河北省沧州市四校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省沧州市四校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，，则线段的中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．如果点的坐标满足方程，则的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．射线
3．已知椭圆：，若过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是
A．B．C．D．
5．直线为常数）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6．陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线：的右支与轴及直线，围成的曲边四边形绕轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（ ）
A．B．C．D．
8．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中记载：计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为8，则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．2
二、多选题
9．已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，圆与圆相离
B．当时，是圆与圆的一条公切线
C．当时，圆与圆相交
D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是
10．如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点C与点G到平面的距离相等
11．已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（ ）
A．点的横坐标为B．的周长为
C．的内切圆半径为1D．的内切圆圆心的横坐标为4
三、填空题
12．若直线与直线垂直，则 .
13．已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，，，为切点，则四边形的面积的最小值为 ，直线过定点 .
14．已知双曲线：与椭圆有公共的左、右焦点，，以线段为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限内分别交于点，，且线段的中点在另一条渐近线上，则（为坐标原点）的面积为 .
四、解答题
15．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
16．已知抛物线，过点作直线.
(1)若直线与抛物线只有一个公共点，求直线的方程；
(2)若直线过点，且交抛物线于、两点，求线段的长.
17．如图，在三棱锥中，底面，，，分别是的中点，F在SE 上，且.
(1)求证：；
(2)在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
18．如图，已知某隧道的截面是一圆拱形，隧道内的路面宽为，隧道的高为.车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为，高为的货车能否驶入这个隧道？请说明理由.（参考数据：）

19．已知椭圆：的离心率为，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，为坐标原点.椭圆上一点在第一象限，点与点关于原点对称，连接，并延长与椭圆交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
1．C
根据题意，利用中点公式，准确计算，即可求解.
【详解】由点，，
则线段的中点坐标为，即.
故选：C.
2．D
根据所给方程的几何意义分析点的轨迹.
【详解】设，则.
由题可知，，
所以点的轨迹是射线.
故选：D.
3．A
设点坐标，代入椭圆方程中，作差化简可得答案.
【详解】设 和 为直线与椭圆的交点，且 为 中点，
因此，点 ，满足椭圆方程，
两式相减得：，即，
则，即，
整理得，因此直线的斜率为.
故选：A
4．B
【详解】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.
5．D
由题意利用直线斜率和倾斜角的定义，二次函数的最小值，求得，可得倾斜角的范围.
【详解】直线为常数）的斜率为，
故直线的倾斜角满足．又，，
，，或，，
故选：D．
6．A
求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，求出方程即可.
【详解】由题意可得， ，，且、都在双曲线上，
所以，解得，则双曲线的渐近线方程为.
故选：A.
7．B
利用基底表示出，结合向量夹角公式求得正确答案.
【详解】连接，
以为空间一组基底，
则，
，
所以，
，
设直线与直线所成角为，
则,
由于异面直线夹角的取值范围是，所以.
故选：B
8．A
根据面积以及焦点三角形的周长可得，即可根据面积公式即可求解.
【详解】由于是点关于原点的对称点，也关于原点对称，故四边形为平行四边形，
由题意知，得，又，得，又，
解得，
三角形的面积为，
当取最大1时，三角形的面积最大，的最大值为，
所以四边形面积的最大值为.
故选：A
9．ABD
通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到.
【详解】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为.
则两圆的圆心距.
对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确；
对于B，当时，，由可得两圆相离.
因圆心到的距离为；圆心到的距离为，
故是圆与圆的一条公切线，B正确；
对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误；
对于D，当时，将两圆方程相减得：，
整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确.
故选：ABD.
10．BC
A选项根据正方体的性质判断；B选项根据面面平行的判定定理和性质定理判断；C选项根据基本事实得到平面截正方体的截面为，然后求面积；D选项根据点和点与平面的位置判断.
【详解】
A选项：为正方体，所以，直线与直线不垂直，所以直线与直线不垂直，故A错；
B选项：取中点，连接，，因为，，分别为，，中点，
所以，，又平面，平面，所以∥平面，
因为，平面，所以平面∥平面，
因为平面，所以∥平面，故B正确；
C选项：连接，，因为为的中点，所以，所以平面截正方体的截面为，，
故C正确；
D选项：连接交于点，延长交的延长线于点，
因为为的中点，所以，，又，所以，
即为的三等分点，不是的中点，所以点和点到平面的距离不相等，故D错.
故选：BC．
11．ABD
根据三角形的面积，及焦距的长求得点的纵坐标，代入双曲线的方程，求得点的横坐标，判断A；由点的纵坐标及两点间距离公式，求得，利用双曲线的定义求得，进而求得的周长判断B；由等面积法求得的内切圆半径，判断C；结合圆的切线的性质和双曲线的定义，求得的内切圆圆心的横坐标，判断D.
【详解】因为，所以，所以.
设，
对于A，因为的面积为20，即，所以.
代入双曲线：，得，所以.故A正确；
对于B，由A知，所以.
所以的周长为.故B正确；
对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误；
对于D，设的内切圆在上的切点分别为.
则
设，则，解得.所以D正确.
故选：ABD.

