广东省六校2025-2026学年高一上学期12月联合学业质量检测数学试题含答案含答案解析

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注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间 120分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.
4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1. 设集合，集合N为函数的定义域，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的真数为正数化简集合，进而由集合的交运算即可求解.
【详解】由，所以，
又，所以，
故选:D
2. 对于任意实数a，b，c，d，以下四个命题中的真命题是（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】举例说明判断ABC；利用不等式性质推理判断D.
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，取，满足，而，C错误；
对于D，由，得，则，，D正确.
故选：D
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法求解即可.
【详解】令，则，
所以，
所以.
故选：A.
4. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断的奇偶性，再计算即可判断.
【详解】由题意有：的定义域为，，所以为奇函数，故排除AC；
又，故排除B，
故选：D.
5. 已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数、对数函数的性质，结合分段函数的单调性列不等式即可求得.
【详解】由图象的开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而函数在增函数，
则由在R上单调递增，可得，解得.
故选：D
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查指数、对数函数的性质，与中间量“0”和“-1”进行比较.
【详解】因为，，；
又因为，；
所以，，.
所以.
故选：C.
7. 已知函数 的图象过原点，且无限接近于直线，但又不与该直线相交，则函数有（ ）
A. 最大值0B. 最小值0C. 最大值D. 最小值
【答案】B
【解析】
【分析】先利用函数过定点的性质通过待定系数法求参数关系，再利用渐近线特征确定参数具体值，最后结合绝对值与指数函数的单调性分析最值即可.
【详解】因为函数的图象过原点，得：
，所以，即.
因为，
所以当时，，此时，
又因为函数图象无限接近直线但不相交，
因此：，又因为，得.
则，
因为，得，则，
所以：，
所以：，
即函数无最大值，最小值为0.
故选：B.
8. 已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.
【详解】作函数与的图像如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则
即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键，属于难题.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. 不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
C. “”是“”的必要不充分条件
D. 若，则关于的方程有两个不同的正根
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据全称命题的否定、一元二次不等式恒成立、充分条件必要条件等知识逐项判断即可.
【详解】选项A，全称命题的否定是存在命题，且结论否定，该选项正确.
选项B，当时，不等式为，成立；
当时，需，即，解得.
综上，的取值范围是，该选项正确.
选项C，若，则，必要性成立；
若，当时，不一定等于，充分性不成立，
故“”是“”的必要不充分条件，该选项正确.
选项D，方程有两个不同的正根，需，
解得，并非即可，该选项错误.
故选：ABC.
10. 已知 ，且，则（ ）
A. 的最大值是B. 的最小值是9
C. +的最小值是4D. 的最小值是1
【答案】AC
【解析】
【分析】直接使用基本不等式可判断AC；利用常数代换法，结合基本不等式可判断B；代入消元，利用二次函数性质可判断D．
【详解】对于A，由，，可得，
所以，当且仅当，取得最大值，故A正确；
对于B，，，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，的最小值为，故B错误；
对于C，，，且，则，
当且仅当，即，时等号成立，的最小值为4，故C正确；
对于D，，，且，则，所以，
所以，
当且仅当，时取等号，故D错误．
故选：AC
11. 函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（ ）
A. 若，则函数为奇函数
B. 若，则
C. 函数的图象必有对称中心
D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可.
【详解】对于选项A，记．
因为，所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，从而，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记．若为奇函数，则，
，即，
所以，即．
上式化简得，．
则必有，解得，
因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，．
当时，是减函数，，所以
，
故选项D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为__________
【答案】
【解析】
【分析】先根据点的坐标确定幂函数的解析式，再结合幂函数的单调性解不等式.
【详解】因为函数为幂函数，所以设，
由
所以.
又在上单调递增，
所以.
故所求不等式的解集为.
故答案为：
13. 已知函数的反函数为，则 的单调递减区间为________.
【答案】
【解析】
【分析】求出对数函数的反函数，再由复合函数的单调性求解即可.
【详解】因为函数的反函数，
所以，
令，则可以看作由与复合而成，
当时，单调递减，而在上单调递增
所以单调递减区间为，
故答案为：
14. 函数的定义域为，若满足：①在上是单调函数，
②存在使得在上的值域为,那么函数为“优美函数”.若函数是“优美函数”，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复合函数法分析可知，函数在定义域上为增函数，则存在使得在上的值域为,进一步分析可知，关于的方程至少有两解，令，，则函数有两个不等的正零点，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】当时，内层函数为减函数，外层函数为增函数，
由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数；
当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，
由复合函数法可知，函数在定义域上为增函数.
