2025-2026学年上学期重庆小学数学六年级期末典型卷3

这是一份2025-2026学年上学期重庆小学数学六年级期末典型卷3，共69页。试卷主要包含了方向上等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）2023年天猫“双11”全球狂欢节交易额达到498200000000元，横线上的数读作（ ）
A．四千九百八十二亿B．四千六百九十二千万
C．四百九十八亿二千万D．四千九百八十二万
2．（2分）下面的运动中，不是平移的是（ ）
A．国旗上升
B．停车场入口处的横杆抬起
C．电梯下行
D．缆车从山脚运行至山顶
3．（2分）下面是三、四年级部分学生喜欢的运动的统计表。如果体育老师想根据这份统计表决定购买的球类，你建议他优先购买（ ）
A．足球B．篮球C．羽毛球D．乒乓球
4．（2分）小花在小刚的东偏南30°方向上，小刚在小花的（ ）方向上。
A．北偏西30°B．西偏北30°C．东偏南30°D．南偏东30°
5．（2分）行完同一段路，大汽车要6小时，小汽车要5小时，大、小汽车速度的最简整数比是（ ）
A．6：5B．5：6C．15：16D．16：15
6．（2分）如图是马小虎绘制的1～3号球员投篮练习时投中个数的统计图，统计图左边的纵轴数据和3号球员的成绩被马小虎遗忘了。经了解，2号球员比1号球员多投中9个，3号球员的成绩在统计图中应画8格，3号球员投中（ ）个。
A．16B．18C．21D．24
7．（2分）李阿姨下载一份260MB的文件，已下载20%，还剩多少MB就完成下载？以下列式正确的是（ ）
A．260÷20%B．260×20%
C．260÷（1﹣20%）D．260×（1﹣20%）
8．（2分）一堆煤重120吨，第一次用去524，第二次用去112，两次共用去多少吨？正确的算式是（ ）
A．120×524-112B．120×(524+112)
C．120×524+112D．120×(524-112)
9．（2分）一桶油用去16，用去的是余下的（ ）
A．16B．45C．15D．23
10．（2分）50米决赛时，小青用了11秒，小玉比她快2秒，小玉用了（ ）秒。
A．14B．13C．9
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
11．（2分）把下面各数改写成以“万”或“亿”为单位的数。
65440000＝ 万
89008000000＝ 亿
12．（2分）一件衣服的进价是80元，如果按100元卖出去，可以盈利 元，这件衣服的利润率为 %。
13．（2分）车站调度室从甲地往乙地发车，计划每天最早一班6：40开出，然后每隔2小时发出一班，最晚一班18：40开出。
（1）每天共有 个班次的客车开出。
（2）王叔叔11：25赶到车站，他至少要等 分钟，客车才出发。
14．（2分）每个书包的售价是98元，每个98元可以写作 ；高铁的速度是350千米/时，读作 。
15．（2分）做一个长12dm、宽5dm、高2dm的无盖长方体铁皮水槽最少需要 平方分米的铁皮，这个水槽最多可以盛水 升（铁皮厚度忽略不计）。
16．（2分）哥哥与弟弟从A、B两地同时出发，相向而行，3分钟后相遇。A、B两地相距 米，从出发到相遇，哥哥比弟弟多行 米。
17．（2分）如图，把一个圆平均分成若干份，然后拼成一个近似的平行四边形，这个近似的平行四边形的高是4cm，底是 cm，这个圆的面积是 cm2。
18．（2分）合肥市交通管理部门为了解市区道路畅通情况，对长江东路（东西方向）和郎溪路（南北方向）某天不同时段的车流量进行了统计，并制成了如下统计图。
从图中可以看出 这一时段，两个路口的车流量相差最多；10：00～11：00这一时段郎溪路的车流量占长江东路的 。
19．（2分）把34米长的绳子平均剪成7段，每段是绳长的（ ），每段长（ ）米。
20．（2分）光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置。他们租了 辆大车， 辆小车。
21．（2分）把4米长的绳子平均分成9段，每段绳子长 米，每段占绳长的 。
A.49，19
B.19，49
C.19，19
D.49，49
22．（2分）饲养场王大爷提了一篮子鸭蛋去卖，第一人买了篮子里鸭蛋总数的一半并且王大爷送了买主半颗鸭蛋；第二个人买了篮子里余下的鸭蛋总数的一半并且王大爷也送了买主半颗鸭蛋；第三个人买了篮子里余下的鸭蛋总数的一半并且王大爷也送了买主半颗鸭蛋；……这样到第四个人刚好把一篮子鸭蛋卖完，那么王大爷原来的一篮子鸭蛋一共有 颗。照这样的规律，如果卖给了n个人，那么王大爷原来的一篮子鸭蛋一共有 颗。
三．计算题（共2小题）
23．解方程。
24．
四．操作题（共1小题）
25．把梯形分成三个面积比是1：2：3的三角形。（小方格边长表示1厘米）
（1）画一个周长是20厘米，长与宽比是3：2的长方形。
（2）在之前长方形中，表示出34×23。
（3）画一个面积是9平方厘米的直角三角形，使直角边的比是2：1。
五．应用题（共6小题，满分24分，每小题4分）
26．（4分）只列式，不计算。
学校合唱小组有80人，足球小组的人数是合唱小组的45，绘画小组的人数是足球小组的12，绘画小组有多少人？
27．（4分）把一张圆形纸片平均分成若干份，拼成以半径为宽的近似长方形，已知长方形的周长是33.12厘米，这张圆形纸片的面积是多少？
28．（4分）星期六早上9：00，小杰和妈妈从家出发步行去博物馆，他们每分钟走58米，9：35到达博物馆，小杰家距离博物馆有多远？
29．（4分）四年级一共有279名学生和6名教师参加研学活动，怎样租车最省钱？
大车每辆坐45人，租金1000元；
小车每辆坐30人，租金750元。
30．（4分）如图所示，如果梯形中阴影部分的面积是6cm2，那么空白三角形的面积是多少cm2？
31．（4分）游玩极地海洋公园。根据如表信息，回答下面问题。
（1）小丽下午2时50分到达极地海洋公园，她在极地海洋公园最多可以参观多长时间？
（2）五一期间小华一家去极地海洋公园游玩，买门票一共花了28元。这次游玩小华家可能去了几个大人，几个小孩？（写出2种可能）
2025-2026学年上学期重庆小学数学六年级期末模拟卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）2023年天猫“双11”全球狂欢节交易额达到498200000000元，横线上的数读作（ ）
A．四千九百八十二亿B．四千六百九十二千万
C．四百九十八亿二千万D．四千九百八十二万
【考点】亿以上数的读写．
【专题】推理能力；应用意识．
【答案】A
【分析】整数的读法：从高位读起，先读亿级，再读万级，最后读个级；读亿级和万级时按读个级的方法来读，读完亿级后加上一个“亿”字，读完万级后加上一个“万”字；每级末尾不管有几个0都不读，每级中间或前面有一个或连续几个0，都只读一个0。
