重庆市巴蜀中学2026届高三上学期12月月考（五）数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 或 ,所以 .
2.已知圆锥的底面半径是 1 , 其侧面展开图是半圆, 则圆锥的高是
A. B. 2 C. 1D.
【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为 ,则 ,所以圆锥的高 .
3.圆心在 轴,且经过点 和 的圆的方程是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设圆的方程为 ,则 ,所以圆的方程是 .
4.已知奇函数 的定义域为 ,当 时, 单调递增,且 ,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由 ,得 ,或 .
5.在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则角 等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ,得 ,因为 ,所以 ,从而 ,故 ,得 .
6.已知数列 的前 项和为 ,满足 ,记 表示不超过 的最大整数,设 ,则数列 的前 20 项和为
A. 209 B. 210 C. 211 D. 212
【答案】C
【解析】当 时, ; 当 时, ,所以 ,故 . 又因为 ,所以 ,所以 ,从而 , 得 ,当 时, ; 当 时, ,所以数列 的前 20 项和为 .
7.已知抛物线 的焦点为 ，点 且 是 上的动点， 关于 轴对称的点为 ，点 ，且 周长的最小值为 4，则当直线 的倾斜角为 时， 等于
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】设点 到 轴的距离为 的周长为 ,解得 ,所以抛物线 ,点 ,则 ,得 , ,所以 .
8.如图，在直角梯形 中， ，以四条边为直径向外作四个半圆,点 是这四个半圆弧上的一个动点,则 的最大值是
A. 8 B. 16C. D.
【答案】D
【解析】要使 最大, 与 的夹角 小于 ,当点 在弧 上时, ,当点 在弧 上时, ,当点 在弧 上时,取线段 中点为 ,则 ,所以当 与 同向时, ,此时 最大值为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A. 函数 图象上的点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 3 倍可得到 的图象
B. 函数 图象上的点向右平移 个单位可得到 的图象
C. 函数 图象上的点向左平移 个单位可得到 的图象
D. 函数 图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位可得到 的图象
【答案】AC
【解析】对于 选项,函数 的图象纵坐标不变,横坐标伸长到原来 3 倍可得到 , A 选项正确; 对于 选项,函数 图象上的点向右平移 个单位可得到 的图象, 选项错误; 对于 选项,函数 图象上的点向左平移 个单位可得 的图象, 选项正确; 对于 选项,函数 的图象纵坐标不变横坐标缩短为原来的 得 ,再向右平移 个单位可得 , D 选项错误.
10.已知等差数列 的前 项和为 ,且 ,则
A. 公差 B. C. D. 数列 的前 31 项和为 272
【答案】BCD
【解析】对于 选项: ,所以 ,所以 , 选项错误; 对于 选项: , B 选项正确; 对于 选项: , 选项正确; 对于 选项: ,所以 , 进而数列 的前 31 项和 , D 选项正确.
11.已知函数 ,则下列命题正确的是
A. 若 ，则函数 有且只有 1 个零点
B. 若不等式 恒成立，则 的取值范围是
C. 若不等式 对任意的 恒成立,则 的取值范围是
D. 若 ，则不等式 恒成立
【答案】ABD
【解析】对于 选项: 当 时, ,有唯一零点,当 ,则 , 在 上单调递减,且 ,也满足函数 恰有 1 个零点, 选项正确; 对于 选项: 由 得 ,所以 ,又因为 单增,所以 ,所以 选项正确; 对于 选项: ,所以 ,得 ,此时 ,当 时, ,所以 在 单增,在 单减,从而 选项错误; 对于 选项: 令 ,所以 ,令 ,所以 ,从而 在 上单调递增, , ,所以存在 ,使得 ,得 且 ,所以 在 上单减,在 上单增,故 ,所以 , D 选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知二项式 ,其展开式中 项的系数为________.
【答案】10
【解析】二项式 展开式通项为 ,令 ,则 ,所以 ,故展开式中 项的系数为 10 .
13.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 的渐近线上,直线 与 轴交于点 ,满足 且 ,则双曲线 的离心率为_______.
【答案】 2
【解析】点 ,当点 在 上时,由 得 , ,因为 ,所以 ,得 ,从而离心率 ,当点 在 时,同理可得 .
14.正方体 的棱长为 4, 为侧面 内的动点 (含边界),若 分别与直线 所成角的正切值之和为 ，则当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】因为 ,所以直线 与直线 所成角为 , 因为 ,所以 与直线 所成角为 ,所以 ,得 ,所以点 的轨迹是在正方形 内以 为焦点的椭圆的一部分,其方程为 . 因为 ，所以要使三棱锥 的体积最大，则点 是椭圆的上顶点，恰为正方形 的中心,因为 ,所以 外接圆的圆心为 的中点 ,过点 作平面 的垂线交 于点 ，因为 ，所以 外接圆的圆心为 的中点 ,而 平面 ,所以三棱锥 外接球的球心为 ,外接球半径 ,故表面积 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某学校组织天文学知识竞赛，甲、乙两人各自从 4 个问题中随机抽取 3 个问题作答，每答对一题得 1 分, 已知这 4 个问题中, 甲能正确回答其中的 2 个问题, 而乙能正确回答每个问题的概率均为 ,甲、乙两人对每个问题回答正确与否都是相互独立的.
