初中人教版（2024）余角和补角学案及答案

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知识点01 余角和补角
余角：
如果两个角的和等于 90° ，则这两个角互余。
即若∠1＋∠2＝90°，则 ∠1与∠2互余 或 ∠1是∠2的余角 或 ∠2是∠1的余角 。
补角：
如果两个角的和等于 180° ，则这两个角互补。
即若∠1＋∠2＝180°，则 ∠1与∠2互补 或 ∠1是∠2的补角 或 ∠2是∠1的补角 。
注意：余角和补角都是两个角的数量关系。
【即学即练1】
1．已知∠1和∠2互余，若∠1＝40°50′，则∠2＝（ ）
A．49°10′B．49°50′C．50°10′D．40°50′
【答案】A
【解答】解：∵∠1和∠2互余，∠1＝40°50′，
∴∠2＝90°﹣40°50′＝89°60'﹣40°50′＝49°10′，
故选：A．
【即学即练2】
2．已知∠A＝36°30′15″，则它的补角为（ ）
A．143°29′45″B．53°29′45″
C．143°30′45″D．153°29′45″
【答案】A
【解答】解：由条件可知：
补角＝180°﹣∠A＝180°﹣36°30′15″＝143°29′45″，
故选：A．
知识点02 余角和补角的性质
余角和补角的性质：
同角的余角 相等 。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，则 ∠1＝∠3 。
同角的补角 相等 。即∠1的补角是∠2，∠2的补角是∠3，则 ∠1＝∠3 。
等角的余角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，则 ∠3＝∠4 。
等角的补角 相等 。即若∠1＝∠2，∠1的补角是∠3，∠2的补角是∠4，则 ∠3＝∠4 。
一个角的补角比这个角的余角大 90° 。
【即学即练1】
3．如果一个角的余角是38.4°，那么这个角的补角度数是（ ）
A．62°24′B．52°36′C．128°24′D．141°36′
【答案】C
【解答】解：∵一个角的余角是38.4°，
∴这个角的度数是90°﹣38.4°＝51.6°，
∴这个角的补角度数是180°﹣51.6°＝128.4°＝128°24′，
故选：C．
【即学即练2】
4．若∠α的补角是∠α的余角的三倍，则∠α是（ ）
A．60°B．45°C．55°D．50°
【答案】B
【解答】解：若∠α的补角是∠α的余角的三倍，
则180°﹣∠α＝3（90°﹣∠α），
解得∠α＝45°，
故选：B．
【即学即练3】
5．若∠α与∠β互为余角，∠α与∠γ互为补角，∠β=13∠γ，则∠α为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】B
【解答】解：由题意可知：∠α与∠β互为余角，∠α与∠γ互为补角，
即∠α+∠β＝90°，∠α+∠γ＝180°，
∴∠γ﹣∠β＝90°，
∵∠β=13∠γ，
∴∠γ−13∠γ=90°，
解得∠γ＝135°，
∴∠α＝180°﹣135°＝45°．
故选：B．
题型01 求余角与补角
【典例1】如果∠α＝46°，那么它的余角是（ ）
A．44°B．134°C．90°D．180°
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，∠α的余角 ＝90°﹣46°＝44°．
故选：A．
【变式1】已知∠β＝47°，则∠β的余角是（ ）
A．53°B．133°C．43°D．103°
【答案】C
【解答】解：∵∠β＝47°，
∴∠β的余角是：90°﹣∠β＝90°﹣47°＝43°．
故选：C．
【变式2】已知一个角的度数是50°38'，则这个角的补角的度数是（ ）
A．39°22'B．49°22'C．130°22'D．129°22'
【答案】D
【解答】解：根据补角定义可知：
180°﹣50°38′＝129°22′．
故选：D．
【变式3】已知一个角的余角等于45°20'，则这个角的补角等于（ ）
A．44°40'B．44°80'C．134°40'D．135°20'
【答案】D
【解答】解：180°﹣（90°﹣45°20′）＝135°20′，
∴这个角的补角等于135°20′，
故选：D．
题型02 余角和补角的性质的应用
【典例1】若锐角α的补角度数为m，则锐角α的余角度数为（ ）
A．m﹣90°B．45°+mC．180°﹣mD．90°−12m
【答案】A
【解答】解：∵锐角α的补角度数为m，
∴锐角α的度数为：180°﹣m，
∴锐角α的余角是90°﹣（180°﹣m）＝m﹣90°．
故选：A．
【变式1】如果一个角的补角是110°，则这个角的余角的度数是（ ）
A．30°B．20°C．70°D．110°
【答案】B
【解答】解：设这个角为x，
由题意得x+110°＝180°，
解得x＝70°，
则这个角的余角的度数是90°﹣70°＝20°．
故选：B．