【解答】解：498200000000读作：四千九百八十二亿。
故选：A。
【点评】本题主要考查了亿以上数的读写，要熟练掌握。
2．（2分）下面的运动中，不是平移的是（ ）
A．国旗上升
B．停车场入口处的横杆抬起
C．电梯下行
D．缆车从山脚运行至山顶
【考点】旋转；平移．
【专题】几何直观．
【答案】B
【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动。在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转。据此进行判断即可。
【解答】解：A．国旗上升是平移；
B．停车场入口处的横杆抬起旋转；
C．电梯下行是平移。
D缆车从山脚运行至山顶是平移。
故选：B。
【点评】本题主要考查平移和旋转的意义，在实际当中的运用，结合题意分析解答即可。
3．（2分）下面是三、四年级部分学生喜欢的运动的统计表。如果体育老师想根据这份统计表决定购买的球类，你建议他优先购买（ ）
A．足球B．篮球C．羽毛球D．乒乓球
【考点】从统计图表中获取信息．
【专题】统计数据的计算与应用；应用意识．
【答案】A
【分析】分别计算三年级和三年级喜欢各类球类的人数，再比较大小即可。
【解答】解：26+19＝45（人）
20+15＝35（人）
18+9＝27（人）
8+12＝20（人）
45＞35＞27＞20
答：建议他优先购买足球。
故选：A。
【点评】本题考查了根据统计表提供的信息解决实际问题的能力。
4．（2分）小花在小刚的东偏南30°方向上，小刚在小花的（ ）方向上。
A．北偏西30°B．西偏北30°C．东偏南30°D．南偏东30°
【考点】用角度表示方向．
【专题】综合判断题；推理能力．
【答案】B
【分析】小花在小刚东偏南30°方向上，那么小刚在小花的西偏北30°方向。据此选择。
【解答】解：小花在小刚东偏南30°方向上，那么小刚在小花的西偏北30°方向。
故选：B。
【点评】本题考查了用角度表示方向的方法。
5．（2分）行完同一段路，大汽车要6小时，小汽车要5小时，大、小汽车速度的最简整数比是（ ）
A．6：5B．5：6C．15：16D．16：15
【考点】求比值和化简比；比的意义．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】将这段路设为1，则大汽车每小时行16，小汽车每小时行15，据此解答。
【解答】解：1÷6=16，1÷5=15
16：15
＝（16×30）：（15×30）
＝5：6
答：大、小汽车速度的最简整数比是5：6。
故选：B。
【点评】解答本题需熟练掌握路程、速度和时间之间的关系，明确化简比的结果是一个最简整数比。
6．（2分）如图是马小虎绘制的1～3号球员投篮练习时投中个数的统计图，统计图左边的纵轴数据和3号球员的成绩被马小虎遗忘了。经了解，2号球员比1号球员多投中9个，3号球员的成绩在统计图中应画8格，3号球员投中（ ）个。
A．16B．18C．21D．24
【考点】从统计图表中获取信息．
【专题】统计数据的计算与应用；应用意识．
【答案】D
【分析】用2号球员比1号球员多投中的个数，除以多投中的格数，得出一格表示的个数，再乘8即可解题。
【解答】解：9÷3＝3（个）
8×3＝24（个）
答：3号球员的成绩在统计图中应画8格，3号球员投中24个。
故选：D。
【点评】本题考查了根据统计图提供的信息解决实际问题的能力。
7．（2分）李阿姨下载一份260MB的文件，已下载20%，还剩多少MB就完成下载？以下列式正确的是（ ）
A．260÷20%B．260×20%
C．260÷（1﹣20%）D．260×（1﹣20%）
【考点】百分数的实际应用．
【专题】推理能力；应用意识．
【答案】D
【分析】把这份文件的总容量看作单位“1”，已下载20%，还剩（1﹣20%），用总容量乘剩下的量占的百分率，求出还没下载的量。
【解答】解：260×（1﹣20%）
＝260×80%
＝208（MB）
答：还剩208MB就完成下载。
故选：D。
【点评】解答此题的关键是找出单位“1”，求单位“1”的百分之几是多少，用乘法计算。
8．（2分）一堆煤重120吨，第一次用去524，第二次用去112，两次共用去多少吨？正确的算式是（ ）
A．120×524-112B．120×(524+112)
C．120×524+112D．120×(524-112)
【考点】分数四则复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】B
【分析】把这堆煤的总吨数看作单位“1”，第一次、第二次分别用去总吨数的524、112，那么两次一共用去总吨数的(524+112)，单位“1”已知，用总吨数乘(524+112)，即可求出两次一共用去的吨数。
【解答】解：120×(524+112)
=120×524+120×112
＝25+10
＝35（吨）
答：两次共用去35吨。
正确的算式是120×(524+112)。
故选：B。
【点评】本题考查了分数四则混合运算应用题，解决本题的关键是应用乘法解决问题。
9．（2分）一桶油用去16，用去的是余下的（ ）
A．16B．45C．15D．23
【考点】分数四则复合应用题．
【专题】综合题；应用意识．
【答案】C
【分析】把这桶油看作1，余下的＝1×（1-16），由此计算用去的是余下的几分之几。
【解答】解：把这桶油看作1，余下的是1×（1-16）=56，用去的是余下的：
16÷56=15
故选：C。
【点评】解决本题的关键是找出题中的单位“1”。
10．（2分）50米决赛时，小青用了11秒，小玉比她快2秒，小玉用了（ ）秒。
A．14B．13C．9
【考点】植树问题．
【专题】综合判断题．
【答案】C
【分析】小青用了11秒，小玉比她快2秒，用减法计算。
【解答】解：11﹣2＝9（秒）
故选：C。
【点评】本题考查的主要内容是时间的计算问题。
二．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）
11．（2分）把下面各数改写成以“万”或“亿”为单位的数。
65440000＝ 6544 万
89008000000＝ 890.08 亿
【考点】亿以内数的改写与近似；亿以上数的改写与近似．
【专题】数感．
【答案】6544；890.08。
【分析】把整万的数改写成以“万”为单位的数，就是把万位后面的0去掉，同时在后面加一个“万”字；
把非整亿的数改写成以“亿”为单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“亿”字。
【解答】解：65440000＝6544万
89008000000＝890.08亿
