精品解析：陕西省西安中学2025-2026学年高三上学期质量检测（三）数学试题

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（时间：120分钟 满分：150分）命题人：龚世俊
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设复数，则（ ）
A. B.
C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
求得后再求模长即可.
【详解】,故.
故选：B
【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与模长运算等.属于基础题型.
2. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别解出集合中的分式不等式和集合中的对数不等式，再利用集合的交集运算即可求解.
【详解】不等式等价于，解得，
；
不等式等价于，
，，，
.
故选：D.
3. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可结论.
【详解】若，则或或或，故A错误；
若，则或，故B错误；
若，在内作，所以，又，所以，
又，所以，所以，故C正确；

若，则或或为异面直线，故D错误.
故选：C.
4. 已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由，可得，然后由向量夹角公式可得答案；
【详解】因为为单位向量，由，
所以，
即，
设与夹角为，
则，
又，所以.
故选：C.
5. 由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（ ）
A. 60B. 108C. 132D. 144
【答案】B
【解析】
【分析】根据插空法先排奇数，再排偶数去除0在首位的情况计算即可.
【详解】先排3个奇数，有种排法，
排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有种排法，
但此时0放在首位的情况有种，故满足条件的排法有.
故选：B
6. 对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.将某公司新产品自上市起的月份与该月的对应销量（单位：万件）整理成如下表格：
建立y与x的线性回归方程为，则第2个月和第4个月的残差和为（ ）
A. -0.919B. -0.1C. 0.1D. 0.919
【答案】C
【解析】
【分析】先求平均值，将其代入回归方程，故，将2，4代入线性回归方程，根据残差概念计算即可.
【详解】由题意可得，，
将其代入回归方程，得，故，
将2，4代入线性回归方程，则第2，4个月的预测值分别为，，
故第2个月和第4个月的残差和为.
故选：C.
7. 在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A. AE=CF，AC与EF是共面直线
B. ，AC与EF是共面直线
C. AE=CF，AC与EF是异面直线
D. ，AC与EF是异面直线
【答案】D
【解析】
【分析】在圆柱中，利用勾股定理求解，再利用异面直线的定义进行判断得出结果.
【详解】如图，在底面半径为1的圆柱中，母线，，是的中点，则，
因为是的中点，又，则，
，，
，
在中，是的中点，是的中点，，
与是共面直线，
若AC与EF是共面直线，则在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线
故选：D．
8. 设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex上点的最小距离的2倍．设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行．则，∴x0＝ln 2，y0＝1，
∴点(x0，y0)到y＝x的距离为＝(1－ln 2)，
则|PQ|的最小值为(1－ln 2)×2＝(1－ln 2)．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 如图，正方形的是边长为2，E，F分别是边，的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立直角坐标系，求出各点的坐标，利用向量逐项判断
详解】如图建立直角坐标系，
则,
所以，故A错，
，故B对；
，故C对；
，故D对；
故选：BCD
10. 已知函数，则（ ）
A. 在区间上单调递减
B. 的图像的一条对称轴
C. 线段（）与的图像围成的图形面积为
D. 在区间上的零点之和为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的单调性A；根据对称轴定义判断B；数形结合和对称性判断C；求出零点判断D；
【详解】因为，此时取得最小值，
又，所以在区间上不单调，故A错；故B对；
如图

