山东省菏泽市2026届高三上学期期中考试 数学试卷（含答案）

这是一份山东省菏泽市2026届高三上学期期中考试 数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，若且，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
4．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．函数是（ ）
A．偶函数，且最小值为
B．偶函数，且最大值为
C．周期函数，且在上单调递减
D．非周期函数，且在上单调递减
6．已知在点处的切线与轴平行，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
7．在平行四边形中，已知，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）
A．B．0C．D．
8．已知关于的方程在内有两个不等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．若，，则
B．已知都是正数，且，则
C．若，则的最小值为
D．若且，则的取值范围为
10．设为复数，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则或
11．函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A．若，则函数为奇函数
B．若，则
C．函数的图象必有对称中心
D．，
三、填空题
12．已知“，”为真命题，则的最小值为 .
13．已知是的重心，，，，则 ．
14．在中，已知，，则的面积为 .
四、解答题
15．已知函数是定义在上的奇函数.
（1）求、的值；
（2）对任意的，都有恒成立，求的取值范围.
16．在中，角、、的对边分别为、、，为锐角，且.
(1)求角的大小；
(2)再从下面①、②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积.
①，；②，.
注：如果选择①和②分别解答，按第一个解答计分.
17．如图，在中，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，且，其中. 求的最大值.
18．已知函数在处取得极值.
(1)求实数、的值；
(2)证明：在上有两个零点，且两个零点的和小于.
19．若定义在上的函数满足如下两条性质，则称为函数：
①对任意，且，使得；
②存在正数T，M，对任意，使得.
(1)分别判断函数和是否为函数，并说明理由；
(2)若函数满足性质②，求M的所有可能取值；
(3)若为函数，，且.求证：.
参考答案
1．A
【详解】因为集合，，
所以且.
故选：A.
2．D
【详解】已知，，，对应复平面内坐标点.
故选：D
3．B
【详解】A：集合中的元素，按照对应关系在集合中没有实数与之对应，所以不是的函数；
B：集合中的任何实数，按照对应关系在集合都有唯一的实数与之对应，所以是的函数；
C：集合中非的实数，按照对应关系在集合都有两个实数与之对应，所以不是的函数；
D：集合中的正奇数，按照对应关系在集合中没有自然数与之对应，所以不是的函数，
故选：B
4．C
【详解】因为，，所以，
由不等式的性质可得.
因此，的取值范围是.
故选：C.
5．C
【详解】因为的定义域为，
因为，，
所以，即函数不是偶函数，AB选项都错；
因为，
故函数是周期函数，
因为，
当时，令，，
因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为减函数，
由复合函数的单调性可知，函数在上为减函数，C对D错.
故选：C.
6．D
【详解】因为，则，
由题意可知，则，
且，
又因为切点为，所以，又，
所以，
则，
故，D满足要求.
故选：D.
7．B
【详解】在平行四边形中，，则，，
所以，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以
，所以，故向量与的夹角的余弦值为，
故选：B.
8．B
【详解】因为方程在上有两个实数根
等价于在上有两个实数根，
等价于函数与在上有两个交点，
显然为一个交点，
结合与的图象，图象如下：
当经过点时，．
当与相切时，设切点为，
由，根据导数的几何意义得，又 ，所以，
令，所以，
所以在上递减，在上递增，
所以时取得最小值1，所以，
所以当时，函数与在上只有一个交点.
所以当时， 函数与在上有两个交点，
所以当时，关于的方程在上有两个实数根.
故答案为：.
9．CD
【详解】对于A，，，又，，A错误；
对于B，，，（当且仅当时取等号），
又，，B错误；
对于C，，，（当且仅当，即时取等号），
即的最小值为，C正确；
对于D，，，解得：（舍）或；
（当且仅当，即时取等号），
的取值范围为，D正确.
故选：CD.
10．AD
【详解】对于A，设，，则，
，即，，A正确；
对于B，令，，则，此时，B错误；
对于C，令，，则，此时，C错误；
对于D，设，，则，
，即，则；
若，则成立，此时；
若，，由知：；由知：；此时；
同理可知：当，时，；
若，，由得：，，此时；
综上所述：若，则或，D正确.
故选：AD.
11．ACD
【详解】对于选项A，记．
因为，所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，从而，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记．若为奇函数，则，
，即，
所以，即．
上式化简得，．
则必有，解得，
因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，．
当时，是减函数，，所以
，
故选项D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】因为“，”为真命题，
当时，由可得，
因为函数在上单调递减，则.
综上所述，，即实数的最小值为.
故答案为：.
13．
【详解】是的重心，，，
又，，，
.
故答案为：.
14．
【详解】因为，即，
其中为锐角，且，
由，所以，，
因为，，则，
又因为，故，
因为，则，故，所以，
所以，，
因为，，则，
因为，则，所以，所以，
由余弦定理可得，
可得，故.
故答案为：.
15．（1），；（2）.
【详解】（1）由题意知：是定义在上的奇函数，，，
即，
所以，，即对任意的恒成立，.
故：，；
（2）由（1）知，
因此在上是增函数，
对任意的，恒成立，
可转化，
根据在上是奇函数可知恒成立.
恒成立，即恒成立，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
16．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，则，所以.
因为，所以.
（2）条件①：，；
因为，，由（1）得，
所以根据余弦定理得，化简整理为，解得，
所以的面积；
条件②：，，
由（1）知，，
根据正弦定理得，所以.
因为，
所以，
所以的面积.
17．（Ⅰ） ；（Ⅱ）1.
【详解】（Ⅰ）
.
（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则，.
设，，
由，
得.
所以.
所以，，

，
因为，.
所以，当，即时，的最大值为.
18．(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）由，得.
由题意，得，，解得，，
经检验，符合题意.
（2）由（1），得，
令，，
因为当时，，
所以，
所以在上单调递增.
又，，
所以存在唯一的，使得，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
又，，，
所以存在，，
使得，所以有两个零点.
因为，
又，所以，
所以.
因为，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，所以.
19．(1)函数是函数，函数不是函数，证明见详解.
(2).
(3)证明见详解.
【详解】（1）函数是函数，函数不是函数，理由如下：
任意，且，，，即，满足性质①.
对任意，使得，此时，
满足,，即存在正数满足性质②.
函数是函数.
任意，且，，，即，满足性质①.
对任意，使得，此时不满足性质②.
函数不是函数.
（2）函数满足性质②，，，即.
（3）为函数，满足②，,又，、、，
又满足①，,即，，又，当时，；当时，，
综上所述.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
C
D
B
B
CD
AD
题号
11









答案
ACD