故答案为：6544；890.08。
【点评】掌握大数的改写的方法是解答本题的关键。
12．（2分）一件衣服的进价是80元，如果按100元卖出去，可以盈利 20 元，这件衣服的利润率为 80 %。
【考点】百分数的实际应用．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】20，80。
【分析】用这件衣服的卖价减进价，即可得盈利，用盈利除以这件衣服的进价，再乘100%，即可得利润率。
【解答】解：100﹣80＝20（元）
20÷80×100%＝80%
答：可以盈利20元，这件衣服的利润率为80%。
故答案为：20，80。
【点评】本题主要考查了百分数的实际应用，关键是弄清数量关系。
13．（2分）车站调度室从甲地往乙地发车，计划每天最早一班6：40开出，然后每隔2小时发出一班，最晚一班18：40开出。
（1）每天共有 7 个班次的客车开出。
（2）王叔叔11：25赶到车站，他至少要等 75 分钟，客车才出发。
【考点】日期和时间的推算；公因数和公倍数应用题．
【专题】应用意识．
【答案】（1）7；
（2）75。
【分析】（1）由题意可知，最后一班发车时间与第一班发车时间间隔为18时40分﹣6时40分＝12小时，每隔2小时发出一个班次客车，所以这12小时中，发出的班次为12÷2＝6（个）。第一班发车时间不在12小时内，因此还要加上第一班，一共是7个班次。
（2）王叔叔11：25赶到车站，第二班的发车时间是8：40，第三班的发车时间是10：40，第四班的发车时间是12：40。说明他赶到车站的时间在第三班和第四班发车时间之间，第四班的发车时间是12：40，因此他至少要等75分钟客车才出发。
【解答】解：（1）18时40分﹣6时40分＝12小时
12÷2+1
＝6+1
＝7（个）
答：每天共有7个班次的客车开出。
（2）第三班的发车时间是10：40，第四班的发车时间是12：40，
所以12时40分﹣11时25分＝75分钟
答：他至少要等75分钟客车才出发。
故答案为：7；75。
【点评】熟练掌握经过时间的计算公式：经过时间＝结束时间﹣开始时间，灵活运用公式解决问题。
14．（2分）每个书包的售价是98元，每个98元可以写作 98元/个 ；高铁的速度是350千米/时，读作 350千米每时 。
【考点】简单的行程问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】98元/个；350千米每时。
【分析】根据单价的表示方法和速度的读法解答即可。
【解答】解：每个书包的售价是98元，每个98元可以写作98元/个；高铁的速度是350千米/时，读作350千米每时。
故答案为：98元/个；350千米每时。
【点评】本题考查了单价和速度的表示方法和读法的灵活运用。
15．（2分）做一个长12dm、宽5dm、高2dm的无盖长方体铁皮水槽最少需要 128 平方分米的铁皮，这个水槽最多可以盛水 120 升（铁皮厚度忽略不计）。
【考点】长方体、正方体表面积与体积计算的应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】128；120。
【分析】用长方体水槽的表面积，减去上盖的面积即可；运用长方体的体积＝长×宽×高代入数据计算即可。
【解答】解：（12×5+12×2+5×2）×2﹣12×5
＝（60+24+10）×2﹣60
＝94×2﹣60
＝188﹣60
＝128（平方分米）
12×5×2
＝60×2
＝120（立方分米）
120立方分米＝120升
答：做一个长12dm、宽5dm、高2dm的无盖长方体铁皮水槽最少需要128平方分米的铁皮，这个水槽最多可以盛水120升。
故答案为：128；120。
【点评】解答此题要运用长方体的表面积和体积公式。
16．（2分）哥哥与弟弟从A、B两地同时出发，相向而行，3分钟后相遇。A、B两地相距 345 米，从出发到相遇，哥哥比弟弟多行 15 米。
【考点】相遇问题．
【专题】应用意识．
【答案】345；15。
【分析】根据路程＝速度×时间，代入数值，即可求出两地的距离；
利用减法先求出哥哥每分钟比弟弟多行的路程，再乘时间，即可解答。
【解答】解：（60+55）×3
＝115×3
＝345（米）
（60﹣55）×3
＝5×3
＝15（米）
答：A、B两地相距345米，从出发到相遇，哥哥比弟弟多行15米。
故答案为：345；15。
【点评】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。
17．（2分）如图，把一个圆平均分成若干份，然后拼成一个近似的平行四边形，这个近似的平行四边形的高是4cm，底是 12.56 cm，这个圆的面积是 50.24 cm2。
【考点】圆、圆环的面积．
【专题】推理能力；应用意识．
【答案】12.56，50.24。
【分析】根据圆面积公式的推导方法可知，把一个圆剪拼成一个近似平行四边形，拼成的计算平行四边形的底等于圆周长的一半，拼成的平行四边形的高等于圆的半径，拼成的平行四边形的面积等于圆的面积，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：2×3.14×4÷2
＝25.12÷2
＝12.56（厘米）
3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
答：平行四边形的底是12.56厘米，这个圆的面积是50.24平方厘米。
故答案为：12.56，50.24。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导方法及应用，圆的周长公式及应用。
18．（2分）合肥市交通管理部门为了解市区道路畅通情况，对长江东路（东西方向）和郎溪路（南北方向）某天不同时段的车流量进行了统计，并制成了如下统计图。
从图中可以看出 16：00～17：00 这一时段，两个路口的车流量相差最多；10：00～11：00这一时段郎溪路的车流量占长江东路的 23 。
【考点】从统计图表中获取信息．
【专题】统计数据的计算与应用；应用意识．
【答案】16：00～17：00；23。
【分析】观察统计图中两条折线的差距，计算两个差距较大的车流量之差即可；用10：00～11：00这一时段郎溪路的车流量除以长江东路的车流量。
【解答】解：380﹣261＝119（辆）
422﹣291＝131（辆）
119＜131
120÷180=23
答：从图中可以看出16：00～17：00这一时段，两个路口的车流量相差最多；10：00～11：00这一时段郎溪路的车流量占长江东路的23。
故答案为：16：00～17：00；23。
【点评】本题考查了折线统计图的认识，关键是根据统计图提供的信息解决实际问题。
