初中数学北师大版（2024）八年级上册从统计图分析数据的集中趋势第2课时学案及答案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册从统计图分析数据的集中趋势第2课时学案及答案，共24页。学案主要包含了变式训练等内容，欢迎下载使用。
知识点01 从统计图中获取信息（数据的集中趋势）
知识点02 极差、方差、标准差
1）极差：一组数据中最大值与最小值的差
极差反映了一组数据中极端值的变化.当极差越小，则数据越稳定；极差越大，则数据极端数值波动越大.
2）方差： 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.通常用“”表示，即
结论：若数据a1，a2，……an的方差是s2，则数据a1+b，a2+b，……an+b的方差仍然是s2，数据ka1+b，ka2+b，……kan+b的方差是k2s2.
方差反映整体数据波动情况；方差越小，整体数据越稳定.
3）标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即
4）极差、方差、标准差反映了数据的波动情况，一般用方差或标准差表示数据的稳定性.
题型精讲
题型01 从统计图分析数据的集中趋势
例题1：某校进行安全知识测试，测试成绩分，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取名女生和名男生的成绩分男女两个小组进行整理，得到如下信息：
某校被抽取的男、女生成绩分布统计图

男、女生样本成绩的统计量信息如下：
(1)________，________，________．
(2)该校有名学生，等级为优成绩秀，估计全校安全知识测试为优秀的有多少人？
(3)根据上面表格中的三组统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
【变式训练】
1．某学校在全校范围内开展了数字中国建设相关知识竞赛，从中随机抽取男生、女生各20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理：
①男生竞赛成绩用x（分）表示．共分成四组，制成如下的扇形统计图：
A：，B：，C：，D：；
②男生在C组的数据的个数为5个；
③20名女生的竞赛成绩为：44，46，50，50，48，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，50，46，50，50；
④男生、女生各20名同学的竞赛成绩分析如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
(3)若该校有300名男生和320名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．
题型02 求方差
例题2：甲进行了7次射击训练，命中的环数如下：7，9，8，7，10，7，8．则他7次射击命中的环数的方差 ．
【变式训练】
2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，回答下列问题：

(1)甲的平均数是 ，
(2)乙的中位数是 ．
(3)分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
题型03 根据方差判断稳定性或做决策
例题3：某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化直讲活动，为了解宜讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取20名学生进行问卷测试（满分：10分，测试成绩均为整数），并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
九年级抽取的20名学生测试成绩条形统计图

八年级抽取的20名学生的测试成绩分别是：5，10，8，9，9，8，9，8，8，6，8，8，10，9，8，8，6，5，10，8．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上表中 ， ， ；
(2)并根据以上数据，你认为该校八、九年级中 年级的测试成绩较稳定；（填写“八”或“九”）
(3)该校八、九年级共有学生2000人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生约有多少人？
【变式训练】
1．（2023春·河北衡水·九年级校考期中）石家庄赞皇某大枣育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量进行整理分析．下面给出了相应数据（单位：（千克）：
甲品种：20，32，31，32，31，25，32，36，38，39；
乙品种：如图所示．

(1)a=________；b=________；
(2)若乙品种共种植500棵，估计其产量不低于千克的棵数；
(3)请选择一个合适的角度，说明哪个品种更好．
题型04 求极差、标准差
例题4：小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．这六个分数的极差是 分．
【变式训练】
1．已知一组数据，，1，3，6，x的中位数为1，则极差为 ，方差为 ．
课后作业
一、单选题
1．数据2，5，4，，的极差是（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．体育课上，体育老师随机抽取了某班10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表（ ）
A．这组数据的众数是8B．这组数据的中位数是8
C．这组数据的平均数是7D．这组数据的极差是6
3．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟）并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）

A．平均数为70分钟 B．众数为67分钟 C．中位数为67分钟D．方差为32
二、填空题
4．已知一组数据为4，5，7，8，则这组数据的方差 ．
5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）乒乓球的标准直径为，质监部门分别抽取了、两厂生产的乒乓球各只，对其直径进行检测，将所得的数据绘制如图．则抽取的、两厂生产的乒乓球直径的方差大小关系是： (填或或)．
三、解答题
6．某学校招募志愿者，甲、乙两班各报名20名同学．现对这40名同学进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，把他们的成绩制成不完整的统计图．

