黑龙江省齐齐哈尔市部分学校2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市部分学校2025届九年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了 如图，抛物线个．等内容，欢迎下载使用。
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
2. 若函数是反比例函数，且当时，随的增大而增大，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：反比例函数，且当时，随的增大而增大，
反比例函数的图象在第二、四象限，
，
由可得：，
由可得：，
可得：．
故选： D．
3. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. 且B. 且
C. D.
答案：A
解：关于的方程有两个不相等的实数根，
且，
解得：且，
故选：A．
4. 某数学兴趣小组，准备初步了解四部古代数学著作．现制作背面完全相同的4张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》《五经算术》《数术记遗》，将4张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，任意抽取2张卡片，抽到的恰好是《九章算术》和《五经算术》的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：设正面分别写有《九章算术》，《周髀算经》，《五经算术》，《数术记遗》的卡片分别用A、B、C、D表示，
画树状图，
一共有12种等可能情况，两张卡片是《九章算术》和《五经算术》有2种，
∴抽取的两张卡片是《九章算术》和《五经算术》的概率是．
故选：C．
5. 如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在上，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：∵是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴．
故选：B．
6. 如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解：∵，
∴，即，
A、添加后，能确定；
B、添加后，仍不能确定；
C、添加后，能确定；
D、添加后，能确定．
故选：B．
7. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，且，以点A为圆心，以适当的长为半径画弧分别交于点M，交直径于点N，分别以点M、N为圆心，大的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交半圆O于点D．过点O作交半圆O于点Q，连接，则的长为（ ）
A. B. 4C. 2D.
答案：B
解：连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴．
由作图得：平分，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选：B．
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E．若点，，则k的值为（ ）
A. 15B. 12C. 9D. 6
答案：A
解：轴，，
、两点纵坐标相同，都为3，
可设．
矩形的对角线的交点为，
为中点，．
．
，
，
，，，
，
解得，
．
反比例函数的图象经过点，
．
故选：A．
9. 如图，中，，，，动点P从A点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度运动（运动到B点停止），过点P作于点D，则的面积y与点P运动的时间x之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解：当点P在上运动，即时，由题意得，
∵中，，，，
∴，
∴，，
∴，是二次函数．
当点P在上运动，即时，由题意得，
∴，，
∴，
∴，是二次函数．
∴符合题意的函数图象只有C，
故选：C．
10. 如图，抛物线（a，b，c是常数，）的顶点在第四象限，对称轴是直线，过一、二、四象限的直线（k是常数）与抛物线交于x轴上一点，则下列结论正确的有（ ）个．
①，②方程的根是，③（m为任意实数），④当抛物线与直线的另一个交点也在坐标轴上时，则，⑤m为任意实数，则有．
A. 2B. 3C. 4D. 5
答案：B
解：直线（是常数）的图象过一、二、四象限，
∴，
∵抛物线的开口向上，
∴，
∵抛物线与轴正半轴相交，
∴，
又抛物线的对称轴为，
∴，
∴，故①正确；
，
令得，
∴直线与轴交点为，
∴抛物线与也交于，
∵抛物线的对称轴为，
∴抛物线与轴的另一个交点为，
∴方程的两根为，，故②正确；
∴，，
∴，，
根据题意知，当时，直线与抛物线的y值相等，
∴，
∴，
由②得，
∴，故④正确；
当时，抛物线取得最小值，最小值为：
当时，代入得，
两边同时加上得，
∴，
∵，，
∴
∴，故⑤不正确，
当时，，
当时，，
∵，
则与在抛物线上关于对称轴直线对称，
∴，
即，故③不正确，
∴正确的结论有3个，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共21分）
11. 如图，已知，那么______cm．
答案：
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
12. 已知m，n是方程的两个根，则代数式的值等于______．
答案：2025
解：∵m，n是方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：2025．
13. 如图，的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，
与y轴交于点E，若，则k的值为______．
答案：10
解：如图，过点A作轴于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵反比例函数图象在第一象限，
∴，
故答案为：10．
14. 一个圆锥的底面半径为3cm，将其侧面展开得到扇形圆心角为216°，则此圆锥的高为_________．
答案：4cm
解：设扇形的半径长为xcm，由题意得
解得x=5，
∴此圆锥高为
故答案为：4cm．
15. 在直径为8的中，弦，则弦的长为______．
答案：8
解：如图，作，，
∵的直径为8，
∴，
又∵，
∴为等边三角形，则，
∴，，，
∵，，
∴，则，
∴，，
∴，
∴，则，
∴为的直径，
即：，
故答案为：8 ．
16. 如图，已知正方形的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转得到点F，则线段的长的最大值为______．
答案：3
解：如图，连接，，．
由旋转可知，，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
正方形的边长为2，即，
∴，当在的延长线上时取等号，
∴的最大值是3；
故答案为：3．
17. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则的坐标是______．
答案：
解：联立，解得，
∴，，
由题意可知，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过作交y轴于H，则为等腰直角三角形，同理得到，