19．（2分）把34米长的绳子平均剪成7段，每段是绳长的（ 17 ），每段长（ 328 ）米。
【考点】分数除法应用题；分数的意义和读写．
【专题】分数百分数应用题；应用意识．
【答案】17，328。
【分析】求每段是绳长的几分之几，平均分的是单位“1”；求每段长是多少米，平均分的是绳子的长，都用除法解答。
【解答】解：1÷7=17
34÷7
=34×17
=328（米）
答：每段是绳长的17，每段长328米。
故答案为：17，328。
【点评】本题考查的是分数除法应用题，理解和应用分数除法的意义是解答关键。
20．（2分）光明小学少先队辅导员王老师和章老师带领94名少先队员代表参观纪念馆，需乘车出行。了解到租车公司有以下两种车：大车限乘36人，小车限乘24人。租车后，辅导员和少先队员正好坐满位置。他们租了 2 辆大车， 1 辆小车。
【考点】最优化问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】2；1。
【分析】分析题意，96人参观纪念馆，大车限乘36人，小车限乘24人，要求正好坐满，也就是96人正好全部坐满，然后把96拆分为几个36与几个24的和即可。
【解答】解：94+2＝96（人）
36×2+24×1
＝72+24
＝96（人）
所以他们租了2辆大车，1辆小车。
故答案为：2；1。
【点评】此题应通过分析，得出最佳方案，进而列式计算得出问题结论。
21．（2分）把4米长的绳子平均分成9段，每段绳子长 49 米，每段占绳长的 19 。
A.49，19
B.19，49
C.19，19
D.49，49
【考点】分数的意义和读写．
【专题】分数和百分数；应用意识．
【答案】A。
【分析】用绳子的全长除以平均分的段数，求出每段绳子的长度；再把绳子的全长看作单位“1”，根据平均分的段数、取的段数求出每段占绳长的几分之几。
【解答】解：4÷9=49（米）
1÷9=19
答：每段绳子长49米，每段占绳长的19。
故选：A。
【点评】本题考查分数的认识，理解掌握分数的意义，明确分率与具体数的区别是解题的关键。
22．（2分）饲养场王大爷提了一篮子鸭蛋去卖，第一人买了篮子里鸭蛋总数的一半并且王大爷送了买主半颗鸭蛋；第二个人买了篮子里余下的鸭蛋总数的一半并且王大爷也送了买主半颗鸭蛋；第三个人买了篮子里余下的鸭蛋总数的一半并且王大爷也送了买主半颗鸭蛋；……这样到第四个人刚好把一篮子鸭蛋卖完，那么王大爷原来的一篮子鸭蛋一共有 15 颗。照这样的规律，如果卖给了n个人，那么王大爷原来的一篮子鸭蛋一共有 （2n﹣1） 颗。
【考点】算术中的规律．
【专题】应用意识．
【答案】15；（2n﹣1）。
【分析】设第四个人买之前的鸭蛋数为x颗，可得x=12x+12；求得x后再利用倒推法计算出第三个人、第二个人及第一个人买的鸭蛋颗数，求和即可得出王大爷原来的一篮子鸭蛋一共有多少颗；最后找规律求出卖给了n个人时，王大爷原来的一篮子鸭蛋颗数。
【解答】解：设第四个人买之前的鸭蛋数为x颗。
x=12x+12
x-12x=12x+12-12x
12x÷12=12÷12
x＝1
据此可知，第三个人买了1×2＝2（颗）；第二个人买了2×2＝4（颗）；第一个人买了4×2＝8（颗）
鸭蛋总数为：1+2+4+8＝15（颗）
因为1＝21﹣1，1+2＝22﹣1，1+2+3＝23﹣1……，所以卖给n个人时，王大爷原来的一篮子鸭蛋一共有（2n﹣1）颗。
故答案为：15；（2n﹣1）。
【点评】解答本题的关键是利用倒推法逐步计算出第三人、第二人和第一人买的鸭蛋颗数，再找规律计算出卖给n个人时的鸭蛋颗数。
三．计算题（共2小题）
23．解方程。
【考点】分数方程求解；小数方程求解．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】x=316；x＝2.1；m＝15.5。
【分析】根据等式的性质解方程即可。
【解答】解：x÷58=310
x÷58×58=310×58
x=316
3.2x+2.8x＝12.6
6x＝12.6
6x÷6＝12.6÷6
x＝2.1
25+4m＝87
25+4m﹣25＝87﹣25
4m＝62
4m÷4＝62÷4
m＝15.5
【点评】在解方程时应根据等式的性质，即等式两边同加上、同减去或同除以、同乘上某一个数（0除外），等式的两边仍相等，同时注意等号上下要对齐。
24．
【考点】分数的四则混合运算；一位数乘三位数；两位数乘两位数；两位数除两、三位数；无括号四则混合运算；带括号的四则混合运算；运算定律与简便运算；小数除法；分数乘法；分数除法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】360；6；72；1556；8；100；0.9；9；60；1.5；80；124；13；4；27；5940；1；19；9.96；1530；25.12；18；49；12；54；2；560；19；40；400；250；0；64；834；16；2.2；40；0.32；45；70；12；532；67.5；15。
【分析】根据整数、小数和分数加减乘除法的计算法则以及混合运算的运算顺序计算即可。
【解答】解：
【点评】解答本题关键是熟练掌握分数、小数加减乘除的计算法则。
四．操作题（共1小题）
25．把梯形分成三个面积比是1：2：3的三角形。（小方格边长表示1厘米）
（1）画一个周长是20厘米，长与宽比是3：2的长方形。
（2）在之前长方形中，表示出34×23。
（3）画一个面积是9平方厘米的直角三角形，使直角边的比是2：1。
【考点】比的应用；画指定周长的长方形、正方形；画指定面积的长方形、正方形、三角形；分数乘法．
【专题】比和比例应用题；应用意识．
【答案】（1）；
（2）；
（3）。
【分析】（1）根据C＝2（a+b），即可求出这个长方形的长、宽之和，根据长方形的长宽比，用这个长方形的长、宽之和除以（3+2），求出1份的长度，再用l份的长度乘3，求出这个长方形的长，用l份的长度乘2，求出这个长方形的宽，然后即可画图。
（2）把这个长方形看作“1”，先平均分成4份，取其中的3份涂上绿色，用分数表示34，再把这个长方形的34平均分成3份，取其中的2份涂上黄色，也就是求这个长方形的34的23是多少，进而画图表示即可。
（3）根据三角形面积公式可得：面积是9平方厘米的直角三角形的两条边的积是9×2＝18（厘米），又因为两条直角边的比是2：1，据此可得出两条直角边分别是6厘米和3厘米，据此画图。
【解答】解：（1）20÷2÷（3+2）
＝10÷（3+2）
＝10÷5
＝2（厘米）
2×3＝6（厘米）
2×2＝4（厘米）
作图如下：
（2）作图如下：
（3）作图如下：
【点评】本题考查的是比的应用，理解和应用比的意义是解答关键。
五．应用题（共6小题，满分24分，每小题4分）
26．（4分）只列式，不计算。
