2025-2026学年上海市青浦区平和双语学校八年级（上）期中数学试卷（含解析）

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生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（每题4分）
1．如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的对应中线的比是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，，那么的值为
A．B．C．D．
3．在△中，点，分别在边，上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，下列判断正确的是
A．与的方向相同B．
C．与不平行D．
5．已知在中，，分别交边、于、，且，则与的面积比是
A．B．C．D．
6．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
7．（3分）已知，那么 ．
8．（3分）化简： ．
9．（3分）在一张比例尺为的地图上，、两地之间的距离是20厘米，那么、两地之间的实际距离为 千米．
10．（3分）已知线段，是的黄金分割点，且，那么 ．
11．（3分）已知线段厘米，厘米，线段是线段和线段的比例中项，线段的长度等于 厘米．
12．（3分）在中，，如果，，那么 ．
13．（3分）如图，，，，，则 ．
14．（3分）如图，在△中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 ．
15．（3分）如图，在△中，，，垂足为点，若，，则 ．
16．（3分）如图，已知是的角平分线，，点在上，，，那么 ．
17．（3分）如图，在等边△中，为上一点，为上一点，，若，，求△的边长．
18．（3分）如图，在△中，，，，点是边的中点，将△绕着点顺时针旋转后，使点与点重合，点落到点处，点落到点处，得到△，且交于点，那么线段的长是 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分0分）
19．计算：．
20．如图，在梯形中，，与交于点，．设．
（1） （用向量表示）；
（2）若，在图中求作．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．
21．已知，如图，，，，．
（1）求的长；
（2）如果，，试求的长．
22．材料阅读：
问题解答：
如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若，，三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求的正弦值；
（2）求的长．（结果精确到，参考数据：，
23．已知在梯形中，，．
（1）求证：△△；
（2）联结，若，求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点和点，点．
（1）求线段的长度；
（2）联结线段、，求的值；
（3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．
25．如图1，在△中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点与点不重合），且．
（1）当时，如图2，联结，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结，若△为等腰三角形，求的长．
参考答案
一、选择题（每题4分）
1．如果两个相似三角形的相似比是，那么它们的对应中线的比是（ ）
A．B．C．D．
解：两个相似三角形的相似比是，
两个相似三角形对应中线的比等于相似比，
故选：．
2．在中，，，，那么的值为
A．B．C．D．
解：在中，，，，
则，
故选：．
3．在△中，点，分别在边，上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A．B．C．D．
解：如图，
可假设，则可得，，
但若只有，并不能得出线段．
故选：．
4．已知，下列判断正确的是
A．与的方向相同B．
C．与不平行D．
解：因为，
、与的方向相同，正确；
、，错误；
、与平行，错误；
、，错误；
故选：．
5．已知在中，，分别交边、于、，且，则与的面积比是
A．B．C．D．
解：，
，
，
，
与的面积比是：，
故选：．
6．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为
A．1B．2C．3D．4
解：①，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定△△，故①正确；
②，，由有两角对应相等的两三角形相似，能够判定△△，故②正确；
③，△和△两边对应出比例，但两边的夹角和不一定相等，因此不能判定△△，故③错误；
④由，得到，又，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，能够判定△△，故④正确．
因此正确的个数是3个．
故选：．
二、填空题
7．（3分）已知，那么 ．
解：的两个内项是、1，两个外项是、3，
，
根据合比定理，知；
又上式的两个内项是和4，两个外项是和1，
．
故答案为：．
8．（3分）化简： ．
解：．
故答案为：．
9．（3分）在一张比例尺为的地图上，、两地之间的距离是20厘米，那么、两地之间的实际距离为 2 千米．
解：由题意可得：实际距离为厘米，
（千米）．
故答案为：2．
