浙江省2025_2026学年高二数学上学期11月期中联考试题含解析 (1)

这是一份浙江省2025_2026学年高二数学上学期11月期中联考试题含解析 (1)，共20页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸．， 已知，，则点到直线的距离为， 已知椭圆等内容，欢迎下载使用。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的方程为，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将直线化为斜截式，然后根据斜率与倾斜角的关系求出倾斜角.
【详解】直线的方程为，变形为，故直线的斜率为，
设的倾斜角为，则，又，即.
故选：.
2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.
【详解】，，
与互相垂直则，
则.
故选：B.
3. 若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将方程配方即可得解.
【详解】将方程配方得
所以圆心坐标为,
又因为方程表示圆，且圆心位于第四象限，
所以，解得.
故选：A
4. 已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】通过讨论是否为0，由求出对应的的值，然后由充分条件、必要条件的定义得到结果.
【详解】当时，：，：，显然不成立，
当时，，，
当时，，即，则，解得或，
当时，：，：，此时重合，舍去，
∴，∴“”是“”的充要条件.
故选：C.
5. 学校书法社、绘画社、摄影社报名人数分别为人，人，人．按社团进行分层抽样，从这些报名学生中抽取5人作为社团联合活动的筹备人员．从这5人中随机抽取2人负责物资准备，则2名负责人至少有一名来自绘画社的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先确定分层抽样人数得出抽样比，从而得出来自各社团的抽取人数，再计算5人中抽取2人的总组合数，结合对立事件定义求出“两人均不来自绘画社”的组合数，进行概率计算得出“至少有一名来自绘画社”的概率．
【详解】学校书法社、绘画社、摄影社的报名人数分别为人，人，人，
总人数为人，抽样比为，
抽取人数：书法社，绘画社，摄影社，
从5人中随机抽取2人，总组合数为，
“至少一名来自绘画社”的对立事件是“两人均不来自绘画社”，组合数为，
2名负责人至少有一名来自绘画社的概率．
故选：A．
6. 已知，，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由点坐标得到空间向量坐标，由向量数量积得到，即可求得点到直线的距离.
【详解】直线的方向向量，
，
∵，∴，
到直线的距离为.
故选：D.
7. 已知点满足方程，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值是B. 的最大值是
C. 的最小值是D. 的最小值是
【答案】C
【解析】
【分析】对于AB：圆心，，因为，，
，故AB错误；
对于C：三角换元后可求最值；
对于D：利用的几何意义即可知当直线与圆相切时取得最值.
【详解】如图：的圆心,
，,即，，故AB错误；
令，，
的最小值是，故C正确；
设则，由图可知当与圆相切时取得最值，
设切线方程为，整理得，由题意得
两边同时平方，解得.故D错误.

故选：C
8. 已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆：求出半径，由过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，得到，从而得到和，由得到，在中，利用余弦定理求出，由和的值建立的等式，计算得到离心率.
【详解】圆：，半径为，
过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，
，，，，，
，，，
在中，由余弦定理得，
，则，
，，.
故选：D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 这100位教职工中年龄在的人数为55
C. 这100位教职工年龄的众数估计值为45
D. 这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5
【答案】AB
【解析】
【分析】利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为求出的值判断A；利用频数等于频率乘以样本容量计算判断B；利用众数的求法判断C；利用中位数的求法判断D.
【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有小长方形面积之和等于1，
所以，解得，A正确.
对于B，这100位教职工中年龄在的人数为
，B正确.
对于C，这100位教职工年龄的众数估计值为，C错误.
对于D，设这100位教职工年龄的中位数的估计值为，则
，解得，D错误.
故选：AB.
10. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（ ）

A.
B.
C. 与所成角的余弦值为
D. 在方向上的投影向量是
【答案】AD
【解析】
【分析】以为基底，表示出，由空间向量的线性运算和数量积运算逐个选项判断即可.
【详解】A选项，，，则，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，
，
，C错误；
D选项，在方向上的投影向量为，D正确；
故选：AD.
11. 已知是坐标原点，直线：与直线：相交于点，点，均是圆：上的动点，且，是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由的方程得到它们分别经过的定点，且两直线垂直，进而得到点的轨迹，判断A选项；由即圆的半径可知，由圆的性质得到的最小值，并求出最小值判断B选项；转化，利用圆的性质求出最大值，判断C选项；结合点到直线的距离公式将转化为点到直线的距离之和，然后由圆的性质求得最小值，判断D选项.
【详解】∵：与直线：，
∴直线必过定点，
∴线段的中点为，且.
又∵由直线方程可知.
点在以为直径的圆上.
y：不包括直线,直线：不包括直线，
∴点的轨迹是以为直径的圆（除去点),
∴，A选项正确.
∵，∴
又∵圆：上的圆心为,半径，
∴圆心到线段的距离，.
当四点顺次排列并共线时（满足与不重合），取得的最小值，，B选项错误.
,
当四点顺次排列并共线时（满足与不重合），取得的最大值，，
∴，C选项正确.
设直线，,到直线的距离分别为，
则，，
由梯形中位线可知.
∴，
又∵圆心到直线的距离，，
∴，即，
∴，D选项正确.
故选：ACD.
非选择题部分
三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在七彩阳光联盟考试中，从某班随机抽取8名同学的数学成绩，分数从低到高为：80，87，92，106，115，120，128，137，则第70百分位数是______．
【答案】120
【解析】
【分析】计算，然后可得第70百分位数.
【详解】因为，所以第70百分位数是该组数据由小到大排列的第6个数据120.
故答案：120
13. 椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用椭圆定义得，又，可求出.
在中利用余弦定理可得解.
【详解】因椭圆，所以，点在椭圆上，所以，
又，所以，
在中，，，
故答案为：
14. 若，为平面上两个定点，则满足为常数的动点的轨迹是直线，满足的动点的轨迹是圆．将此性质类比到空间中，解决下列问题：在长方体中，，点在棱上，，动点满足，动点满足，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用平面向量给出的两个性质得出的轨迹分别为球体和平面，建立空间直角坐标系，结合图形计算点面距离即可.
【详解】由条件给出的向量性质可类比得出时，动点P的轨迹是以为直径的球体，
设在上的投影为F，由数量积的几何意义可知，
则，即动点Q的轨迹是垂直于且到的距离等于2的平面，
如下图所示，
建立空间直角坐标系，取中点M，则,
所以,
易知，，
又,可取为平面的一个法向量，
则到平面的距离，
由图形易知当三点共线，且平面时，此时.
故答案为：
四、解答题：共5大题，共77分，其中第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的三个顶点是，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程；
（2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解.
【小问1详解】
因为，所以边上的高所在直线的斜率为．
由于直线过点，所以的直线方程为，即．
【小问2详解】
因为点，到直线的距离相等，所以直线与平行或过线段的中点．
①当直线与平行时，因为，且过点，
所以的直线方程为，即．
②直线过线段的中点时，有，
所以直线方程为，即．
综上所述：直线方程为或．
16. 如图，在三棱台中，，，，，平面，为的三等分点（靠近），为线段中点．