学校合唱小组有80人，足球小组的人数是合唱小组的45，绘画小组的人数是足球小组的12，绘画小组有多少人？
【考点】分数乘法应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】80×45×12。
【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，据此先用合唱小组的人数乘45算出足球小组的人数；再用足球小组的人数乘12即可得到绘画小组的人数，据此列出算式。
【解答】解：根据分析可得：
80×45×12
＝64×12
＝32（人）
答：绘画小组有32人。
【点评】本题考查分数除法的应用，求一个数的几分之几是多少用乘法计算。
27．（4分）把一张圆形纸片平均分成若干份，拼成以半径为宽的近似长方形，已知长方形的周长是33.12厘米，这张圆形纸片的面积是多少？
【考点】圆、圆环的面积．
【专题】应用意识．
【答案】50.24平方厘米。
【分析】根据圆面积公式的推导过程可知，把一个圆剪拼成一个近似长方形，这个长方形的周长比圆的周长增加了两条半径的长度，设圆的半径为r厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
【解答】解：设圆的半径为r厘米。
2×3.14×r+2r＝33.12
8.28r＝33.12
r＝4
3.14×42
＝3.14×16
＝50.24（平方厘米）
答：这张圆形纸片的面积是50.24平方厘米。
【点评】此题考查的目的是理解掌握圆面积公式的推导过程及应用，圆的周长公式、圆的面积及应用，关键是求出圆的半径。
28．（4分）星期六早上9：00，小杰和妈妈从家出发步行去博物馆，他们每分钟走58米，9：35到达博物馆，小杰家距离博物馆有多远？
【考点】简单的行程问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】2030米。
【分析】根据经过的时间＝结束的时间﹣开始的时间，用9时35分﹣9时，求出小杰和妈妈从家出发步行去博物馆所用的时间，再用他们每分钟走的路程乘步行时间，即可求出小杰家距离博物馆有多远。
【解答】解：根据分析可得：
9时35分﹣9时＝35（分钟）
58×35＝2030（米）
答：小杰家距离博物馆有2030米。
【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。
29．（4分）四年级一共有279名学生和6名教师参加研学活动，怎样租车最省钱？
大车每辆坐45人，租金1000元；
小车每辆坐30人，租金750元。
【考点】最优化问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】租5辆大车和2辆小车；6500元。
【分析】分别用大车和小车的租金除以可坐的人数，求出每人坐大车和小车的单价，发现大车便宜，因此尽量租大车，并且使空余座位最少，计算得到租5辆大车和2辆小车最省钱，需要的总价＝大车的单价×大车的数量+小车的单价×小车的数量，比较总价的多少，即可得到怎样租车最省钱。
【解答】解：1000÷45＝22（元）……10（元）
750÷30＝25（元）
大车更便宜，因此尽量租大车，并且使空余座位最少。
279+6＝285（名）
方案一：租6辆大车和1辆小车。
285÷45＝6（辆）……15（人）
1000×6+750×1
＝7000+750
＝7750（元）
方案二：租5辆大车和2辆小车。
45×5+30×2
＝225+60
＝285（人）
1000×5+750×2
＝5000+1500
＝6500（元）
方案三：租4辆大车和4辆小车。
45×4+30×4
＝180+120
＝300（人）
300人＞285人
1000×4+750×4
＝4000+3000
＝7000（元）
7750元＞7000元＞6500元
答：租5辆大车和2辆小车最省钱，需要6500元。
【点评】本题考查了优化问题的灵活运用。
30．（4分）如图所示，如果梯形中阴影部分的面积是6cm2，那么空白三角形的面积是多少cm2？
【考点】组合图形的面积．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】14cm2。
【分析】根据三角形的面积公式可得：三角形的高＝三角形的面积×2÷底，代入数据求出阴影三角形的高，也就是空白三角形的高，然后再三角形的面积公式S＝ah÷2进行解答。
【解答】解：6×2÷3
＝12÷3
＝4（cm）
7×4÷2
＝28÷2
＝14（cm2）
答：空白三角形的面积是14cm2。
【点评】考查了三角形的面积公式的灵活运用。
31．（4分）游玩极地海洋公园。根据如表信息，回答下面问题。
（1）小丽下午2时50分到达极地海洋公园，她在极地海洋公园最多可以参观多长时间？
（2）五一期间小华一家去极地海洋公园游玩，买门票一共花了28元。这次游玩小华家可能去了几个大人，几个小孩？（写出2种可能）
【考点】日期和时间的推算；有余数的除法应用题．
【专题】运算能力．
【答案】（1）1时40分；（2）28＝16+12，2张成人票，3张儿票，也可以是28＝8+20，1张成人票，5张儿票。（答案不唯一）
【分析】（1）用下午结束开放时刻减小丽进入时刻就是小丽可以参观的时间．
（2）28＝16+12，2张成人票，3张儿票，也可以是28＝8+20，1张成人票，5张儿票。
【解答】解：（1）2时50分即14时50分
16时30分﹣14时50分＝1时40分
（2）28＝16+12，2张成人票，3张儿票，
也可以是28＝8+20，1张成人票，5张儿票。（答案不唯一）
【点评】本题考查了时间的推算。
考点卡片
1．亿以内数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以内数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以内数的近似数的方法：
省略万位后面的尾数，要看千位上的数，如果千位上的数小于5，就舍去尾数；如果千位上的数等于或大于5，就向前一位进1，再舍去尾数。这种方法叫“四舍五入”法。
2、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、新疆的塔卡拉玛干沙漠是我国最大的沙漠，它的面积大约为320000平方干米。横线上的数字改写成以“万”为单位的数是（ ）。
A、32万
B、320万
C、3200万
答案：A
2、将一个数改写成以“万”为单位的数是413万，那么这个数原来是（ ）。
A、413000
B、4130000
C、41300000
答案：B
3、摩纳哥是一个位于欧洲地中海沿岸的“袖珍国家”，国土面积狭小，却页是世界上人口密度最大的国家，每平方千米大约有14700人，省略万位后面的尾数大约是（ ）万人。