(1)请补充完整条形统计图；
(2)若按成绩的高低，分别从甲、乙两班各招募10名志愿者，甲班的佳佳和乙班的音音均得7分，说明他们两人能否被录取；
(3)说明哪个班整体测评成绩较好．
7．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：

根据以上信息，整理分析数据如下：
(1) ， ， ．
(2)填空：（填“甲”或“乙”）．
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ．
(3)从甲、乙两名队员中选一名成绩相对稳定的队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
参考答案
题型01 从统计图分析数据的集中趋势
例题1：某校进行安全知识测试，测试成绩分，，，四个等级，依次记为分，分，分，分，学校随机抽取名女生和名男生的成绩分男女两个小组进行整理，得到如下信息：
某校被抽取的男、女生成绩分布统计图

男、女生样本成绩的统计量信息如下：
(1)________，________，________．
(2)该校有名学生，等级为优成绩秀，估计全校安全知识测试为优秀的有多少人？
(3)根据上面表格中的三组统计量，你认为男生、女生谁的成绩较好？请简述理由．
【答案】(1)
(2)全校安全知识测试成绩优秀的有人．
(3)男生，理由见解析．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义逐项求解即可．
（2）可先求得样本中安全知识测试为优秀的比例，用该比例作为全校安全知识测试为优秀的比例．
（3）样本成绩的平均数、中位数和众数越大，成绩越好．
【详解】（1）女生样本成绩的平均数为：．
男生样本成绩共有个，为偶数，按从小到大的顺序排列，中间的两个数分别是，，故男生样本成绩的中位数为．
女生样本成绩的众数为．
故答案为：
（2）(人)
答：全校安全知识测试成绩优秀的有人．
（3）男生的成绩较好，理由如下：
男生的成绩的平均数比女生的高，男生成绩的中位数、众数也比女生的高，所以男生的成绩较好．
【点睛】本题主要考查平均数、中位数和众数，牢记平均数、中位数和众数的定义是解题的关键．
【变式训练】1．某学校在全校范围内开展了数字中国建设相关知识竞赛，从中随机抽取男生、女生各20名同学的竞赛成绩（满分50分）进行整理：
①男生竞赛成绩用x（分）表示．共分成四组，制成如下的扇形统计图：
A：，B：，C：，D：；
②男生在C组的数据的个数为5个；
③20名女生的竞赛成绩为：44，46，50，50，48，50，46，49，50，48，45，50，50，50，49，48，50，46，50，50；
④男生、女生各20名同学的竞赛成绩分析如表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校女生与男生的竞赛成绩谁更好？请说明理由；
(3)若该校有300名男生和320名女生，估计该校竞赛成绩为满分的人数．
【答案】(1)50，49.5，15
(2)女生的竞赛成绩更好，见解析
(3)295人
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求a和b，求出女生C组的百分比即可得m的值；
（2）根据平均数、中位数、众数和满分率的意义即可求解；
（3）用满分率乘总人数即可求解．
【详解】（1）解：因为男生的满分率为45%，所以众数；
把20名女生的竞赛成绩从小到大排列为：44，45，46，46，46，48，48，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50，50，50，50，排在中间的两个数是49、50，故中位数，
，
故．
故答案为：50，49.5，15；
（2）解：女生的竞赛成绩更好，理由如下：
因为女生的平均数，中位数和满分率都比男生的高，
所以女生的竞赛成绩更好；
（3）解：
（人），
答：估计该校竞赛成绩为满分的人数约295人．
【点睛】本题考查扇形统计图、众数、平均数以及样本估计总体，掌握平均数、众数的意义和计算方法是解题的关键．
题型02 求方差
例题2：甲进行了7次射击训练，命中的环数如下：7，9，8，7，10，7，8．则他7次射击命中的环数的方差 ．
【答案】
【分析】先计算射击成绩的平均数，再利用方差公式进行计算即可．
【详解】解：平均数为：，
∴
．
故答案为：
【点睛】本题考查方差的计算：一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
【变式训练】2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，两人在相同条件下各射击10次，射击的成绩如图所示．根据图中信息，回答下列问题：

