四川省绵阳市东辰学校2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：2025.12.8
命题人：姜永峰 审题人：冷世平
一､单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性解不等式可得，即可求交集.
详解】由解得，所以，
所以，
故选:C.
2. 下面与角终边相同的角是（ ）
A. 25°B. C. D. 225°
【答案】D
【解析】
【分析】由终边相同角的概念进行求解．
【详解】因为，所以与终边相同的最小正角是．
故选：D
3. 命题“，”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. a＜1D. a＞1
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件可得，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为命题“，”是真命题，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
4. 已知函数，则的零点所在的区间为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用零点存在性定理判断即可.
【详解】因为，，
所以由零点存在性定理知，的零点所在的区间为.
故选：B.
5. 若函数为偶函数，则（ ）
A. B. 0C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用奇函数、偶函数定义求解未知数a.
【详解】函数的定义域为，令，
因为
，
所以是奇函数，又因为是偶函数，
所以是奇函数，所以，
则，解得.
故选：B.
6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性及指数运算，再借助“媒介数”判断作答.
【详解】，，，而，即，
所以.
故选：D
7. 中国与卡塔尔合建的卢塞尔体育场是世界上最大跨度的双层索网屋面单体建筑．该体育场配备了先进的紫外线消杀污水过滤系统，已知过滤过程中污水的污染物浓度M（单位：mg/L）与时间t的关系为（为最初污染物浓度）．已知前2个小时可消除30%的污染物，那么污染物消除至最初的49%共需（ ）
A. 3小时B. 4小时C. 8小时D. 9小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数式的运算结合题意可得，即可确定污染物消除至最初的49%共需4小时.
【详解】由题可得，当时，,所以，
再令，即，
因为，所以即，所以，
故选:B.
8. 已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】令，则转化为，函数有三个不同的零点，转化为有两个根，一个根在另一根在，根据二次方程根的分布即可求解.
【详解】令，则，由函数有三个不同的零点，
转化为有两个零点，一个零点或另一个零点，则，
则一元二次方程的两根为，即的一个根在另一根在，
令，则有，
即实数的取值范围为，
故选：B.
二､多选题（每小题6分，共18分）
9. 下列函数中既是偶函数又在区间上单调递增的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，即为奇函数，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上单调递增，A不满足要求；
对于B选项，函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
且该函数在上单调递增，B满足要求；
对于C选项，函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
当时，，故函数在上单调递减，C不满足要求；
对于D选项，函数的定义域为，
，即函数为偶函数，
当时，，故函数在上单调递增，D满足要求.
故选：BD.
10. 已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答.
【详解】函数上单调递减，在上单调递增，，
因为函数在的值域为，则，即，
由，得，则有或，
当时，，有，
当时，，有，
令方程的两个根为，如图，
因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，，
于是，解得或，而的最小值为，
则有或，解得或，
所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足.
故选：BC
11. 已知函数，函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 是偶函数
B. 在区间上单调递增
C. 的最小值为0
D. 若函数有三个不同零点，，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，应用奇偶性定义判断A；根据与的平移关系，只需研究的单调性、最值及函数图象判断B、C、D的正误即可.
【详解】由题设，定义域R，
由，即为偶函数，A对；
由，
所以且，则
根据解析式知：在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
在区间上单调递增，即在区间上单调递增，B对；
又，即，
根据易知的最小值为2，C错；
由C分析知，，且趋向于正负无穷时趋向于正无穷，
由有三个不同零点，，，即与有三个交点，
所以与有三个交点，而的大致图象如下，

所以，即，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：注意与的平移关系，通过研究的性质和图象判断B、C、D.
三､填空题（每小题5分，共15分）
12. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数定义域的概念列出不等式求解即可；
【详解】由题意可得：，
解得：且，
所以函数的定义域为，
故答案为：
13. 已知函数的图象恒过定点，若点也在一次函数的图象上，其中实数，满足，则的最小值为______.