A、1万
B、2万
C、14万
答案：A
2．亿以上数的读写
【知识点归纳】
1、亿以上数的读法：
①先分级，从高位开始读起。先读亿级，再读万级，最后读个级。
②亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“亿”字。万级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面加上一个“万”字。
③每级末尾不管有几个0，都不读。其他数位有一个“0”或连续几个“0”，都只读一个“0”。
2、亿以上数的写法：
①从最高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级。
②哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
【常考题型】
1、填空题。
亿以上数的读法，先从（ ）级读起，再读（ ）级，最后读（ ）级上的数。每级末尾的0都（ ），其它数位有一个或连续几个0都只读（ ）个0。
答案：亿 万 个 不读 一
2、读出下列各数。
2375550000000 12005000050
50600000000 3020056000
答案：二万三千七百五十五亿五千万；一百二十亿零五百万零五十；五百零六亿；三十亿二千零五万六千
3、从个位起，第八位是什么位？第几位是亿位？
答案：千万；九
3．亿以上数的改写与近似
【知识点归纳】
一、数的改写
1、亿以上数的改写方法：把整万的数改写成用“万”作单位的数时，先分级，再去掉个级的4个“0”，然后在后面加上一个“万”字。
2、亿以上数的改写方法：
找到亿位，去掉亿位后面的8个0，换成“亿”字，用“＝”连接。
二、求近似数
1、求亿以上数的近似数的方法：
省略亿位后面的尾数时，要先分级，再看千万位上的数，如果千万位上的数满5，就向前一位进1，然后再舍去尾数，加上一个“亿”字；如果千万位上的数不满5，就直接舍去尾数，再加上一个“亿”字。
【方法总结】
1、注意：改写前后数的大小不变，中间要用“＝”连接。
2、提示：无论是省略万位后面的尾数还是省略亿位后面的尾数，都可以用“四舍五入”法求近似数，要根据尾数部分的最高位上的数来决定是“四舍”还是“五入”，并且“五入”时不要忘记向前一位进1，而且有时还会遇到连续进位的情况。
【常考题型】
1、改写。（4个0换一个“万”字，将整万的数改写成以“万”作单位的数；8个0换一个“亿”字，将整亿的数改写成以“亿”作单位的数。）
3000000＝（ ）万
8230000＝（ ）万
1200000000＝（ ）亿
50700000000＝（ ）亿
答案：300；823；12；507
4．分数的意义和读写
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
5．一位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数（中间有0）乘一位数的笔算：
从个位乘起，用一位数依次去乘三位数中每一位上的数（包括0），当个位乘的的积向十位进位时，将进上来的数写在十位上，如果个位上没有进位，那么十位上就用0占位。
2、三位数（末尾有0）乘一位数的笔算：
乘数末尾有0的，一位数要与它的末尾0前面的数对齐，先乘0前面的数，再看乘数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【方法总结】
一位数与三位数相乘也分了两个层次：
（1）横式计算。通过横式计算说明一位数与三位数相乘的基本算法：可以把三位数因数分拆成几百、几十、和几，分别与另一个因数相乘，再将几个部分积相加。
（2）竖式计算。通过让学生运用已学的知识，将使用竖式计算一位数与两位数相乘问题的方法迁移到计算一位数与三位数相乘，培养学生的迁移能力和探究能力。
【常考题型】
一个微波炉758元，要买3个，总共要花多少钱？
答案：758×3＝2274（元）
一个电饭煲268元，要买2个，总共要花多少钱？
答案：268×2＝536（元）
6．两位数乘两位数
【知识点归纳】
1、两位数乘两位数的笔算方法：
（1）先用第二个乘数个位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数个位对齐；
（2）再用第二个乘数十位上的数去乘第一个乘数，得数的末位和乘数的十位对齐；
（3）然后把两次乘得的积加起来。
【方法总结】
两位数乘两位数在笔算：
1、首先要相同数位对齐，
2、用下面因数的个位数和十位数依次去乘上面因数的个位数和十位数，将所得的积相加。
注意：
验算：交换两个因数的位置。
【常考题型】
1、笔算题。
32×13 27×56 43×58
答案：416；1512；2494
2、84×23的积是（ ）位数，最高位是（ ）位。
答案：四；千
3、32×30的积是32×（ ）的积的10倍。
答案：3
4、两位数乘两位数，积可能是（ ）位数，也可能是（ ）位数。
答案：三；四
7．两位数除两、三位数
【知识点归纳】
1、怎样计算除数是两位数的除法：
①把除数看作和它接近的整十数试商。
②计算时从高位算起，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数。
③除到被除数的第几位，商就写在这一位上。
④注意每次的余数要比除数小。
【方法总结】
1、试商时，用四舍五入法将除数看作最接近的整十数来试商；
若除数看大，则初商可能偏小；
若除数看小，则初商可能偏大。
2、余数要比除数小：最小的余数是1；最大的余数＝除数﹣1。
【常考题型】
1、765÷23的商是（ ）位数，商的最高位是（ ）位。
答案：两；十
2、□÷☆＝5……21，☆最小是（ ），这时的□是（ ）。
答案：22；131
3、□÷16＝9……△，△最大是（ ），这时□是（ ）。
答案：15；159
4、56÷5＝11……1，其中56是除法算式中的（ ），5是（ ），11是（ ），1是（ ）。
答案：被除数；除数；商；余数
8．无括号四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
【常考题型】
1、解决问题。
（1）学校合唱团有男生37人，女生人数比男生的3倍多5人。学校合唱团一共有多少人？
（2）学校合唱团有男生37人，比女生的3倍少5人。学校合唱团一共有多少人？
答案：（1）37×3+5+37＝153（人）
答：学校合唱团一共有153人。
（2）37+5＝42（人）
42÷3＝14（人）
14+37＝51（人）
答：学校合唱团一共有51人。
9．带括号的四则混合运算
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1.含有小括号的混合运算的运算顺序：