(1)甲的平均数是 ，
(2)乙的中位数是 ．
(3)分别计算甲、乙成绩的方差，并从计算结果分析，你认为哪位运动员的射击成绩更稳定？
【答案】(1)8
(2)
(3)甲的方差为，乙的方差为，乙更稳定
【分析】（1）根据平均数的定义解答即可；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）计算方差，并根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定解答．
【详解】（1）解：甲的平均数，
故答案为：8；
（2）解：乙的十次射击成绩按从小到大顺序排列为7，7，7，7，7，8，9，9，9，10，中位数是；
故答案为：；
（3）解：；
，
；
∴
∴乙运动员的射击成绩更稳定．
【点睛】此题主要考查了方差和平均数，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
题型03 根据方差判断稳定性或做决策
例题3：某中学对全校学生进行了一次革命传统和中华优秀传统文化直讲活动，为了解宜讲效果，校学生会随机从八、九年级各抽取20名学生进行问卷测试（满分：10分，测试成绩均为整数），并将测试结果进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
九年级抽取的20名学生测试成绩条形统计图

八年级抽取的20名学生的测试成绩分别是：5，10，8，9，9，8，9，8，8，6，8，8，10，9，8，8，6，5，10，8．
八、九年级抽取的学生测试成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上表中 ， ， ；
(2)并根据以上数据，你认为该校八、九年级中 年级的测试成绩较稳定；（填写“八”或“九”）
(3)该校八、九年级共有学生2000人，估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生约有多少人？
【答案】(1)9，8，8.5
(2)八
(3)850人
【分析】（1）根据众数、中位数的定义进行计算即可；
（2）根据平均数、方差进行比较即可得出结论；
（3）根据总人数乘以百分比即可得出答案．
【详解】（1）解：由条形统计图可知，九年级学生中9分人数出现次数最多，
九年级学生成绩的众数为，
将八年级学生成绩按从小到大顺序排列，位于中间位置的两个数为8，8，
八年级学生成绩的中位数为，
将九年级学生成绩按从小到大顺序排列，位于中间位置的两个数为8，9，
九年级学生成绩的中位数为，
故答案为：9，8，8.5；
（2）解：八年级成绩较好，
理由如下：
九年级学生成绩的平均数等于八年级学生成绩的平均数，且九年级学生成绩的方差大于八年级学生成绩的方差，
八年级学生成绩较稳定，
故答案为：八；
（3）解：根据题意得：
抽出学生中，九年级学生成绩在9分及以上的学生有10人，八年级学生成绩在9分及以上的学生有7人，
此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生约有：（人），
估计此次八、九年级学生问卷测试成绩在9分及以上的学生约有850人．
【点睛】本题考查了中位数、众数、由方差判断稳定性、由样本估计总体，熟练掌握中位数及众数的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．石家庄赞皇某大枣育种改良试验基地对新培育的甲、乙两个品种各试种一亩，从两块试验地中各随机抽取10棵，对其产量进行整理分析．下面给出了相应数据（单位：（千克）：
甲品种：20，32，31，32，31，25，32，36，38，39；
乙品种：如图所示．

