山西省阳泉市第一中学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试 数学试卷

这是一份山西省阳泉市第一中学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试 数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
下列各组对象能构成集合的是（ ）
充分接近的所有实数B．所有的正方形
C．著名的数学家D．1，2，3，3，4，4，4，4
已知集合 A  {1, 2,3, 4}，那么 A 的真子集的个数是
A．15B．16C．3D．4
命题“ x  R, x2  3x  3  0 ”的否定是（ ）
x  R, x2  3x  3  0B． x  R, x2  3x  3  0
C． x  R, x2  3x  3  0D． x  R, x2  3x  3  0
下列各选项中的两个函数为同一函数的是（ ）
x2
A． f  x 和 g  x  (
x3
B． f  x 和 g  x  (
x )2
x )3
x2 1
C． f  x 
和 g  x 
x 1 
x 1
D． f  x  x2 1 和 g  x  x 1
x 1
下列函数中，既是偶函数又在0, ∞ 上单调递减的为（ ）
y  x1
函数 f  x 
B． y  x4
 
ln x  2
的图像大致是（ ）
x 1
C． y  lnx
D． y  2 x
B．
C．D．
已知 f  x 在R 上是周期为 4 的奇函数，当 x 0, 2 时， f  x  2x2 ，则 f 2019 等于（）
- 2
B．2C． - 98
a  2 x  x  2
D． 98
 2 
设函数 f  x  x
是 R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A． ∞, 2
 1  1 x  2
 
B．  , 13
C． 0, 2
D． 13 , 2 
8  8

二、多选题
下列说法正确的是（ ）
已知 f (x)  x2  x 1，则 f (x 1)  x2  3x 1；
x
已知 f (
1)  x  2
1，则 f (x)  x2 (x  1) ；
x
已知一次函数 f ( x) 满足 f [ f ( x)]  4x  6 ，则 f (x)  2x  2 ；
定义在R 上的函数 f ( x) 满足2 f (x)  f (x)  x 1，则 f (x)  x 1
3
下列结论中正确的是（ ）
若a  b  0，m  0 ，则 b  m  b
a  ma
函数 f  x )的定义域为1, 5 ，则函数 f 2x 1 的定义域为0, 3
“  x  2 x  3  0 成立”是“ x  2  x  3  1 成立”的充要条件
设a，b  R ，若1  a  b  2 且2  a  b  4 ，则5  4a  2b  10
已知函数 f  x 的定义域是0, ∞ 且 f  x  f  y   f  x  ，当 x  1 时， f  x  0 ，且 f  1   1，下列
y
2
 

 
说法正确的是（ ）
A． f 1  0
函数 f  x 在0, ∞ 上单调递减
f 2  f  1   f 3  f  1  L f 2024  f 1   0
232024
  
  
满足不等式 f  x  f  x 1≥ 2 的 x 的取值范围为1, 4 
 3 
三、填空题

x2  2x, x  3

设函数 f (x)  x  5, x  3 ，则 f ( f (1))  ．
若3m  3m  2 3 ，则9m  9m 的值为.
若关于 x 的不等式 x2  bx  c  0 的解集是 , 1  ∪ 2,  ，则 x2  bx  c  0 的解集为.
2 