要先算小括号里面的，再算小括号外面的；小括号里面的，要先算乘、除法，再算加、减法。
2.含有中括号的三步混合运算的运算顺序：
在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。
【常考题型】
填一填。
计算（230+48）÷（200﹣61）时，应先算（ ）法和（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
计算888÷[200﹣（40+50）]时，应先算（ ）法，再算（ ）法，最后算（ ）法。
答案：加；减；除
先说一说下面各题的运算顺序，再计算。
360÷（70﹣4×16）158﹣[（27+54）÷9]
答案：乘法﹣减法﹣除法，60；
加法﹣除法﹣减法，149
10．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
11．小数除法
【知识点归纳】
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点：
①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商．
②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算．
【命题方向】
常考题型：
例1：0.47÷0.4，商是1.1，余数是（ ）
A、3 B、0.3 C、0.03
分析：根据有余数的除法可知，商×除数+余数＝被除数，那么余数＝被除数﹣商×除数，代入数据进行解答即可．
解：根据题意可得：
余数是：0.47﹣1.1×0.4＝0.47﹣0.44＝0.03．
故选：C．
点评：被除数＝商×除数+余数，同样适用于小数的除法．
例2：2.5÷100与2.5×0.01的计算结果比较．（ ）
A、商较大 B、积较大 C、一样大
分析：根据小数乘除法的计算方法，分别求出商与积，再根据小数大小的比较方法进行解答即可．
解：2.5÷100＝0.025，2.5×0.01＝0.025，
所以，2.5÷100＝2.5×0.01．
故选：C．
点评：求出各自的商与积，再根据题意解答．
12．分数乘法
【知识点归纳】
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．
乘积是1的两个数叫做互为倒数．
分数乘法法则：
（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．
（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．
（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．
（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的15等于乙数的14，那么甲数（ ）乙数．（甲数乙数不为0）
A、大于 B、小于 C、等于
分析：甲数的15等于乙数的14．首先把甲数看作‘单位1’乙数是甲数的45．
解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的45．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较．
例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小． × ．（）
分析：本题的说法是错误的：（1）当这个数为零时，积总为零．（2）假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．真分数＜1，只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
故答案为：×．
点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．
13．分数除法
【知识点归纳】
分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
分数除法法则：
（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．
（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的23是18，乙数的34是18，甲数（ ）乙数．
分析：甲数的23是18用除法求出甲数，乙数的34是18用除法求出乙数；然后比较大小．
解：18÷23，
＝18×32，
＝27；
18÷34，
＝18×43，
＝24；
27＞24；
所以甲数＞乙数；
故选：A．
点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．
例2：一个数（0除外）除以16，这个数就（ ）
A、扩大6倍 B、增加6倍 C、缩小6倍
分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．
解：设这个数为a，则：
a÷16=6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．
故选：A．
点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．
14．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。
2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。
【方法总结】
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
【常考题型】
妈妈买来一袋大米，吃了，还剩35千克，这袋大米重多少千克？
答案：35÷（1﹣）＝50（千克）
水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的，上午卖出香蕉多少千克？
答案：48×＝27（千克）
15．日期和时间的推算
【命题方向】
常考题型：
例1：小明妈妈晚上10时睡觉，第二天早晨6时起床．小明妈妈睡了（ ）小时．
A、4 B、8 C、9 D、10
分析：把这一段时间分成2段：（1）晚10时到晚上0时，求出一共过了几小时；（2）0时到6时，求出一共过了几小时；把这两段时间加起来就是她睡眠的时间．
解：12时﹣10时＝2小时，
2小时+6小时＝8小时，
答：小明妈妈睡了8小时．
故选：B．
点评：这类时间推算的题目先把这一时间进行合理的分段，再算每一段的时间，进而求出时间的总和．