12．或0
根据两条直线垂直的充要条件可得.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，即，解得或.
故答案为：或0.
13．
将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得.
【详解】如图：
因为，
所以只有最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得，
，所以此时.
再设，则，因四边形在以为直径的圆上，
得圆的方程：，即，
与相减，得直线的方程为，，再由，
所以直线的方程为，，即，
令，得，所以直线过定点.
故答案为：；.
14．6
由椭圆的方程写出焦点，的坐标，得到以线段为直径的圆的方程，与双曲线的渐近线联立求得点的坐标，进而得到线段的中点的坐标，代入另一条渐近线求得的值，得到双曲线的方程，与圆的方程联立求得点的坐标，根据（为坐标原点）的面积等于求得其面积.
【详解】由椭圆知，所以.
双曲线：的渐近线方程为.
以线段为直径的圆的方程为.
由，得，所以，所以.
记线段的中点为，则.
点在上，所以，解得，所以.
所以双曲线的方程为：.
由，得，所以.
所以（为坐标原点）的面积为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.
（2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则．
因为，所以，
所以直线的方程为．
由，得，
所以圆心，
半径，
所以圆的方程为．
（2）设点．
因为点的坐标为，所以即
又点在圆上运动，所以，
即线段的中点的轨迹方程为．
16．(1)或或
(2)
（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由求出的值，综合可得出直线的方程；
（2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式可求得的值.
【详解】（1）若直线的斜率不存在，则的方程为，与抛物线只有一个公共点，符合题意；
若直线的斜率存在，设的方程为，
联立消去得，
因为直线与抛物线只有一个公共点，
所以，解得或，
此时直线的方程为或.
综上，直线的方程为或或.
（2）因为直线过点，又过点，所以直线的方程为，
设、，联立消去得，则，
因为点为抛物线的焦点，故，
即线段的长为.
17．(1)证明见解析
(2)存在，
（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由，求得，得到的坐标，结合，即可证得；
（2）假设存在满足条件的点，设，求得平面和平面的法向量分别为和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
因为，可得，所以，
则，所以，所以.
（2）解：假设存在满足条件的点，设，则，
所以，
设平面的法向量为，则 ，
取，可得，所以，
因为为的中点，且，所以，
由（1）得，且，平面，所以平面，
所以平面的一个法向量为，
又因为平面与的夹角为，
所以，
整理得，解得或，
因为，所以，所以满足条件的点存在，且.
18．不能，理由见解析
建立平面直角坐标系，求解圆拱形所在的圆的方程，进而判断.
【详解】解：如图，以水平直线为轴，隧道的高所在直线为轴，建立平面直角坐标系.

设截面圆拱形所在圆圆心为，由题意知，，
由，得，解得，
所以半径，
所以圆的方程为，
因为车辆只能在道路中心线一侧行驶，
所以当时，.
所以一辆宽为，高为的货车不能驶入这个隧道.
19．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以，，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：由椭圆的方程得，，
设，，则，
由题意得直线斜率不为零，设直线的方程为，
联立得，
显然，，，
所以
，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
D
A
B
A
ABD
BC
题号
11









答案
ABD