四、解答题
已知集合 A  x∣ 2  x 1  5 ，集合 B  x∣m  1  x  2m  1m  R  .
(1)若m  4 ，求 A  B ， ðR  A  B ；
(2)若集合 B 是 A 的子集，求实数m 的取值范围.
已知集合 A  x  R∣ax2  3x  2  0
若a  1 ，写出 A 的所有子集
若集合 A 中只含有一个元素，求a 的值． 17．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为 3 米，底面积为 12 平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150 元，屋顶和地面以及其他报价共计 7200 元.设屋子的左右两侧墙的长度均为 x 米（ 2  x  6 ）.
当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？最低为多少？
现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为 900a ( + x ) 元（ a  0 ），若无论左右两
x
面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 a 的取值范围.
18．已知函数 f (x)  lga (1 x)  lga (1 x) ，（ a  0 且a  1）
求 f ( x) 的定义域；
判断 f ( x) 的奇偶性，并予以证明；
求使 f (x)  0 的 x 取值范围.
2  3x
19．已知函数 f  x 1 .
3x1
求 f  x 的定义域和值域；
判定函数 f  x 的单调性，并用定义证明；
若对x ， x  R ，且 x  x
2 ，不等式 f  x   f  x   m2  5m  0 恒成立，求实数m 的取值范围.
121212
1．B
由集合的确定性和互异性即可判断答案.
【详解】选项 A，C 不满足集合的确定性；集合 B 正方形是确定的，故能构成集合；选项 D 不满足集合的互异性．
故选：B．
2．A
【详解】集合 A 里有 4 个元素，那么它有24 1  15 个真子集，故选 A 3．B
根据题意，结合全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称量词命题与存在量词命题的关系得：
命题“ x  R, x2  3x  3  0 ”的否定为“ x  R, x2  3x  3  0 ”.
故选：B.
4．B
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
B
D
A
B
ABD
ACD
题号
11
答案
ACD
利用函数三要素：定义域，对应关系，值域，可判断.
x2
【详解】对于选项 A： f (x) 的定义域为(, ) ，而 g ( x)  (
x )2 的定义域为 [0, ) ，
因两函数定义域不同，故不是同一函数，故 A 错误；
13
x3
对于选项 B： f (x) ，由 x3  0 ，得
x  0 ，故定义域为 [0, ) 则 f  x  x3 2  x 2 （当
x  0 )，
 1 33
而 g(x)  (
x )3 ，显然函数定义域为 [0, ) ，则 g  x   x 2 

 x 2 ，
因两函数的定义域均为 [0, ) ，且对任意
x  0 ，均有
3
f  x  x 2  g  x .
故两函数是同一函数，即 B 正确；
x 1
对于选项 C： f (x) 
x2 1 ，由
x2 1  0 ，得 x  1 或
x  1，即 f ( x)
定义域为 (∞, 1] [1, ∞) ，
而 g(x) 
x 1 
，由 x 1  0 且
x 1  0 ，可得
x  1，即 g ( x)
定义域为 [1, ) ，
两函数定义域不同，故不是同一函数，即 C 错误；
x2 1
对于选项 D： f (x) 
，由
x 1
x 1  0 ，得
x  1 ，即定义域为 (, 1)  (1, ) ，
而 g(x)  x 1的定义域为(, ) ，即两函数的定义域不同，故不是同一函数，即 D 错误.故选：B
5．B
根据一般幂函数、对数函数的奇偶性判断 A、C；由奇偶性定义及幂函数的单调性判断 B；由指数函数的单调性判断 D.
【详解】由 y  x1 为奇函数， y  lnx 为非奇非偶函数，A、C 不符合，
由 y  x4  1
x4
1
，则(x)4
 1 且定义域为(, 0) ∪ (0, ) ，故为偶函数，
x4
在0, ∞ 上 y  x4 单调递减，B 符合，
在0, ∞ 上 y  2 x  2x 单调递增，D 不符合.故选：B
6．D
由 x  1 可得 f  x  0 ，即可排除 BC，再由 x  0 可得 f 0  0 ，即可排除 A，从而得到结果.
【详解】当 x  1 时， ln  x  2  0 ， x 1  0 ，则 f  x  0 ，排除选项 B 和 C；当 x  0 时， f 0  ln 2  ln 2  0 ，排除选项 A，选项 D 符合题意.
1
故选：D 7．A
利用函数的周期性得 f 2019  f 1 ，再利用奇函数的性质及条件，即可求出结果.
【详解】因为 f  x 是4 为周期的周期函数所以 f 2019  f 4  505 1  f 1 ，
因为 f  x 在R 上是奇函数，则 f 2019  f 1   f 1 ，又因为当 x 0, 2 时， f  x  2x2 ，则 f 2019   f 1  2
故选：A.
8．B
根据 f ( x) 在 R 上的单调递减，所以分段函数的两段都是各自定义域内的减函数，即a  2  0 ，且
 1 2
2
  1  a  2 2 ，即可求解.
 
