江西省九校重点中学2025-2026学年高三上学期第一次联合考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省九校重点中学2025-2026学年高三上学期第一次联合考试数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分等内容，欢迎下载使用。
(试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟)
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作 答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知复数 z=1+i ，则 2+zi=
A. 1+3i B. 1−3i C. 3+i D. 3−i
2. 已知 p:x>2,q:2x2−x−3>0 ,则 p 是 q 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知等比数列 an 满足 a1=1,a4=8 ,若将 an 除以 5 所得余数记为 bn ,则 b2025=
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知集合 M=x x=k4,k∈Z,N=x x=k6,k∈Z,M∩N=x x=fk,k∈Z ,则
A. fk=k12 B. fk=k3
C. fk=k2 D. fk=k
5. 已知 q:∃x0∈R ,使 x02+2x0+mb>0 且 4a+3b=1 ,则 12a−b+2a+2b 的最小值为
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
二、选择题: 本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。

9. 已知 fx=asinωx+bcsωxω>0 的部分图象如图,则
A. ω=2
B. a=1
C. fπ3=32
D. fπ2=−1
10. 已知函数 fx=x2−2ax+a 在区间 −∞,1 上有最小值，则函数 gx=fxx 在区间 [1,+∞) 上一定
A. 单调递减 B. 单调递增 C. 有最小值 D. 有最大值
11. 已知数列 an 前 n 项和为 Sn ，且 an+2−an+1=2an ，若 a1=a2=1 ，则下列结论正确的是
A. a9+a10=512 B. a10−2a9=−1 C. S12=a11 D. a12=S11
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知向量 a,b 满足 a⋅a+4b=0 ，且 a=2b=1 ，则向量 a,b 的夹角为_____.
13. 已知 α∈0,π2,csα+π4=13 ,则 sin2α= _____.
14. 已知曲线 fx=ax−1−1a>0且a≠1,gx=x2−2x . 当实数 a 变化时,函数 fx,gx 的图象公共点个数最多有_____个，此时实数 a 的取值范围是_____.
四、解答题:共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知向量 a=csx,2sinx,b=2csx,csx ,函数 fx=a⋅b .
(1)求函数 fx 的最小正周期；
(2)求 fx 取得最大值时自变量 x 的集合，并求出最大值.
16. (15 分)
已知函数 fx=axa>0,且a≠1 的图象过点 −2,e2 .
(1)求函数 fx 的解析式;
(2)过原点 O 作曲线 y=fx 的两条切线,切点分别为 A,B . ① 求切线 OA,OB 的方程；② 求 △OAB 的面积.
17. (15 分)
已知数列 an 的首项 a1=2,an+1=2−1an .
(1)求证:数列 1an−1 是等差数列；
(2)令 bn=anan+1 ，求满足 b1+b2+⋯+bn>n+23 的 n 的最小值.

18. (17 分)
如图,四边形 ABCD 的对角线相交于点 O,∠AOB=θ .
(1)求证: AD2+BC2−AB2−CD2=2AC⋅BDcsθ ；
(2)已知 AB=2,BC=CD=23,AD=27,θ=60∘ .
① 求四边形 ABCD 的面积；
②若 △ABD 与 △BCD 面积相等，求证: AC⊥CD .
19. (17 分)
已知函数 fx=ax+lnxa∈R ,当 x=1 时 y=fx 取得最值.
(1)求实数 a 的值；
(2)若函数 Fx=exx+mfx 有三个极值点 x1,x2,x3x10 ,知 2a−b>0,a+2b>0 ,令 m=2a−b>0,n=a+2b>0 ,故 m+2n=4a+ 3b=1 ,故 12a−b+2a+2b=1m+2nm+2n=5+2nm+mn≥9 ,当且仅当 m=n=13 取等号,此时 a=15,b=115 取等号. 故选 B .
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 【解析】有图像可求得 fx=2cs2x−π3=3sin2x+cs2x,AD 正确.
10.【解析】 ∵ 函数 fx=x2−2ax+a 在区间 −∞,1 上有最小值， ∴ 函数图象的对称轴应当位于区间 ( −∞,1) 内, ∴a0 ,求导得 h′x=21−lnxx2
当 x∈0,e 时, h′x>0,hx 单调递增; 当 x∈e,+∞ 时, h′x