2025-2026学年广东省江门市新会华侨中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年广东省江门市新会华侨中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线过点(−1,2)且与直线2x+3y+4=0垂直，则该直线方程为( )
A. 3x−2y−1=0B. 2x+3y−4=0C. 2x+3y+1=0D. 3x−2y+7=0
2.已知直线：l1：ax−2y+1=0，l2：x+(a−3)y+a=0，则“a=2”是“l1/\!/l2”的( )
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.如图，已知四面体ABCD的棱长都是4，点M为棱AD的中点，则AB⋅CM的值为( )
A. −4B. −2C. 2D. 4
4.已知点A(1,−1)，B(2,4)，若直线l:mx−y−4m+2=0与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
A. 0,π3∪2π3,πB. π3,2π3C. 0,π4∪3π4,πD. π4,3π4
5.设数据1，2，3，4，m的下四分位数为m，则实数m的取值范围是( )
A. [1,2]B. (1,2]C. [3,4]D. 2
6.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E为CD中点，则D到平面AD1E的距离为( )
A. 1B. 2C. 33D. 2
7.已知点(x,y)在圆(x−2)2+(y−1)2=1上，则yx的最大值是( )
A. 23B. 43C. 34D. 0
8.如图，某电子元件由A，B，C三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，A，B，C三种部件不能正常工作的概率分别为14，13，15，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是( )
A. 1825B. 1315C. 6475D. 1175
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据x1,x2,⋯,xn的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记2x1−1，2x2−1,⋯,2xn−1的平均值为a，方差为b，极差为c，中位数为d，则( )
A. a=9B. b=4C. c=13D. d=11
10.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1,∠BAD=π3,∠BAA1=∠DAA1=π4，则( )
A. AA1,BD1,AB不能构成空间的一个基底
B. BD1= 2
C. BD⊥平面ACC1A1
D. 直线BD1与直线AA1所成的角为π4
11.已知圆C:(x−4)2+(y−5)2=12，直线l:mx−y−2m+3=0，直线l与圆C交于M，N两点，则( )
A. 直线l过定点
B. |MN|的最小值为2
C. CM⋅CN的取值范围为[−12,4]
D. 当圆C上恰有三个点到直线l的距离等于 3时，m=4± 15
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知n=(−1,0,1)为直线AB的一个方向向量，点A(1,2,−1)，P(2,−1,2)，则点P到直线AB的距离为 ．
13.已知向量a，b满足a=3b=3，且a+2b在a−b上的投影向量为12a−b，则a⋅b= ．
14.正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长为a，则直线AC1与B1C的距离为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90∘，∠BAC=30∘，A1A=A1C=AC=4，E,F分别是AC,A1B1的中点．

(1)证明：A1E⊥BC；
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．
16.(本小题12分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50),[50,60)，⋯，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的众数，中位数和平均数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数z和方差s2．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，且PA=AD=2BC，E为CD的中点，F为线段PD上的点，PF=3FD．
(1)证明：EF//平面PAB；
(2)若PB= 5BC= 5AB，点M是AB的中点，求平面MEF与平面PEF夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，已知直线l1：x+ay+1=0，圆C：x2+y2−2x−3=0
(1)若直线l1与圆C相切，求实数a的值；
(2)若a= 3，直线l1与圆C相交于A、B两点，求▵ABC的面积；
(3)若直线l2：y=kx 与圆C交于M、N两点，且|OM|=2|ON|(O为坐标原点)，求实数k的值．
19.(本小题12分)
在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为p10