【详解】因为 f ( x) 在 R 上的单调递减，
a  2  0
所以 1 2
a  2

，即13 ，
 2 

  1  a  2 2
 
a 
8
所以实数a 的取值范围为 , 13 ，
8 

故选：B 9．ABD
【详解】解：对于 A，因为 f (x)  x2  x 1，
x
x
所以 f (x 1)  (x 1)2  (x 1) 1  x2  3x 1，故正确；
x
对于 B，因为 f (
1)  x  2
1  (
1)2 ，
x
因为
1  1，
所以 f (x)  x2 (x  1) ，故正确；对于 C，设 f (x)  kx  b(k  0) ，
则 f [ f (x)]  k (kx  b)  b  k 2 x  kb  b  4x  6 ，
k 2  4

所以kb  b  6
k  2

，解得
b  2
k  2

或，
b  6
所以 f (x)  2x  2 或 f ( x)  2x  6 ，故错误；
对于 D，因为定义在R 上的函数 f ( x) 满足2 f (x)  f (x)  x 1①，所以2 f (x)  f (x)  x 1②，
由①2 +②，得3 f (x)  x  3 ，
所以 f (x)  x 1，故正确.
3
故选：ABD.
ACD
由不等式的基本性质即可判断 A 选项；由函数定义域的定义即可求得函数 f 2x 1 的定义域，判断 B 选项；
分别解两个不等式得到解集，即可判断 C 选项；设4a  2b  x a  b  y a  b ，解 x, y 的值，然后由不等式的同向可加性得到4a  2b 的范围，判断 D 选项.
【详解】∵ a  b  0，m  0 ，∴ am  bm ，∴ am  ab  bm  ab ，
即a m  b  b m  a ，所以 m  b  b ，A 选项正确；
m  aa
令1  2x 1  5 ，∴ 0  x  2 ，∴函数 f 2x 1 的定义域为0, 2 ，B 选项错误；
 x  2 x  3  0 ，则 x 2, 3 ， x  2  x  3  1 ，解得 x 2, 3 ，C 选项正确；令4a  2b  x a  b  y a  b ，即4a  2b   x  y  a   y  xb ，
x  y  4

即 y  x  2
，解得x  3 ，即4a  2b  3a  b  a  b ，
 y  1

∴1 3  2  4a  2b  2  3  4 ，∴ 5  4a  2b  10 ，D 选项正确.故选：ACD.
ACD
根据给定条件，利用赋值法可判断 A 和 C；结合函数单调性的定义可判断 B；利用单调性解不等式可判断 D.
 y 
【详解】函数 f  x 的定义域为0, ∞ 且 f  x  f  y   f  x  ，

对于 A，取 x  y  1 ，则 f 1  f 1  f 1  0 ，故 A 正确；
对于 B， x , x 0,  且 x  x ，有 x2  1，
x
1 212
1
因为 x  1 时， f  x  0 ，所以 f  x2   0 ，于是 f  x   f  x   f  x2   0 ，
 x 21 x 
 1  1 
 t 
即 f  x2   f  x1  ，所以函数 f  x 在0, ∞ 上单调递增，故 B 错误；对于 C，取 x  1 ， y  t 0,  ，则 f 1  f t   f  1  ，
 