(1)a=________；b=________；
(2)若乙品种共种植500棵，估计其产量不低于千克的棵数；
(3)请选择一个合适的角度，说明哪个品种更好．
【答案】(1)33；32
(2)300
(3)乙品种的产量稳定，即乙品种更好
【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出；
（2）用500乘以产量不低于千克的百分比即可；
（3）根据方差的意义进行判断即可．
【详解】（1）解：把乙品种的产量从小到大排列：25，27， 27，30，32，34， 35，35，35，36；
所以中位数，
甲品种的产量32千克的最多有3棵，所以众数为32；
故答案为：33，32；
（2）解：由折线统计图可得产量不低于千克的乙品种有6棵，
∴（棵），即其产量不低于31.6千克的约有300棵；
（3）解：∵甲、乙品种的平均数相同，说明它们的产量相当，甲品种的方差为，乙品种的方差为，
∴，
∴乙品种的产量稳定，即乙品种更好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差以及样本估计总体，理解中位数、众数、方差、样本估计总体的方法是正确求解的前提．
题型04 求极差、标准差
例题4：小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．这六个分数的极差是 分．
【答案】3
【分析】根据极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差直接判断即可得到答案；
【详解】解：由数据得，
极差为：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差，理解极差的定义是解题关键．
【变式训练】
1．4已知一组数据，，1，3，6，x的中位数为1，则极差为 ，方差为 ．
【答案】 9 9
【分析】根据中位数的定义求得，再根据方差和极差的定义进行求解即可．
【详解】解：由这组数据的中位数为1，可得：，
∴这组数据中最大数为6，最小数为，
∴这组数据的极差为：，
∵这组数据的平均数为：，
∵方差为：，
故答案为：9；9．
【点睛】本题考查中位数的定义、方差和极差，熟练掌握中位数的定义、方差和极差的定义是解题的关键．
课后作业
一、单选题
1．数据2，5，4，，的极差是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】一组数据中最大值与最小值的差即为极差，据此解答.
【详解】解：数据2，5，4，，的极差是；
故选：C.
【点睛】本题考查了极差的概念，熟知一组数据中最大值与最小值的差叫做极差是关键.
2．体育课上，体育老师随机抽取了某班10名男生的引体向上成绩，将这组数据整理后制成如下统计表（ ）
A．这组数据的众数是8B．这组数据的中位数是8
C．这组数据的平均数是7D．这组数据的极差是6
【答案】C
【分析】根据众数、中位数、平均数和极差的定义进行计算．
【详解】解：引体向上成绩出现最多的是8次和6次，故众数为8和6，故A选项错误，不符合题意，
将这组数据从小到大排列为：5、5、6、6、6、8、8、8、9、9，
∴中位数为，故B选项错误，不符合题意；
这组数据的平均数是，故C选项正确，符合题意，
D、∵这组数据的最大值为9，最小值为5，
∴这组数据的极差是，故D选项错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了极差、众数、平均数和中位数的计算，众数一组数据中出现次数最多的数值，众数可以有多个；中位数是按大小排序以后排在中间的数或中间两个数据的平均数；熟练掌握众数、平均数、极差和中位数的定义是解题关键．
3．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟）并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）

A．平均数为70分钟B．众数为67分钟C．中位数为67分钟D．方差为32
【答案】B
【分析】根据折线图分别求出平均数、众数、 中位数和方差进行判断即可，平均数的计算方法是：一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数：是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数．
【详解】解：根据折线图小亮每天校外锻炼时间为：，
A、平均数是分钟，故该选项错误；
B、这组数的众数是67分钟，故该选项正确；
C、将这组数由小到大排列为：，中位数是70，，故该选项错误；
D、方差为 ，故该选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．
二、填空题
4．已知一组数据为4，5，7，8，则这组数据的方差 ．
【答案】2.5
【分析】利用方差公式进行求解即可．
【详解】解：这组数据的平均数为，
∴，
故答案为：2.5．
【点睛】本题考查方差，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．
5．已知一个样本1、a、3、4、7，它的平均数是4，则这个样本的标准差是 ．
【答案】
【分析】先由平均数的公式计算出a的值，根据方差的公式计算出方差，再计算标准差．
【详解】解：由题意得：
解得：
方差
∴标准差
故答案为：．
【点睛】计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：
（1）计算数据的平均数；
（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；
（3）计算偏差的平方和；
（4）偏差的平方和除以数据个数．
标准差即方差的算术平方根；注意标准差和方差一样都是非负数．
8．乒乓球的标准直径为，质监部门分别抽取了、两厂生产的乒乓球各只，对其直径进行检测，将所得的数据绘制如图．则抽取的、两厂生产的乒乓球直径的方差大小关系是： (填或或)．
【答案】
【分析】一组数据的波动越大，对应的方差越大，波动越小，对应的方差越小，据此可得答案．
【详解】解：∵由图可知，厂的数据波动程度比厂的数据波动的程度小，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了方差，掌握方差的值越小则数据波动程度越小是关键．
三、解答题
6．（2023春·河北邢台·九年级统考开学考试）某学校招募志愿者，甲、乙两班各报名20名同学．现对这40名同学进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，把他们的成绩制成不完整的统计图．