设，则，
∴，
解得，（舍），
∴，，
∴，
用同样方法可得到，
因此可得到，即
∴，即：．
故答案为：．
三．解答题（共69分）
18. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），
【小问1详解】
解：∵，则，
∴，则，
∴，即：，
∴，；
【小问2详解】
解：，则，
∴，
∴或，
∴，．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）．
（1）画出关于原点O对称的；
（2）画出将绕原点O逆时针方向旋转得到的；
（3）求出点B旋转到点所经过的路径长．
答案：（1）图见解析
（2）图见解析 （3）点旋转到点所经过的路径长为
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
解：如图， 为所作；
【小问3详解】
，
点旋转到点所经过的路径长．
20. 小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形统计图和条形统计图：
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）小张同学共调查了______名居民的年龄，扇形统计图中，岁对应扇形的圆心角为______；
（2）补全条形统计图；
（3）若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为______；
（4）若该辖区年龄在60岁及以上的居民约有3600人，根据调查结果估计该辖区居民人数共有多少人？
答案：（1）500，72
（2）见解析 （3）
（4）该辖区居民人数共有30000人．
【小问1详解】
由条形统计图和扇形统计图可知：岁的有230人，占总人数的，
∴，
∵岁有100人，
∴，
则岁对应扇形的圆心角为；
故答案为：500，72；
【小问2详解】
，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为；
故答案为：；
【小问4详解】
（人）．
答：该辖区居民人数共有30000人．
21. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
答案：（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b．
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得，
∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）．
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，
根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150．
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200．
∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
22. 如图，为的直径，点C在上，的平分线交于点D，过点D作，交的延长线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1详解】
证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴是的切线；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
，
，
，
．
在中，，
根据勾股定理可知，得，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
，
在中，根据勾股定理，得
．
23. 综合与实践
【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行相关问题的研究．如图①，已知是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在和上，连接，．
猜想和的关系为______．
【实践探究】将图①中正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于），在旋转的过程中，图①中和的关系______（填无变化或有变化），若无变化，利用图②写出证明过程；若有变化，说明理由．
【问题解决】若，正方形绕点D逆时针方向旋转的过程中，
①当为最大值时，则的值是______；
②设直线的交点为P，则的最小值是______；
答案：问题情境：，；实践探究：图①中的结论仍然成立，，．理由见解析；问题解决：①；②
解：问题情境：结论：，．
理由：如图1，延长交于．

是等腰直角三角形，，点是的中点，
，，
．
四边形是正方形，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
实践探究：图①中的结论仍然成立，，．理由如下：
如图②，连接，延长交于，交于．

在中，为斜边中点，
，，
．
四边形为正方形，
，且，
，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
．
问题解决：①如图③，当旋转角为时，，此时的值最大．

，
．
．
在中，由勾股定理，得
，
故答案为：；
②如图④中，前面已证，即，

∴点在以为直径的上，当点在线段上时，有最小值，
∵，是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
故答案为：．
24. 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点C，直线与抛物线交于点B、点C，直线与抛物线交于点，与y轴交于点E，与直线交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果，那么______、______；
（3）在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一动点，点N是抛物线上一动点，若，则点N的坐标为______；
（4）点P是坐标轴上一点，点Q是平面内任意一点，当以点A、C、P、Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形时，点Q坐标为______；
（5）点H在y轴上，则的最小值是______．
答案：（1）
（2），
（3）或
（4）或
（5）
【小问1详解】
解：∵直线与x轴、y轴交于点B、点C，
当时，，当时，，则，
∴，，
∵抛物线与轴交于点、点，与y轴交于点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
过点作轴，则，设，
∵，，
∴，即，解得，
∴，
将，，代入直线，得，
解得：，
故答案为：，；
【小问3详解】
由（2）可知，直线的解析式为，
令，则，
∴，则，
∵，
∴抛物线的对称轴为，
∴，
∵，即，
∴，
∴或，
当时，；
当时，；
∴点的坐标为或，
故答案为：或；
【小问4详解】
解：存在，理由如下：
∵,,
∴，
当为菱形对角线时，则，
当点在轴上，
设，，
∵，
∴，
解得：，即，则，
如图，在菱形中，，，
∴；
当点在轴上，同理可得；
综上 ，点Q的坐标为或；
故答案为：或；
【小问5详解】
连接，过点作，过点作，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴，当在上时取等号，
∴的最小值为，
故答案为：．