 t 
即 f t   f  1   f 1  0 ，
 
则有 f 2  f  1   f 3  f  1  L  f 2024  f 
1   0 ，
232024
  
  
因此 f 2  f  1   f 3  f  1  L f 2024  f 1   0 ，故 C 正确；
232024
  
  
 2 
对于 D，由选项 C 知， f 2  f  1   0 ，
 
 
则 f 2   f  1   1 ， f 4  f 2  f  1   2 ，
2
2
 
  
x  0
x 1  0
所以不等式 f  x  f  x 1≥ 2 等价于
 f 
，
x   f 4


因为函数 f  x 在0, ∞ 上单调递增，
x  0
 x 1 
x 1  0
所以
，解得1  x  4 ，故 D 正确.
 x  43
 x 1
故选：ACD.
8
根据给定的分段函数，分段判断并代入求值.
x2  2x, x  3

【详解】函数 f (x)  x  5, x  3
，则 f (1)  1 5  4 ，
所以 f ( f (1))  f (4)  42  2  4  8 .
故答案为： 8
13．14
3m  3m  2 3 两边平方求出答案.
【详解】3m  3m  2 3 ，两边平方得3m  3m 2  12 ，即9m  9m  2  12 ，解得9m  9m  14 .
故答案为：14
14． 2,  1 
2 
由不等式 x2  bx  c  0 的解集知方程 x2  bx  c  0 的两个根，根据韦达定理求得b, c 的值，再解不等式 x2  bx  c  0 即可求得解集.
【详解】∵不等式 x2  bx  c  0 的解集是 , 1  ∪ 2,  ，
2 

∴方程 x2  bx  c  0 的两个根为 1 , 2
2
则b   5 , c  1.
2
由 x2  bx  c  0 得 x2  5 x 1  0 ，即 x  22x 1  0 ，
2
解得2  x   1 ，所以不等式的解集为2,  1  .
2
故答案为： 2,  1  .
2 
2 
15．(1) A  B  {x | 5  x  6}， ðR ( A ∪ B)  {x | x  1或 x  7}.
(2)  , 7 
2 

把m  4 代入，利用并集、补集的定义求解.
由集合的包含关系列式求解.
【详解】（1）当m  4 时， B  {x | 5  x  7}，而 A  {x | 1  x  6}，则 A  B  {x | 5  x  6}，
A ∪ B  {x | 1  x  7}，
所以ðR ( A ∪ B)  {x | x  1或 x  7}.
（2）由 B  A ，
当m 1  2m 1，即m  2 时， B   ，满足 B  A ，则m  2 ；
当 B   时，由 B  A ，得1  m 1  2m 1  6 ，解得2  m  7 ，
2
综上实数m 的取值范围是m  7 .
2
16．(1) ,1,2,1, 2
(2) 0 或 9
8
先将a  1 代入，求解一元二次方程得到集合 A 的元素，再根据子集的定义列出所有子集.
分类讨论，当a  0 时，方程为一元一次方程，求解得到集合 A 的元素；
当a  0 时，方程为一元二次方程，利用判别式  0 时方程有且仅有一个实数根，求出a 的值，再验证集合
A 的元素个数.
【详解】（1）当a  1 时，集合 A  x  R∣x2  3x  2  0，解方程 x2  3x  2  0 得 x  1 或2 ，则集合 A  1, 2，其子集有,1,2,1, 2.
（2）当a  0 时，集合 A  x  R∣ 3x  2  0，解方程3x  2  0 得 x  2 ，
3
 3 
则集合 A   2  ，满足要求；
 
当a  0 时，方程ax2  3x  2  0 有两个相同的解，即Δ  32  4a  2  0 ，解得a  9 ，
8
代入得方程 9 x2  3x  2  0 ，解得 x  4 ，则集合 A   4  ，满足要求.
3
8
综上， a 的值为0 或 9 .
8
17．(1) 4 米，14400 元
(2)a | 0  a  12