【答案】9
【解析】
【分析】根据过定点，推得，进而推得，结合条件推出，利用“1”的妙用和基本不等式计算即得的最小值.
【详解】由恒过定点，需使，解得，即点的坐标为，
因点也在一次函数的图象上，则，
又，则得，
由，
当且仅当时，即时等号成立，
即当时，取得最小值为9.
故答案为：9.
14. 已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题设条件证明函数的单调性和奇偶性确定内的最大值为，从而可得，再分离参变量即可求实数a的取值范围.
【详解】取则有，所以，
取则有，
所以为奇函数，
任意则，
因为，
所以，
令，
则有，
即，
所以在定义域上单调递减，
所以在上单调递减，
令，所以，
所以，
因为对任意，恒成立，
所以对任意恒成立，
分离变量可得，
因函数对任意恒成立，
所以，
所以解得，
故答案为:.
四､解答题（共5小题，共77分）
15. 计算：
（1）；
（2）
（3）若，求的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算公式求解；
（2）利用对数公式求解；
（3）将两边平方，求出，将两边平方求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
，，，
，.
16. 已知二次函数满足，且．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求关于的不等式的解集．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）设出二次函数的解析式，代入，计算求解；
（2）将代入，得到，按照 ，，三种情况讨论求解.
【小问1详解】
（1）设，
，
即，
；
【小问2详解】
（2）．
①当时，，
②当时，，
③当时，．
综上：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
17. 已知是定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）若，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再设，利用奇偶性求出时函数解析式，即可得解；
（2）首先判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性可得，恒成立，则，即可得到不等式，解得即可.
【小问1详解】
解：由题意知，解得，所以当时，，
当，则，所以．
又奇函数，所以，
故当时，．
综上：．
【小问2详解】
解：由，得，
因为是奇函数，所以．
当时，所以函数在上单调递增，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递增．
可得，恒成立，
故，解得．
所以．
18. 已知函数，其中且.
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）当时，求函数的值域；
（3）若对，都存在以，，为边长的三角形，求正整数的值.
【答案】（1）为偶函数，
（2）的值域为，
（3）时或，时所求的正整数值不存在.
【解析】
【分析】（1）根据奇偶性的定义即可判定，
（2）根据基本不等式求解，即可由对数的性质求解，
（3）根据，，为三边长的三角形，将问题转化为恒成立，即可由，分类讨论求解函数的单调性求解.
【小问1详解】
，定义域为,
且，故为偶函数，
【小问2详解】
当时，，
由于，当且仅当时等号成立，
故，
因此的值域为，
【小问3详解】
若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形，
故恒成立，且取值为正，
即，
由于时，故在单调递增，
因此当时，在单调递增，当时，在单调递减，
故当时，所以，即，
化简可得，
结合函数在单调递增，
且当时，，
当时，，
由于为正整数，故或.
当时，所以，即，
化简可得，
结合函数在单调递增，且当时，，当
时，，故此时不存在正整数，
综上所述，当时或；当，不存在满足条件的正整数.
19. 已知函数，.
（1）若，求实数的值；
（2）在（1）问的条件下，解关于的不等式；
（3）若，对任意的，函数在区间内总存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）由计算，利用对数公式计算得解.
（2）解不等式，则此不等式转化为，代入的表达式，解对数不等式得解
（3）由得到，设，由的范围得到的值域，设，由求出的值域，由对任意的，函数在区间内总存在使得成立，得到，利用子集的定义列出的不等式组，计算得解.
【小问1详解】
，，，
，，
，，或，
当，不满足真数大于，即不成立，故；
【小问2详解】
，，
的解为
转化为，，
，，的解集为；
【小问3详解】
，，
，，
，
，
，设
，，的值域为，
设，
对称轴为，，在处取最大值为，
，的值域为，
对任意的，函数在区间内总存在使得成立，
，
，
，，
实数的取值范围为.