10．（3分）已知线段，是的黄金分割点，且，那么 ．
解：由题意可得：，
．
故答案为：．
11．（3分）已知线段厘米，厘米，线段是线段和线段的比例中项，线段的长度等于 4 厘米．
解：线段是线段和线段的比例中项，
，
即，
解得或（舍去），
即线段的长度等于4厘米．
故答案为：4．
12．（3分）在中，，如果，，那么 4 ．
解：如图所示，
在中，，，，
，
则，
故答案为：4．
13．（3分）如图，，，，，则 3 ．
解：，，，
，
，
，即，
，
故答案为：3．
14．（3分）如图，在△中，是中线，是重心，过点作，分别交、于点、，若，则 9 ．
解：，
，
是中线，是重心，
，
，
，
故答案为：9．
15．（3分）如图，在△中，，，垂足为点，若，，则 ．
解：，
，
，
，
△△，
，即，
解得：，
，
故答案为：．
16．（3分）如图，已知是的角平分线，，点在上，，，那么 4 ．
解：，
（两直线平行，内错角相等），△△，
是的角平分线，
，
（等量代换），
，
设，
△△，
（相似三角形对应边成比例），
解得，
解得或（不符合题意，舍），
故答案为：4．
17．（3分）如图，在等边△中，为上一点，为上一点，，若，，求△的边长．
解：△是等边三角形，
，，
，
，
，
，
即，，
△△；
，
、，
，解得，
△的边长为9．
18．（3分）如图，在△中，，，，点是边的中点，将△绕着点顺时针旋转后，使点与点重合，点落到点处，点落到点处，得到△，且交于点，那么线段的长是 ．
解：，，，
，
，，
△绕着点顺时针旋转后得到△，是的中点，
，，，
点是的中点，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共7题，满分0分）
19．计算：．
解：原式
．
20．如图，在梯形中，，与交于点，．设．
（1） （用向量表示）；
（2）若，在图中求作．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量．
解：（1），
△△，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图，取中点为，连接，则，
为中点，
，
在△中，，
故为表示结论的向量．
21．已知，如图，，，，．
（1）求的长；
（2）如果，，试求的长．
解：（1），，，
，
，
，即，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）；
（2）如图，，，，过点作交于点，交于点，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
，
，
△△，
，
，，
，
，
解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
．
22．材料阅读：
问题解答：
如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若，，三点在同一条直线上，请依据相关材料回答以下问题：
（1）求的正弦值；
（2）求的长．（结果精确到，参考数据：，
解：（1）在△中，，，
，
光线从空气进入水中时的折射率为，
，
，
即的正弦值为；
（2），
，
在△中，，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
答：的长约为．
23．已知在梯形中，，．
（1）求证：△△；
（2）联结，若，求证：．
【解答】证明：（1），
，
，，
，
△△；
（2）由（1）知，△△，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点和点，点．
（1）求线段的长度；
（2）联结线段、，求的值；
（3）设线段与轴交于点，如果点在轴上，且△与△相似，求点的坐标．
解：（1）在平面直角坐标系中，已知点和点，点．
；
（2）如图，
，，，
，，
，
，
△是直角三角形，
；
（3）设直线的表达式为，由题意可得：
，
解得，
设直线的表达式为，
令，得，
解得，
，
当△△时，，如图，过点作轴于点，
，
，，
△△，
，
由（2）知，即，
，即，
，
，
；
当△△时，，此时点与点重合，
；
综上所述，点的坐标为或．
25．如图1，在△中，，，点为中点，点为边上一动点，点为射线上一动点（点与点不重合），且．
（1）当时，如图2，联结，求的余切值；
（2）当点在线段上时，设，，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）联结，若△为等腰三角形，求的长．
解：（1）如图，在△中，，，连接，
，
由勾股定理得：，
点为中点，
，，
，，如图2，
△△，，
，△为等腰直角三角形，
，，
在△中，；
（2）如图3，，过点作于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
△△，
，
，
；
（3），，
，
若△为等腰三角形，分两种情况讨论：
①当时，如图4，则，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
此时与重合，
；
②当时，如图5，点在的延长线上，过点作于点，
，
，
△是直角三角形，
，
，
，
，
△△，
，
，
，
；
综上所述，的长为6或7．
光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．
光从空气中射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射，我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为．