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，然后建立空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积证明线线垂直；
（2）由空间直角坐标系，写出点坐标和向量坐标，空间向量的数量积求出面的法向量，借助线的方向向量和平面的法向量求出线面角的正弦值.
【小问1详解】
如图，由题意知平面，，故以为坐标原点，以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系．
依题有，，，，
所以，，
所以
所以，即．
【小问2详解】
由三棱台可知．
依题有，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，直线与平面所成角为，
则，取，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 已知圆：，点．
（1）直线经过点，且与圆交于，两点，若，求的方程；
（2）若点是圆上任意一点，试问：在平面上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或．
（2）存在，．
【解析】
【分析】（1）求出圆心到直线的距离，按照直线的斜率不存在和存在讨论求解；
（2），设点，，将点代入得到，由利用两点间距离公式建立的等式，得到的两个方程相等，从而对应项系数相等，计算得到解.
【小问1详解】
由弦长，可知圆心到直线的距离．
①当直线的斜率不存在时，且直线过点，即直线的方程为不符合题意；
②当直线的斜率存在时，且直线过点，
则直线的方程为，即，所以，
即，解得或．
所以直线的方程为或．
【小问2详解】
依题有，设点，，
其中点满足，即，
由可知，
即，
即，
则，
故有，，即．
18. 已知椭圆：（）的离心率为，上顶点为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点且与椭圆交于，两点，直线，与轴交于点，．
（ⅰ）若直线过点，求的面积；
（ⅱ）求证：，两点横坐标之和为定值．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求出，得到椭圆的标准方程；
（2）（ⅰ）先求直线的方程，再应用弦长公式及距离公式求面积；（ⅱ）分直线斜率存在和不存在讨论，设，，，联立得，，再计算即可．
【小问1详解】
依题意有椭圆离心率，上顶点即，
由可知，，故椭圆的方程为．
【小问2详解】
（ⅰ）直线过点和，则直线的斜率为，
故直线的方程为，即，即，
设，，由得，
由韦达定理可知，，，
则．
点到直线的距离为
所以的面积为．
（ⅱ）证明：已知，，，
①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，不符合题意；
②当直线的斜率为零时，，此时直线与椭圆相交于点，不符合题意；
③当直线的斜率存在且不为零时，则直线的方程为，即，
由，得．
由韦达定理可知，，
直线的方程为，直线的方程为，
分别令，解得，，
则，其中，，
所以，
其中，
所以，故，两点的横坐标之和为定值，得证．
19. 在平面四边形中，，，，将沿翻折至，为上的动点（不包含端点）．
（1）设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上．
（ⅰ）证明：平面平面；
（ⅱ）若球的半径为，求的长度；
（2）若，求二面角的余弦值的最小值．
【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
（2）．
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）先用已知条件证明线面垂直，再证面面垂直即可
（ⅱ）建立空间直角坐标系写出坐标，再利用点到点的距离公式求出；
（2）建立空间直角坐标系写出坐标，求出法向量，列出二面角的表达式，转化成函数问题来解决.
【小问1详解】
（ⅰ）在平面四边形中，
，，
，，
在空间中，，，，面，
又面，面面，得证．
（ⅱ）由（ⅰ）可知，面面，如图，作平面，
以点为坐标原点，以直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系．
因球的半径为，所以球心为线段的中点，有，
由，可设点，依题有，
则，
即，解得或（舍），
所以，故点，
因点，所以．
【小问2详解】
过点作，过点作，，
为二面角的平面角，其中设，
如图，建立空间直角坐标系，则点 ，．
设平面的一个法向量为，
有，，
，令，．
设平面的一个法向量为，
有，，
，令， ．
设二面角的平面角为，
，
令，则
当时，．
由图可知，二面角是锐角，
所以二面角的余弦值的最小值为．