湖北省楚天协作体2026届高三上学期12月月考 数学试卷

这是一份湖北省楚天协作体2026届高三上学期12月月考 数学试卷，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在复平面内，等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，点对应的复数为，则点对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知圆与直线相切，且与圆外切，则圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线的一支
C．抛物线D．圆
4．已知函数在上的最小值为-1，那么实数的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
5．已知定义域为的函数满足，且，则（ ）
A．B．2C．D．
6．已知为中边上一点且满足，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．莱莫恩（Lemine）定理指出：过的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和所在直线交于点，则三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemine线．在平面直角坐标系中，若的三个顶点坐标分别为，则该三角形的Lemine线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．若实数满足，则的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．正四面体的棱长为2，为的中点，则下面说法正确的是（ ）
A．
B．平面
C．直线与直线所成角的余弦值为
D．过点且平行于平面的截面面积为
10．已知的内角的对边分别为，满足且，则下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的面积为
D．的外接圆的半径与内切圆的半径之比为8：3
11．如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．的最小值为
C．
D．
三、填空题
12．函数在处的切线与直线垂直，则实数的值为 ．
13．已知等比数列的各项均为正数，且前3项和为84，，则 ．
14．已知正四棱柱，其中，顶点处有一只蚂蚁，该蚂蚁每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且沿任一棱长为1的棱移动概率为，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若蚂蚁的初始位置位于点处，记蚂蚁移动次后仍在面上的概率为，则 ．
四、解答题
15．某青少年跳水队共有100人，在强化训练前、后，教练组对他们进行了成绩测试，分别得到如图1所示的强化训练前的频率分布直方图，如图2所示的强化训练后的频率分布直方图．
(1)根据图中数据，估计强化训练后的成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)规定得分80分以上（含80分）的为“优秀”，低于80分的为“非优秀”．将表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断跳水运动员是否优秀与强化训练有关？
附：．
16．已知数列满足．
(1)证明：数列是等差数列，并求；
(2)定义向量，且，求．
17．如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，其中．
(1)证明：平面平面；
(2)若点在同一球面上，设该球面的球心为．
①求球的表面积；
②求直线与平面所成角的正弦值．
18．在平面直角坐标系中，已知，动点满足直线和直线的斜率之积是．
(1)求动点的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线；
(2)当时，为的轨迹上的两个动点，记直线的斜率分别为，若，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．
19．已知函数．
(1)证明：当，时，；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：当时，．
参考答案
1．C
【详解】由等腰直角三角形的直角顶点为坐标原点，点和点分别在第一象限和第二象限，
则点可以看作点绕点逆时针方向旋转90度而得到，
因为点对应的复数为，设点对应的复数为，其中，
则满足，解得，所以点所对应的复数为.
故选：C．
2．D
【详解】由题意得，，
则．
故选：D.
3．C
【详解】由题意可知，所求圆的圆心在直线左侧，即.
设所求圆的圆心为，半径为，
由圆与直线相切，得，
已知圆的圆心为，半径为1，
当两圆外切时，圆心距等于两圆半径之和，即，得.
平方后整理得，
故轨迹方程为，是抛物线．
故选：C．
4．C
【详解】函数在区间上的最小值是-1，
令，
因为，所以只需，或解得，或.
所以实数的取值范围是，实数的最小值为2.
故选：C.
5．A
【详解】，故为奇函数，
又，故，即，
故，所以的一个周期为2，
则．
故选：A
6．B
【详解】由得，故 ，
所以
，
故选：B．
7．B
【详解】的外接圆方程设为，
，
解得，
外接圆方程为，即，
故外接圆的圆心坐标为，半径，
故外接圆在处切线方程为，
又，令得，，∴，
∴在处切线方程为，
又，令，得，∴，
∴直线，即.
