湖北省天门市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省天门市2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共24页。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2. 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上非答题区域均无效．
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1. 志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选B．
2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 旭日东升B. 守株待兔C. 大海捞针D. 水中捞月
答案：A
解：根据必然事件的定义，“旭日东升”是每天必然发生的事件，
故选：．
【点睛】本题主要考查随件事件，必然事件与概率的问题，理解必然事件的概念，概率的描述是解题的关键．
3. 若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（ ）
A. ±2B. 2C. - 2D. 不能确定
答案：B
∵方程的两实数根互为相反数，
设两个根为a，b，
则，
∴，
故选：B.
4. 若反比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得．
故选：A．
5. 某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解：每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班有名学生，
每个同学需送出张相片，
依题意得：，
故选：C．
6. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线顶点坐标是（ ）
A B. C. D.
答案：D
解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后抛物线解析式为，即，
∴顶点坐标为，
故选：D．
7. 如图，于，若的直径为，，则长为（ ）.
A. B. C. D.
答案：D
解：如图，连接，，
，
的直径为，
，
于，
，
，
，
故选：D．
8. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，过点作轴，垂足为，若的面积等于5，则的值等于（ ）
A. 2.5B. 10C. D.
答案：C
解：轴，的面积等于5，
，
∵图象在第二象限，，
，
故选：C．
9. 如图，在的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解：如图：作的垂直平分线，作的垂直平分线，设与相交于点O，连接，则点O是外接圆的圆心，

由题意得：，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴
，
故选：D．
10. 抛物线过四个点，若四个数中有且只有一个大于零，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：由题意，该抛物线的对称轴为直线，
∴两点关于对称轴x=1对称，即y1=y2，
∵四个数中有且只有一个大于零，
∴y1=y2≤0，
当a＜0时，抛物线开口向下，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，又1+ ＜3＜4，
∴y3、y4必小于0，不符合题意，
∴a＞0，则当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴y3≤0、y4＞0，
∴，
解得：，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是______（填一个值即可）
答案：（答案不唯一）
解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，
即二元一次方程的根为、，
由根与系数的关系得：，，
一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，
，为异号，
，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为______．

答案：
解：如图，连接，，，

，
，
，
，
，
的长为，
故答案：．
13. 某校为迎接全国“创文创未”检查工作，从3名教师（其中，2男1女）中随机选择两名教师负责协调全国“创文创未”的相关检查工作，则恰好选中1名男教师和1名女教师的概率为_____________．
答案：
解：根据题意列表得：
共有6种等可能出现的结果，其中恰好选中1名男教师和1名女教师的有4种结果，
恰好选中1名男教师和1名女教师的概率为，
故答案为：．
14. 如图，在等腰中，，将绕点C逆时针旋转得到，当点A对应点D落在上时，连接，则的度数是______
答案：
解：∵，
∴，
由旋转性质知，，
∴，
∴，
故答案为：．
男1
男2
女
男1
男2男1
女男1
男2
男1男2
女男2
女
男1女
男2女
15. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点在抛物线上，点E在直线上，若，则点E的坐标是____________．

答案：和
解：在中，当时，，则有，
令，则有，
解得：，
∴，
根据点坐标，有
所以点坐标

设所在直线解析式为，其过点、
有，
解得
∴所在直线的解析式为：
当点在线段上时，设
而
∴
∴
因为：，，
有
解得：，
所以点的坐标为:
当在的延长线上时，
在中，，,
∴
∴
如图延长至，取，

则有为等腰三角形，，
∴
又∵
∴
则为符合题意的点，
∵
∴
的横坐标：，纵坐标为；
综上E点的坐标为：或，
故答案为：或
三、解答题（共9小题，满分75分）
16. 解下列方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：
∴
∴；
【小问2详解】
解：
∴或
∴．
17. 如图，为的直径，为的半径，的弦与相交于点F，的切线交的延长线于点E，．求证：垂直平分．
答案：见解析
证明：如图，连接，
∵切于点C，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分．
18. 有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
答案：（1）
（2）
【小问1详解】
解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于；
故答案为：．
【小问2详解】
解：据题意，可以画出如下的树状图：

由树状图知，所有可能出现结果共有种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种．
∴．
19. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：．
（1）求的值；
（2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围．
答案：（1）10； （2）且．
【小问1详解】
解：∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
整理得，
∵关于x的方程有两个实数根，
∴，且，
解得且．
20. 如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求阴影部分的面积．
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：如图，连接，，，
点D是劣弧的中点，
，
，
，
，
，
又∵是的角平分线，
，
，
即，
是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：由（1）可知，，
在中，
，
，
，
，
设，则有
，
在中，
，
，
解得：，(舍去)，
，
．
21. 如图，直线与双曲线相交于点，．

（1）求双曲线及直线对应的函数表达式；
（2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；
（3）请直接写出关于的不等式的解集．
答案：21. ，
22.
23. 或
【小问1详解】
将代入双曲线，
∴,
∴双曲线的解析式为，
将点代入，
∴,
∴,
将代入,
，
解得，
∴直线解析式为；
【小问2详解】
∵直线向下平移至,

∴,
设直线的解析式为将点代入
∴解得
∴直线的解析式为
∴
过点作交于,
设直线与轴的交点为，与轴的交点为,
∴,
∵,
∴,
∵,
，
，
∵，
，
，
∴的面积
【小问3详解】
由图可知或时,
22. 根据以下素材，探索完成任务．
如何选择合适的跳台高度？
答案：[任务一]；[任务二]；[任务三] 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上
解：[任务一]将代入抛物线，得，
解得：
[任务二]由[任务一]可得抛物线，
当时，，则落地点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
将，代入得，
，
解得：，
∴；
[任务三] 小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上，
∵跳台高度增加了米，
∴跳台增高后的解析式为
当时，，
解得：（舍去）
素材1
跳台滑雪是运动员借助速度和弹跳力，沿着跳台下滑，并从起跳点腾空，在空中沿抛物线飞行至着陆坡．图1是某小型跳台滑雪训练场的实物图，图2是其横截面示意图，以地面的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，其最左端位于点的正上方米处，最右端在水平线上，且最高点在距点水平距离8米处．

素材2
小雪从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．该滑雪场有若干个跳台高度不同，小山坡完全相同的训练场地，在不同场地滑行时，小雪滑行的抛物线形状不变．
问题解决
任务1
确定滑行路径
求的值；
任务2
确定山坡形状
当小雪滑行到离处的水平距离为11米时，恰好落在小山坡上，求抛物线的函数表达式；
任务3
选择跳台高度
若小雪选择的跳台高度增加了米，请判断在该训练场地滑行时是否会落在小山坡上．
即小雪落地时距离点，
对于
当时，，
解得：（舍去）
∵
∴小雪在该训练场地滑行时会落在小山坡上，
23. 如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接，为的高，连接，N为的中点．
（1）求证：；
（2）将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长；
答案：（1）见解析 （2）
【小问1详解】
证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵为等边高，
∴，，
∴，
∵，
∴，，即G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵N为的中点，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点D，若点M是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值．
（3）如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：24. ；
25. ；
26. 或．
【小问1详解】
解：由题意得，
；
【小问2详解】
解：如图1，
作于，作于，交于，
，，
，
，
抛物线的对称轴是直线：，
，
，
，
，
故只需的边上的高最大时，的面积最大，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，
，
由△得，
得，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：如图2，
当点在线段上时，连接，交于，
点和点关于对称，
，
设，
由得，，
，（舍去），
，
∵，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
∴；
如图3，
当点在的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或．