【变式2】已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，且∠3＝3∠1，则∠2的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【答案】B
【解答】解：∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，
∴∠1＝90°﹣∠2，∠3＝180°﹣∠2，
∵∠3＝3∠1，
∴180°﹣∠2＝3（90°﹣∠2），
解得：∠2＝45°，
故选：B．
【变式3】如果一个角的补角比这个角的2倍大30°，那么这个角的余角为（ ）
A．20°B．70°C．40°D．50°
【答案】C
【解答】解：设这个角的度数为x，则补角为180°﹣x，根据余角的定义可得：
180°﹣x＝2x+30°，
x＝50°，
∴该角的余角为40°．
故选：C．
1．已知∠A与∠B互为余角，∠A＝27°，则∠B的度数是（ ）
A．53°B．63°C．73°D．153°
【答案】B
【解答】解：由条件可知∠A+∠B＝90°，
∵∠A＝27°，
∴∠B＝63°，
故选：B．
2．如图，是一副三角尺的摆放位置，下列说法正确的是（ ）
A．∠α和∠β互余B．∠α和∠β互补
C．∠α和∠β相等D．∠α+∠β＝105°
【答案】A
【解答】解：由图可知：∠α+90°+∠β＝180°，
∴∠α+∠β＝90°，
∴∠α和∠β互余；
故选：A．
3．如图，射线OC的端点O在直线AB上，∠AOC＝40°，射线OD在∠BOC内部，∠BOD与∠AOC互余，则∠DOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．90°
【答案】D
【解答】解：∵∠BOD与∠AOC互余，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠DOC＝90°，
故选：D．
4．如图，将一副三角尺按不同方式摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：将一副三角尺按不同方式摆放，
A、根据等角的余角相等可得∠α＝∠β，但∠α与∠β不一定互余，故选项A不符合题意；
B、由图知∠α+∠β＝90°，即∠α与∠β一定互余，故选项B符合题意；
C、由图知∠α＝∠β＝180°﹣45°＝135°，∠α与∠β不互余，故选项C不符合题意；
D、由图知∠α+∠β＝180°，∠α与∠β互补，故选项D不符合题意；
故选：B．
5．如图：O为直线AB上的一点，OC为一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，图中与∠AOD互余的角共有（ ）
A．1个B．2个C．4个D．6个
【答案】B
【解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠AOD＝∠COD，∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOB＝180°，即∠AOD+∠COD+∠COE+∠BOE＝180°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∴与∠AOD互余的角共有2个．
故选：B．
6．已知∠1＝42°，∠2与∠1互余，则∠2的补角是（ ）
A．132°B．138°C．122°D．128°
【答案】A
【解答】解：∵∠1＝42°，∠2与∠1互余，
∴∠2＝90°﹣∠1＝48°，
∴∠2的补角的度数为：180°﹣∠2＝132°．
故选：A．
7．下列说法：①如果∠A+∠B+∠C＝180°，则∠A与∠B互为补角；②如果∠A+∠B＝90°，则∠A与∠B互为余角；③如果∠α+∠A＝180°，∠α+∠B＝180°，则∠A＝∠B．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．1个D．0个
【答案】A
【解答】解：∠A+∠B＜180°，则∠A与∠B不互为补角，故①错误；
如果∠A+∠B＝90°，则∠A与∠B互为余角，故②正确；
③如果∠α+∠A＝180°，∠α+∠B＝180°，根据同角的补角相等，则∠A＝∠B．故③正确．
故选：A．
8．一个角的度数为54°11′23″，则这个角的余角和补角的度数分别为（ ）
A．35°48′37″，125°48′37″
B．35°48′37″，144°11′23″
C．36°11′23″，125°48′37″
D．36°11′23″，144°11′23″
【答案】A
【解答】解：∵一个角的度数为54°11′23″，
∴这个角的余角的度数为：90°﹣54°11′23″＝35°48′37″；
补角的度数为：180°﹣54°11′23″＝125°48′37″．
故选：A．
9．将一副三角板按如图所示摆放，使其中一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若∠2＝58°38′，则∠1的度数是（ ）