综上所述，函数在定义域上为增函数，
根据题意，存在存在使得在上的值域为,
则，
所以，关于的方程至少有两解，即，可得，
令，，
由题意可知，函数有两个不等的正零点、，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算: ；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）应用指数幂、对数运算性质化简求值；
（2）由立方和公式将目标式化为，结合已知求值.
【详解】（1）原式；
（2）原式.
16. 已知函数
（1）若函数在上存在零点，求实数的取值范围；
（2）当时，若对任意的 总存在 使得 ，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的性质和零点存在定理求解；
（2）根据双变量恒成立的性质，判断两个函数在给定区间上的值域的包含关系，对参数进行分类讨论，列出不等式，求出参数范围即可.
【小问1详解】
因为，所以该函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上单调递减；
又因为函数在上存在零点，所以，
所以，解得，所以a的取值范围为
【小问2详解】
若对任意的，总存在，使成立，
只需函数的值域为函数的值域的子集.
当时，的值域为.
当时，为常数，不符合题意舍去.
当时，的值域为，要使，
需且，解得.
当时，的值域为，要使，
需且，解得.
综上，的取值范围为.
17. 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天()，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据： ①；②；③，其中含的项的系数均不为0.
（1）请根据表格数据从①，②，③中选择一个最合适的函数模型，求出其函数解析式，并预测第4天时的舆论场指数；
（2）若本次舆情不是严重的，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据数据的增长速度，选择指数型函数刻画数据，再结合已知数据求函数解析式，再求的值即可.
（2）问题转化为不等式，恒成立，结合换元法与二次函数的单调性，可求的最小值.
【小问1详解】
因为舆论场指数，，，增长速度越来越快，所以应该选择模型③来刻画数据.
由题意得：.
因为；
由.
所以，
将代入，可得.
将，代入，可得.
所以函数解析式为.
令，得，即预测第4天时的舆论场指数为.
【小问2详解】
因为本次舆情不是严重的，即在时恒成立.
所以，.
设，，则.
又在上单调递增，所以.
所以.
所以的最小值为.
18. 已知函数 为奇函数.
（1）求k的值;
（2），判断g(x)的单调性，并说明理由；
（3）若 求实数t的取值范围.
【答案】（1）；
（2）在上是单调递增函数，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用为奇函数，则有，计算求解；
（2）求出的定义域为，在上任取两个数，且，计算，判断与的大小，利用单调性的定义得解；
（3）通过题中条件得到，将所求不等式转化为，求出是奇函数及在上是单调递增函数，得到，计算得解.
【小问1详解】
，，
为奇函数，，
，整理得，，，；
【小问2详解】
在上是单调递增函数.理由如下：
，定义域为，在上任取两个数，且，
，
，，，，，
，，
，，在上是单调递增函数；
【小问3详解】
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
为奇函数，，
，
，
是奇函数，
，
，
在上是单调递增函数，
，，，实数t的取值范围为.
19. （1）设函数在上的最大值为 P，最小值为Q，求的值;
（2）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m，n，使，则称函数是由“基函数和”生成的.试利用“基函数和 ”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知对于上的任意值，记，当M的最大值为 时，求r的值.（注:）
【答案】（1）；（2）①；②2.
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性定义确定的奇偶性，再利用复合函数单调性及单调性定义确定该函数在上单调性，进而求出最值即可.
（2）①利用给定定义，结合指数、对数运算及为偶函数的条件可得，再由求出解析式；②设，结合（1）中函数性质求出的表达式，再确定最大值求出的值.
【详解】（1）令函数，，，
函数是上的偶函数，令，任意，
，
由，得，则，，
因此函数在上单调递增，而函数是增函数，则函数在上单调递增，
，，
所以.
（2）①设，由为偶函数，得恒成立，
则，即恒成立，
整理得，即恒成立，而不恒为0，因此，
由，得，联立解得，
所以函数的解析式为.
②由①知，，
由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增，
设，
则，
，
当时，，
当时，，
则当且仅当或时，，
因此，即，由（1）得，解得，
所以r的值为2.
天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156