吉林省长春市实验中学2026届高三上学期第三学程考试（12月） 数学试卷及参考答案

这是一份吉林省长春市实验中学2026届高三上学期第三学程考试（12月） 数学试卷及参考答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，若且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知直线，和平面，且，则是的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
3．已知数列中，，，则（ ）
A．1B．C．D．
4．双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．3C．D．
5．已知非零向量、满足，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆锥的高为，其内切球的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
7．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知，若关于x的不等式的解集中的整数恰有4个，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数满足，则（ ）
A．
B．
C．的虚部为
D．在复平面内所对应的点在第二象限
10．随机变量，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（ ）
A．的图象关于点对称
B．的最小值为
C．当取最小值时，的最大值为
D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为
三、填空题
12．经过坐标原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为 .
13．记为数列的前项和，满足，且，则 ．
14．若不等式对恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数的最大值为1．
(1)求使成立的的集合；
(2)记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长．
16．某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高三年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高三年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率.
(1)估计甲、乙两校高三年级学生该题选择正确的概率；
(2)从甲、乙两校高三年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题选择正确的人数，求的分布列及数学期望；
(3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案.已知乙校全体高三年级学生该题选择正确的概率为85%.求乙校高三年级学生掌握该知识点的概率估计值.
17．平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于，两点（其中点在轴上方），且的周长为8，现将平面沿轴向上折叠，折叠后，两点在新图形中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示.
(1)求折叠前的标准方程；
(2)若，求；
(3)当时，折叠后，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18．在数列中，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若等比数列满足.
（i）求的值；
（ii）记数列的前项和为.若，求的值.
19．已知函数，.
(1)当时，若，讨论的单调性；
(2)设，若存在两个不同的零点，，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
参考答案
1．D
2．B
3．A
4．A
5．D
6．B
7．A
8．A
9．AB
10．ACD
11．BCD
12．
13．38
14．
15．（1）
，
最大值为，
所以，
即，
则，即，
即，
即，
所以的解集为：
（2）因为，
即，即，
因为为三角形内角，所以，得，
又的面积为，即，
得，
又
则即，
所以周长为.
16.（1）由题意可估计甲校高三年级学生该题选择正确的概率；
（2）设为“从甲校抽取1人选择正确”，则，，
设为“从乙校抽取1人选择正确”，则，，
依题可知，可取0，1，2，，
，，
故的分布列如下表：
故；
（3）设“乙校掌握这个知识点的学生做该题”的概率为P，则，故.
17．（1）由题意得：，解得，
故折叠前椭圆的标准方程.
（2）由（1）可知，
直线l经过且斜率为，则直线方程为，与椭圆联立，
消得： ，
设交点，则，，
由弦长公式可得：；
（3）当时，直线的方程为：，
联立，解得，，
以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则：，，，，
故，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，则，，
故，.
平面的一个法向量为，
故，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
18．（1）因为，所以，
又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）（i）由（1）可得，所以，所以，
则，
因为数列为等比数列，所以，即，
化简得，解得或，又，所以，
当时，，此时为定值，符合题意；
（ii）由（i）可知，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以，易知，所以，所以为偶数，
因为，所以，
化简得，解得或（舍去），所以．
19．（1）由题的定义域为，，
若，令，得，.
当时，，
当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，，
当或时，；当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增.
（2）（i）由题意知，
所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为函数存在两个不同的零点，故，即.
所以的取值范围为
（ii）下面找出两个点，，使得，,
注意到，且，于是考虑找点，，
下面我们证明：，，
①，设，下证，
方法1：设，则，则，
所以在上单调递增，得，
所以在上单调递增，
故，即，
因此，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
因此，又，故，即，
又，所以.
方法2：易知，设，则，
所以在上单调递增，得，
所以在上单调递增，故，
又，从而，即，
又，所以.
②，
设，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
又，即，
所以，且，
因此，
又，所以，即，
于是.0
1
2
0.05
0.35
0.6