A．58°38′B．28°38′C．58°78′D．28°78′
【答案】B
【解答】解：∵∠DAE＝90°，∠2＝58°38′，
∴∠EAC＝90°﹣58°38′＝31°22′，
∵∠BAC＝60°，
∴∠1＝60°﹣31°22′＝28°38′，
故选：B．
10．如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE．有以下结论：①∠ACF与∠DCH互余；②∠HCG＝60°；③∠ECF∠BCH互补；④∠ACF﹣∠BCG＝45°．其中结论正确的是（ ）
A．②③④B．①②③C．①②④D．①③④
【答案】D
【解答】解：由条件可知：∠ACF=∠FCD=12∠ACD，∠DCH=∠HCB=12∠DCB，∠BCG=∠ECG=12∠BCE，
∵∠ACB＝180°，∠DCE＝90°，
∴∠FCH＝90°，∠HCG＝45°，
∴∠ACF+∠DCH＝90°，故①正确，②错误，
∵∠ECF＝∠DCE+∠FCD＝90°+∠FCD，∠FCD+∠DCH＝90°，
∴∠ECF+∠DCH＝180°，
∵∠DCH＝∠HCB，
∴∠ECF与∠BCH互补，故③正确，
∵∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠BCE＝90°，
∴∠ACF﹣∠BCG＝45°．故④正确．
故选：D．
11．∠A的补角为115°，则它的余角为 25° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据余角和补角的定义可得：
∠A＝180°﹣115°＝65°，
∴90°﹣∠A＝90°﹣65°＝25°，
故答案为：25°．
12．一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少130°，则这个角的度数为 40° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这个角的度数为x，
由题意可得：3（90°﹣x）+130°＝2（180°﹣x），
解得：x＝40°，
∴这个角的度数为40°．
故答案为：40°．
13．已知∠1＝25°，∠1+∠2＝90°，∠2与∠3互余，则∠3的度数为 25° ．
【答案】25°．
【解答】解：由条件可知∠2＝90°﹣25°＝65°，
∵∠2与∠3互余，
∴∠2+∠3＝90°，
则∠3＝25°，
故答案为：25°．
14．如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝44°，则∠AOB＝ 136° ．
【答案】136°．
【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠COD＝44°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝90°﹣44°＝46°，
∵∠BOD＝90°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝46°+90°＝136°．
故答案为：136°．
15．如图（射线OD在∠AOC内部），∠AOC与∠BOD都是直角，则下列说法正确的是 ①③④⑤ ．（填序号）
①若∠COD＝30°，则∠AOB＝150°．
②图中共有5个角．
③∠AOD＝∠BOC．
④∠AOB与∠DOC的和不变．
⑤∠AOD＝45°时，OC平分∠BOD．
【答案】①③④⑤．
【解答】解：∵∠AOC与∠BOD都是直角，
∴①若∠COD＝30°，
则∠AOD＝60°，
则∠AOB＝150°，
故正确；
②根据图形图中共有6个角，分别为：∠AOD，∠DOC，∠COB，∠AOC，∠DOB，∠AOB，
故错误；
③∠AOD＝∠BOC，
故正确；
④∵∠AOB+∠DOC＝90°+90°＝180°，
∴∠AOB与∠DOC的和不变，
故正确；
⑤∵∠AOC与∠BOD都是直角，∠AOD＝45°，
∴∠DOC＝45°，
∴OC平分∠BOD，
故正确，
所以说法正确的是：①③④⑤．
故答案为：①③④⑤．
16．（1）若一个角的余角比这个角的补角的一半还少4°，求这个角的度数．
（2）已知一个角的余角等于这个角的补角的14，试求这个角的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设这个角x，则这个角的余角为90°﹣x，
这个角的补角为180°﹣x，则
90°﹣x=12（180°﹣x）﹣4°．
解得x＝8°．
故答案为：8°．
（2）设这个角是x，则90°﹣x=14（180°﹣x），
解得x＝60°．
答：这个角的度数为60°．
17．如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠DOC＝90°，且∠BOC＝4∠BOD．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若OE平分∠AOC，求∠BOE的度数．