(1)请补充完整条形统计图；
(2)若按成绩的高低，分别从甲、乙两班各招募10名志愿者，甲班的佳佳和乙班的音音均得7分，说明他们两人能否被录取；
(3)说明哪个班整体测评成绩较好．
【答案】(1)见解析
(2)佳佳不能被录取；音音可以被录取
(3)甲班
【分析】（1）求出甲班成绩为8分的人数，即补充完整条形统计图；
（2）分别求出两个班成绩的中位数，即可求解；
（3）分别求出两个班成绩的方差，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：甲班成绩为8分的人数为人，
补全条形统计图，如下：

（2）解：根据题意得：甲班成绩的中位数为，
乙班成绩的中位数为，
∵，，
∴佳佳不能被录取；音音可以被录取；
（3）解=，
乙=，
∵，
∴甲班成绩较好．
【点睛】本题主要考查了条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；中位数，方差，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
7．甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：

根据以上信息，整理分析数据如下：
(1) ， ， ．
(2)填空：（填“甲”或“乙”）．
从中位数的角度来比较，成绩较好的是 ；从众数的角度来比较，成绩较好的是 ．
(3)从甲、乙两名队员中选一名成绩相对稳定的队员参加比赛，选谁更合适，为什么？
【答案】(1)7，，7
(2)乙，乙
(3)选甲更合适，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义求解；
（2）利用中位数、众数做决策；
（3）利用方差做决策．
【详解】（1）解：甲的平均成绩，
甲的成绩中7出现的次数最多，因此众数，
由折线图知，乙的成绩从低到高排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
10个数中第五个数为7，第六个数为8，因此中位数，
故答案为：7，，7；
（2）解：从表格数据可知，乙成绩的中位数、众数都比甲高，
因此：从中位数的角度来比较，成绩较好的是乙；从众数的角度来比较，成绩较好的是乙．
故答案为：乙，乙；
（3）解：选甲更合适，因为甲成绩的方差小于乙成绩的方差，波动性较小，成绩相对稳定．
【点睛】本题考查条形统计图、折线统计图、中位数、众数、平均数、方差等，解题的关键是掌握相关统计量的定义及意义．
从折线统计图中读取
从条形统计图中读取
从扇形统计图中读取
众数
同一水平线上出现次数最多的数据
最高的直条所对的横轴
上的数就是众数
所占比例最大部分对应数就是众数
中位数
从左到右处于中间点所对应的数
从左到右处于中间点所
对应的数
按从小到大顺序计算所占百分比之和，找到50%和51%对应部分的平均数就是中位数
平均数
从统计图中读出各类数据，按平均数的计算公式计算即可
从统计图中读出各类数
据，按平均数的计算公
式计算即可
从统计图中读出各类数据，按平均数的计算公式计算即可
统计量
平均数
中位数
众数
女生
男生
性别
平均数
中位数
众数
满分率
男生
48.05
48.5
a
45%
女生
48.45
b
50
50%
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
8
8
2.1
九年级
8
2.7
平均数
中位数
众数
方差
甲品种
32
b
乙品种
a
35
成绩（次）
9
8
6
5
人数（名）
2
3
3
2
平均成绩环
中位数环
众数环
方差
甲
7
乙
7
8
统计量
平均数
中位数
众数
女生
男生
性别
平均数
中位数
众数
满分率
男生
48.05
48.5
a
45%
女生
48.45
b
50
50%
年级
平均数
众数
中位数
方差
八年级
8
8
2.1
九年级
8
2.7
平均数
中位数
众数
方差
甲品种
32
b
乙品种
a
35
成绩（次）
9
8
6
5
人数（名）
2
3
3
2
平均成绩环
中位数环
众数环
方差
甲
7
乙
7
8