3 
先求得总造价的表达式，然后利用基本不等式求得最低报价.
根据整体报价列不等式，然后分离参数a ，利用基本不等式求得a 的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为 y 元，
12 
16 
则 y  3150  2x  400  x   7200
900  x  x   7 200(2  x  6) ，

x  16
x
又900  x  16   7200  900  2

 7200  14400 ，
x 


16
当且仅当 x，即 x  4 时等号成立.
x
即当左右两面墙的长度为 4 米时，甲工程队的报价最低为14400 元.
（2）由题意可得， 900  x  16   7200  900 (1 + x ) 对任意的 x x | 2  x  6 恒成立，
x 
即 x  42
x
a 1 x ， x

x  4 2
所以a  x 1
x 1
9
x 1
 6 ，
又 x 1
9
x 1
 6  2
 6  12 ，
 x 1
9
x 1
当且仅当 x 1 
9
x 1
，即 x  2 时等号成立.
所以0  a  12 ，所以a 的取值范围为a | 0  a  12 .
18．（1）{x | 1  x  1}；（2）函数 f ( x) 是奇函数，证明见解析；（3）当a  1 时， 0  x  1；当0  a  1时，
1  x  0
【解析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；
函数 f ( x) 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；
不等式化为lga (1 x)  lga (1 x) 后，分类讨论底数a ，根据对数函数的单调性可解得结果.
1
1 x  0
【详解】（ ）要使函数数 f ( x) 有意义，则必有
1 x  0
，解得1  x  1，
所以函数 f ( x) 的定义域是{x | 1  x  1} .
函数 f ( x) 是奇函数，证明如下：
∵ x (1,1) ， x (1,1) ，
f (x)  lga (1 x)  lga (1 x)
 lga (1 x)  lga (1 x)
  f (x) ，
∴函数 f ( x) 是奇函数
使 f (x)  0 ，即lga (1 x)  lga (1 x)

1 x  1 x
当a  1 时，有1 x  0

1 x  0
，解得0  x  1，

1 x  1 x
当0  a  1时，有1 x  0

1 x  0
，解得1  x  0 .
综上所述：当a  1 时， 0  x  1；当0  a  1时， 1  x  0 . 19．(1)定义域R ；值域0, 6
函数 f  x 在 R 上单调递增，证明见解析
6,1
【详解】（1）对于函数 f  x 
2  3x
2  3x
3x1 1
，因为3x1  0 ，所以3x1 1  0 恒成立，
所以函数 f  x 
3x1
1 定义域R ；
f  x 
2  3x 63
30 1 1
3x1 11 3
3x
，因为 0 ，所以1 1，所以 3x3x
1 3，
3x
0 6
所以1 3
3x
 6 ，即函数 f  x 的值域0, 6 ；
函数 f  x 在 R 上单调递增，证明如下：
2  3x
6  3x18
x , x  R
x  x

f  x 
3x1
13x
 3  6  3x
 3 ，任取 1 2
，且 12 ，

18
18
1818
183x1  3x2 
1

2

2
33 112
则 f (x1 )  f (x2 )  6  3x  3   6  3x
 3   3x 
 x  3  3x  33x
 3
，
1 2
12
因为 x , x  R ，所以3x1  33x2  3  0 ，因为 x
 x ，所以3x1  3x2  0 ，
所以 f (x1 )  f (x2 )  0 ，即 f (x1 )  f (x2 ) ，所以函数 f  x 在 R 上单调递增；
对x ， x  R ，且 x  x  2 ，不等式 f  x   f  x   m2  5m  0 恒成立，
121212
12
即不等式 f  x   f  x   m2  5m 恒成立，
由（2）知函数 f  x 在 R 上单调递增，因为 x1  x2  2 即 x1  2  x2 ，所以 f  x1   f 2  x2  ，
因为 f  x  f 2  x  6  3x  6  32 x  6  3x  6  3  6 ，所以 f  x   f 2  x   6  f  x  ，

3x  332x  33x  33  3x
即 f  x1   f  x2   6 ，所以m2  5m  6 ，
即m2  5m  6  m  6m 1  0 ，解得6  m  1 ，
122