【答案】（1）72°；
（2）126°．
【解答】解：（1）因为∠COD＝90°，
所以∠BOC+∠BOD＝90°．
因为∠BOC＝4∠BOD，
所以∠BOC=45×90°=72°，即∠BOC的度数为72°；
（2）因为∠AOC与∠BOC互为补角，
所以∠AOC+∠BOC＝180°．
所以∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣72°＝108°．
因为OE平分∠AOC，
所以∠COE=12∠AOC=12×108°=54°．
所以∠BOE＝∠COE+∠BOC＝54°+72°＝126°，即∠BOE的度数为126°．
18．如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，OB是∠COE的平分线，∠COB＝5∠BOD．
（1）∠BOD的度数；
（2）∠AOE的度数．
【答案】（1）∠BOD＝15°；（2）∠AOE＝165°．
【解答】解：（1）∵∠COB＝5∠BOD，∠COD＝90°，
∴∠DOB+5∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝15°．
（2）∵∠BOD＝15°，∠COB＝5∠BOD，
∴∠COB＝75°，
∵OB是∠COE的平分线，
∴∠BOE＝∠BOC＝75°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+75°＝165°．
19．如图，已知点O为直线AB上一点，∠AOC＝60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOE．
（1）求∠EOF的度数；
（2）若点D在直线AB下方且∠AOD与∠AOC互余，求∠DOF的度数．
【答案】（1）∠EOF＝75°；
（2）∠DOF＝135°．
【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，∠AOC＝60°，
∴∠AOE=∠COE=12∠AOC=12×60°=30°，
∵点O在直线AB上，∠AOC＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣30°＝150°，
又∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=12∠BOE=12×150°=75°；
（2）∵∠AOD与∠AOC互余，
∴∠AOD+∠AOC＝90°，
已知∠AOC＝60°，则∠AOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°，
由（1）知∠AOE＝30°，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝30°+30°＝60°，
又∵∠EOF＝75°，
∴∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝60°+75°＝135°．
20．如图，已知O为直线AD上一点，OC是∠AOB内部一条射线且满足∠AOB与∠AOC互补，OM，ON分别为∠AOB，∠AOC的角平分线．
（1）∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；
（2）若∠AOB＝150°，试求∠AON与∠MON的度数；
（3）若∠MON＝52°，试求∠AOB的度数．
【答案】（1）∠COD＝∠AOB，理由见解析；
（2）15°，60°；
（3）142°．
【解答】解：（1）∠COD＝∠AOB，理由：
∵∠AOB与∠AOC互补，
∴∠AOB+∠AOC＝180°，
∵∠COD+∠AOC＝180°，
∴∠COD＝∠AOB；
（2）∵∠AOB与∠AOC互补，∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝180°﹣150°＝30°，
∵ON为∠AOC的角平分线，
∴∠AON=12∠AOC=12×30°=15°，
∵OM为∠AOB的角平分线，∠AOB＝150°，
∴∠AOM=12∠AOB=12×150°=75°，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝75°﹣15°＝60°；
（3）∵OM，ON分别为∠AOB，∠AOC的角平分线，
∴∠AOM=12∠AOB，∠AON=12∠AOC，
∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON=12∠AOB−12∠AOC=52°，
∴∠AOB﹣∠AOC＝104°①，
∵∠AOB+∠AOC＝180°②，
①+②得∠AOB＝142°．
教学目标
掌握余角与补角的概念及其性质，并能够熟练的对其应用。
教学重难点
重点
（1）余角与补角的概念；
（2）余角与补角的性质。
2. 难点
（1）求余角和补角以及对其性质的应用。