）
(1)求A与C之间的距离（结果保留整数）；
(2)已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）
【解析】（1）解：如图，过点A作，交的延长线于点H，
则，
由题意可知，，，
∴（米），
∴（米），
即A与C之间的距离为500米；
（2）设与的交点为M，由题意可知， ，
∴四边形是矩形，
∴米，（米），
米，
由题意可知，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
∴路线①的步行的时间为（分钟）
路线②的步行的时间为（分钟）
∵，
∴走线路①用时更短．
（8分）25．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

(1)在图①中的线段上找一点E，使．
(2)在图②中的线段上找一点F，使．
(3)在图③中的线段上找一点G，使点G到直线距离之和为4
【解析】（1）解：如图，点E即为所求；

理由：根据题意得：，
∴，∴，
∵，∴；
（2）解：如图，点F即为所求；

理由：根据题意得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（3）解：如图，点G即为所求．

过点G作，分别交于点P，Q，
根据题意得：，
设点G到的距离为h，
∴，
∴，
由作法得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即等于点G到的距离，
此时的长等于点G到直线距离之和．
（9分）26．定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
(1)若是圆的“奇妙四边形”，则是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知的半径为R，四边形是的“奇妙四边形”．求证：；
(3)如图2，四边形是“奇妙四边形”，P为圆内一点，，，，且．当的长度最小时，求的值．
【解析】（1）解：若平行四边形是“奇妙四边形”，则四边形是正方形．
理由∶
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∵四边形是“奇妙四边形”，
∴，
∴矩形是正方形，
故答案为∶③；
（2）证明∶过点B作直径，分别连接，，，，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形是“奇妙四边形”，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；
（3）解：连接交于E，设的长度为a，，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
整理得，
∴
∴，
又，
∴，
∴a有最小值2，
即的长度最小值为2，
∴，
解得∶，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（10分）27.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，点为直线下方抛物线上的一动点，于点轴交于点．求线段的最大值和此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着轴向左平移后得到抛物线，若点是抛物线与在轴下方的交点且，求抛物线对应的函数表达式．
【解析】（1）解：把、代入得：
，
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：在中，令得，
，
由，,设直线解析式为，
则直线解析式为，
设，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
∵，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
当时，取最大值，此时的坐标为；
线段的最大值是，此时点的坐标为；
（3）解：过作于，过作轴交轴于，过作于，如图：
，
，
，，
，
，
，，
设，，则，，
，，
，
解得，
，
由，同上得：直线解析式为，
联立，
解得或，
，
，将抛物线沿着轴向左平移后得到抛物线，
设抛物线解析式为，
将代入得：
，
解得或（舍去），
抛物线对应的函数表达式为即．