由题意可知点三点在同一条直线上，
∴三角形的Lemine线的方程为．
故选：B
8．D
【详解】令，
得，
在同一坐标系内作出函数的图象，
则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标，观察图象得，
当时，；当时，；
当时，，
因此ABC都可能，D不可能．
故选：D
9．BD
【详解】
对于A选项，取中点，连接，因为为的中点，所以，
又与不平行，所以与不平行，故A错误．
对于选项，平面，，
所以平面，故B正确．
对于选项，取中点，连接，因为正四面体的棱长为2，
所以，由勾股定理可得，，
又因为为的中点，为的中点，所以，且，
所以（或其补角）为异面直线与直线所成的角，
由余弦定理得，
所以与所成角的余弦值为，故C错误．
对于选项，取中点，连接，又为的中点，为的中点，
所以，，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
所以为截面图形，可得为边长为1的正三角形，
所以面积为，故D正确．
故选：BD．
10．ACD
【详解】对于，因为，由正弦定理得，
可得，即，所以A正确；
对于B，因为，且，可得，
所以，则，所以B不正确；
对于C，因为，由余弦定理得，
又由A知：，因此，即，
联立方程组，解得，
所以的面积为，所以C正确．
对于D，设外接圆的半径为，内切圆的半径为，
由正弦定理可得外接圆半径，
因为的面积为，且周长为，
所以，解得，所以，所以D正确.
故选：ACD.
11．ABC
【详解】
对于A，设动圆的半径为，由条件得，
则，且不重合，
故点的轨迹是以为焦点的椭圆（去掉，重合的点），
则曲线的方程为，故A正确；
对于B，由图可知与互补，当点为椭圆短轴端点时，最大，
此时，
所以，
则的最大值为，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D，设，则，即
由题意设，则，即
则，故D错误，
故选：ABC
12．1
【详解】对函数求导得，那么，
因为函数在处的切线与直线垂直，
所以，得．
故答案为：1.
13．/1.5
【详解】设等比数列的公比为，由于，所以，
若，则，与题意矛盾，所以，
则，解得，
所以．
故答案为：.
14．
【详解】由题意可得每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，
所以当蚂蚁在下底面A点时，随机移动一次仍在下底面的概率为，
可得蚂蚁沿长度为的侧棱移动的概率为，
依题意，，
因，则数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，移项得，，
于是，．
故答案为：．
15．(1)83.125；81.4
(2)表格见解析，认为跳水运动员是否优秀与强化训练无关．
【详解】（1）因为，，
所以中位数在之间，
设中位数为，则，
解得.
平均数.
（2）零假设：跳水运动员是否优秀与强化训练无关，补充完整的表格为
则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设成立，
所以认为跳水运动员是否优秀与强化训练无关．
16．(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）证明：由，得，
则数列是等差数列，公差为2，
又，，即.
（2）由（1）得，，
则，
，
.
17．(1)证明见解析
(2)①；②.
【详解】（1）
因为平面,平面，所以，
又因为，所以，
又平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）①由（1）可得两两垂直．
建立空间直角坐标系，如图所示．
则
若在同一个球面上，
则
设球心的坐标为有
解得
所以半径
即球的表面积.
②由，
设平面的一个法向量为
则，可得，
取，则，所以，
又，
设直线与平面所成角为，
则
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)答案见解析;
(2)直线过定点.
【详解】（1）设点，则由题意可得：，整理可得
所以点的轨迹方程为：.
当时，该轨迹表示双曲线（去掉点）；
当或时，该轨迹表示椭圆（去掉点）；
当时，该轨迹表示圆（去掉点）.
（2）当时，点的轨迹方程为，
由点在双曲线上得，由轨迹定义可知，
则，又，所以.
方法一：依题直线斜率不为0，
设直线方程为
联立方程组，
整理得
则
又
即，
代入韦达定理可得：，
解得或（舍去）；所以直线的方程为，
即直线过定点.
方法二：依题直线不过点，则设直线方程为
方程化为，
整理有
联立直线方程，利用代换1齐次化：
整理可得：，
从而，解得，
所以直线的方程为，即
所以直线过定点.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，
则函数在单调递减
即.
（2）
①当时，，不成立.
②当时，，显然成立.
③当时，存在，使得，
当单调递增，单调递减，
则
综上所述：.
（3）先证明：当，．
由等比数列求和公式得：
所以只需证：当时，．
设，只需证：当时，
设，
所以在单调递增，在单调递减，
所以.
所以有，
又，则
所以，
所以，
即当时，强化训练
是否优秀
合计
优秀
非优秀
强化训练前
强化训练后
合计
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828
优秀人数
非优秀人数
合计
强化训练前
40
60
100
强化训练后
60
40
100
合计
100
100
200