根据正弦函数的对称性可知，
线段（）与的图像围成的图形面积即为长方形的面积，
即，故C错；
令，
令，
所以，
所以在区间上的零点为，
所以在区间上的零点之和为，故D对；
故选：BD.
11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论正确的是（ ）
A. 时，使得要6步雹程B. 时，
C. 时，D. 使得的的值有6个
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据“冰雹猜想”可快速判断ABC选项；结合“冰雹猜想”倒推满足情况的所有值即可判断D选项.
【详解】若，则，
则需要6步雹程，故A正确；
若，则，
因，则，故B错误；
若，则，
，
则，故C正确；
若，则或，
若，则，，，；
若，则，，，；
若，则，，，；
若，则，，，；
若，则，，，；
若，则，，，；
故的所有取值为，共个，故D正确.
故选：ACD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡上的相应位置.）
12. 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）.
【答案】160
【解析】
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项
【详解】二项式的展开式的通项公式为，
令，即，∴常数项为.
故答案为：160.
13. 已知，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由得，联立得，进而得，计算得，结合角的范围即可求解.
【详解】由，
又，所以，
所以，
所以，
又，所以，所以.
故答案为：
14. 定义在R上的奇函数满足，当时，．若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为______．
【答案】18
【解析】
【分析】根据已知得出周期为8，且函数的图象关于对称，画出函数图象，结合图象要使取最小值，且要满足，可令时，，此时需要至少18段，即可得出答案.
【详解】定义在R上的奇函数满足，
得且函数关于对称，
，
则，
所以的周期为8，
函数的图象如下：
因为为整数，
则由图可知：当时，，
则要满足，至少需要段，
则的最小值为18.
故答案为：18
四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 记为正项数列的前项和，已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由与关系结合题意可得答案；
（2）由（1）结合累乘法可得，从而可得通项公式，然后由裂项求和法可得答案.
【小问1详解】
当时，可得，
当时，，.
作差可得，
因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，
所以.
【小问2详解】
由题可得，
所以，又，
所以，
又也满足上式，
所以，
16. 如图，在四棱锥中，平面为AD的中点．
（1）证明：平面平面PAC；
（2）求PB与平面PCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明，结合可得平面PAC，从而可得平面平面PAC；
（2）以A为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，求出求PB的方向向量以及平面PCD的法向量，根据空间向量夹角公式即可求出PB与平面PCD所成角的正弦值
【小问1详解】
因为平面平面ABCD，所以，
连接EC，由，
故四边形ABCE是正方形，故，
因为，PA，平面PAC，所以平面PAC，
因为平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAC；
【小问2详解】
以A为原点，以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面PCD的法向量为，
则有，即，
可取，设PB与平面PCD所成角为，
则，
所以PB与平面PCD所成角的正弦值为．
17. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求．
（2）已知点在线段上，且，．
①求；
②求面积．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角并结合两角和的正弦、二倍角的余弦公式得到，再进行两边平方利用同角的三角函数关系得到，即可得解；
（2）①由结合求得，继而求得，再利用余弦定理即可得；
②在中，先由利用同角三角函数关系求得，根据求得,再由三角形面积公式即可得解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，．
所以，
因为，
所以，即，
两边平方可得，
所以，．
【小问2详解】
①，
因为，所以，
．
在中，，
所以．
②在中，，,
.
.
18. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）讨论函数的零点的个数；
（3）对于任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先求定义域，求导，令，求可得单调区间；
（2）参变分离，研究，的单调性，分类讨论进而可求解；
（3）参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数的取值范围.
【小问1详解】
函数的定义域为，..
所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.
【小问2详解】
定义域为，由分离参数，得.
令，
函数的零点的个数即为与直线的交点个数即为原函数零点个数.
求导得，，令，解得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以，.
又因为，所以，当时，；当时，，
又时，.
当时，与直线无交点，即函数无零点；
当或时，与直线有一个交点，则函数有一个零点；
当时，与直线有两个交点，则函数有两个零点.
综上所述：当时，函数无零点；
当或时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点.
【小问3详解】
设，则在上为增函数，
而，，故在有唯一解.
而由题设可得任意的恒成立.
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，所以，所以，当且仅当时取到等号，
所以当时，有，
当且仅当，也就是当时取等号.
所以，当且仅当时取等号
所以，故的取值范围是.
19. 某公司为了开拓新产品市场，组织人类挑战机器人对抗赛活动．每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，每局比赛挑战者战胜机器人的概率为，胜者记2分，其余记1分．每个挑战者只能挑战一局，每局胜负不受其他因素的影响．
（1）求三局比赛中，人类队累计得分的分布列和数学期望；
（2）若局比赛中，人类队累计得分为分的概率为，求；
（3）若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为；若采用“比赛赛满局，胜方至少获得局胜利”的赛制，人类队取胜的概率为，比较与的大小，并说明其统计意义．
【答案】（1）分布列见解析，4
（2）
（3），答案见解析
【解析】
【分析】（1）得到比赛得分为Y的所有可能取值为3，4，5，6，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，结合期望的公式，求得数学期望；（2）利用概率的乘法公式列出，再通过错位相减的方法求出；（3）分别利用概率的乘法公式求出和，再利用做差法比较大小，根据大小情况写出实际意义即可.
【小问1详解】
的所有可能取值为3，4，5，6，
的分布列为
数学期望.
【小问2详解】
依题意，局比赛中，人类队累计得分为分，即局中有2局人类队取胜，
当时，，
当时，也符合上式.
，
设
得：
，
，
【小问3详解】
设“赛满局人类队获胜”为事件，要使事件发生，有两种情况：第一阶段赛满局人类队胜，记为事件，和第一阶段赛满局人类队负，记为事件
①若第一阶段人类队胜，则人类队在前局至少胜局，分为人类队至少胜局和人类队恰好胜局，
（1）若人类队至少胜局，无论后面两局结果如何，最终人类队获胜；
（ii）若人类队恰好胜局，且后面两局中人类队均负的概率为，
.
②若第一阶段人类负，则人类队恰好胜了局，而后两局必须全胜才能使得人类队最后获胜，
，
，
.
在人类队每局获胜概率为的条件下，局数越多，人类队获胜的概率越小.
月份x
1
2
3
4
5
销量y
0.5
1
1.4
Y
3
4
5
6