(1)设甲得分为 ，求 的分布列及期望；
( 2 )求比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率 .
【解析】(1) 的取值为 1,2,
所以 分布列为
期望 .
(2)乙得分为随机变量 ，
甲得 1 分乙得 0 分的概率为 ,
甲得 2 分乙得 1 分或 0 分的概率为
所以比赛结束后甲的得分大于乙的得分的概率 .
16.已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)令 ，若函数 的图象与 相切，求 的值.
【解析】(1) ,
① 当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；
② 当 时， ，
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2) ，设切点坐标为 ，
则 ,消去 得 ,
因为 在 上单增,且 ,
所以 ,进而 .
17.如图所示，在三棱柱 中， ， ，且满足平面 平面 .
(1)证明: ；
(2)设点 是棱 上一点，当直线 与平面 所成的角最大时，求 的值.
【解析】
(1)证明:如图，设点 是 的中点，连接 ， .
由于 ,故 .
又平面 平面 平面 ,平面 平面
故 平面 .
而 平面 ,故 ,即 ,
在 中, ,
所以 .
又 ,故 ,所以 ,即 ,
结合 平面 ,
可得 平面 ,
又 平面 ,因此 .
又 ,故 .
(2)解:由(1)知 、 、 两两垂直，所以以 为坐标原点建立如图 空间直角坐标系.
于是 ,
点 是棱 上一点,设 ,
所以 ,
设向量 是平面 的一个法向量,则
所以 ,
设直线 与平面 所成的角为 ,

所以当 时, 达到最大,直线 与平面 所成的角最大,
故 .
18. 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)记 .
(i) 求证: 以 为三边可构成 (其中 分别为边 所对的角),且 为三角形的最长边;
(ii) 记 ,同样可得: 以 为三边可构成 (其中 分别为边 所对的角)，如此往复构造可得一系列 ,求数列 的通项公式.
【解析】(1) 在 中,由余弦定理得: ,
所以 .
(2)方法一:
(i) 因为 ,则 ,则 ,
所以 ,
又 ,
从而 , (6 分)
因为 ,
所以
,
所以以 为三边可构成 (其中 分别为边 所对的角), 且 为三角形的最长边;
(ii) 依题意有: ,
设 ,
显然 ,
在 中,由余弦定理得:

因为
所以 .
又 在 上单调递减,
所以 ,又 ,
故 .
方法二:
(i) 因为 ,
所以 ,
又 ,
分别以 为三角形的内角作外接圆直径为 1 的三角形,
由正弦定理知,该三角形的三边分别是 ,
所以 能构造 ,
且 ,又 ,则 ,且 是 的最长边;
(ii) 在 中, ,
则 ,
又 ,
由正弦定理知，该三角形的三边分别是 ， ， ，
由正弦定理知，该三角形的三边分别是 ， 与 的三边 分别相等,
故两个三角形全等,则 ,
即 ,解得 .
19.已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2) ， 是椭圆 上异于点 的两动点，直线 、 的斜率互为相反数.
(i) 求证: 直线 的斜率为一定值;
(ii) 求 外接圆在点 处的切线 的方程.
【解析】(1) 因为椭圆 的离心率为 ,所以 ,
又点 在 上,得 ,从而 ,
故椭圆 的方程是 .
(2)(i)直线 方程是 ，设 ，联立椭圆得:
消去 得: ,
,
由韦达定理有: ,
因为 ,所以 ,
则 得:
,
或 .
若 ,直线 ,化为: ,
过点 与已知矛盾,舍去,
所以 ,直线 ,故直线 的斜率为一定值 ;
(ii) 方法一:
设 外接圆方程为 ,
点 在圆上, ,
外接圆方程化为: ,
将直线 方程 代入圆方程得: ,
整理得: ,
由韦达定理有: ,
由于 ,所以 (i) 中的韦达定理化为: ,
两个韦达定理得: ，①
,②
将①式代入②式得:
,从而 或 .
若 ,由①式知 ,此时直线 ,过点 与已知矛盾,所以这种情况不成立;
若 外接圆圆心 与点 连线的斜率
所以外接圆的切线方程为 .
方法二:
如图, 外接圆圆心为 ,圆 在 点处的切线为直线 ,
即图中直线 ,先证图中 ,
连接 ,
,
又 直线 为圆 的切线, ，
,
再利用到角公式证明直线 的斜率 ,
设直线 的斜率为 ,则 的斜率为 ,由 (i) 知: 直线 的斜率为 ,
由到角公式有: ,
,
最后得到直线 (即 点处的切线方程) 的方程为 .1
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