北京市第四中学2024-2025学年高二下学期开学测试数学试题-A4

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这是一份北京市第四中学2024-2025学年高二下学期开学测试数学试题-A4，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
2. 双曲线的渐近线方程是（）
A. B. C. D.
3. 若的展开式中所有二项式系数的和为32，则（）
A. 5B. 6C. 7D. 8
4. “”是“直线与圆相切”的（）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 某圆锥曲线是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过和两点，则曲线离心率等于（）
A. B. C. D.
6. 正四面体中，为中点，为的中点，则异面直线与所成的角为（）
A. B. C. D.
7. 给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）
A. 12种B. 18种C. 24种D. 64种
8. 已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（）
A. 1B. C. 2D.
9. 如图，在正方体中，是棱上的动点，下列说法中不正确的是（）
A. 存在点，使得B. 存在点，使得
C. 对于任意点，三棱锥的体积为定值D. 对于任意点，都不是锐角三角形
10. 在正方体中，动点在正方形及其边界上运动，且满足，则动点的轨迹为（）
A. 拋物线一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 以上都不对
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 展开式常数项是__________．（用数字作答）
12. 已知抛物线的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则____________．
13. 圆截直线所得弦长为2，则______.
14. 已知两点.点满足，则的面积是______.
15. 已知曲线.给出下列四个结论：
①曲线是轴对称图形：
②曲线上恰好有4个整点（即横，纵坐标均是整数的点）；
③曲线上存在一点，使得到点的距离小于1；
④曲线所围成区域的面积大于4.
其中，所有正确结论的序号为______.
三、解答题（本大题共6小题，共85分.）
16. 如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形.
（1）求证：平面；
（2）若平面，，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知拋物线经过点.
（1）求的值和拋物线的准线方程；
（2）经过点直线与拋物线交于两点，为坐标原点.求的大小.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面为棱的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角余弦值；
（3）求点到平面的距离.
19. 已知椭圆的左焦点为，且经过点.分别是椭圆的左，右顶点，点在椭圆上（与点不重合），过且与轴垂直的直线交直线于点，交直线于点.
（1）求椭圆的短轴长和离心率；
（2）若线段的中点为，求点坐标.
20. 已知椭圆的左右顶点分别为，离心率为，点，的面积为2.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线交椭圆于点，线段的垂直平分线交轴于点，点关于直线的对称点为.若四边形为正方形，求的值.
21. 对于正整数集合，如果对于M中的任意两个元素x，y，都有，则称M为“好集合”.
（1）试判断集合和是否为“好集合”？并说明理由；
（2）若集合，证明：C不可能是“好集合”；
（3）若，D是S的子集，且D是“好集合”，求D所含元素个数的最大值.
高二数学
（试卷满分150分考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）
【1题答案】
【答案】D
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
【9题答案】
【答案】AD
【10题答案】
【答案】B
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）
【11题答案】
【答案】24
【12题答案】
【答案】5
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】①②④
三、解答题（本大题共6小题，共85分.）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1），
（2）
【18题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）短轴长，离心率
（2）或
【20题答案】
【答案】（1）
（2）
【21题答案】
【答案】（1）集合A不是“好集合”，集合B是“好集合”，理由见解析
（2）证明见解析（3）