例2：今天是星期四，那么再过40天是（ ）
A、星期一 B、星期二 C、星期三
分析：用40除以7，求出40天里面有几周，还余几天，再根据余数推算．
解：40÷7＝5（周）…5（天）；
余数是5，从星期四再过5天就是星期二．
故选：B．
点评：解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．
16．小数方程求解
【知识点归纳】
一般把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型：
解方程。
答案：x＝10；x＝20；x＝1/2；x＝5。
17．分数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型
解方程。
①x−4/5x+6＝16
②64x＝2.4/0.9
答案：①x＝50；②x＝24。
18．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多14，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多14，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+14），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+14）：1，
=54：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
19．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
20．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为34；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为38；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷34=43，乙用的时间为38÷1=38；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为34，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为38，
甲用的时间为：1÷34=43，
乙用的时间为：38÷1=38，
甲乙用的时间比：43：38=（43×24）：（38×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
21．算术中的规律
【知识点归纳】
在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果．
例如：1×1＝1；
11×11＝121；
111×111＝12321；
1111×1111＝1234321；
通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出．
①一个数乘11，101的规律
一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算．
如：123×11＝1353
一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算．
如：58734×101＝5932134
②一个数乘5，15，25，125的规律
一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2．
如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140
这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10．
如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法．
一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上．
如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960．
这种情况可以概括为“添0补半”
一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000．
如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000．
【命题方向】
常考题型：
例1：4÷11的商用循环小数表示，则小数点后面第20位数字是（ ）
A、0 B、3 C、7 D、6
分析：把4÷11的商用循环小数表示出来，看看循环节有几位小数，然后用20除以循环节的位数即可判断．
解：4÷11＝0.3⋅6⋅，循环节是36两个数字；20÷2＝10，所以20位上的数是6；
故选：D．
点评：此题考查学生循环节的概念，以及分析判断能力．
例2：按规律计算．
3+6+12＝12×2﹣3＝21
3+6+12+24＝24×2﹣3＝45
3+6+12+24+48＝48×2﹣3＝93
3+6+12+24+…+192＝ 192×2﹣3＝381
a+2a+4a+8a+16a+…+1024a＝ 2047a ．
分析：由3+6+12＝12×2﹣3＝21，3+6+12+24＝24×2﹣3＝45，3+6+12+24+48＝48×2﹣3＝93可知：结果都是算式中的最后一个数乘以2再减去第一个数所得，由此得出结论．
解：（1）3+6+12+24+…+192＝192×2﹣3＝381；
（2）a+2a+4a+8a+16a+…+1024a＝1024a×2﹣a＝2048a﹣a＝2047a．
故答案为：381，2047a．
点评：此题在于考查学生总结规律的能力．
22．分数乘法应用题
【知识点归纳】
是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题．
特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量
解题关键：准确判断单位“1”的量，找准要求问题所对应的分率，然后，根据一个数乘分数的意义正确列式．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根钢材长4米，用去14后，又用去14米，还剩（ ）米．
A、72 B、114 C、2
分析：根据题意，用去14后，把4米看作单位“1”，剩下的占4米的（1-14），根据一个数乘分数的意义，用乘法解答，又用去14米，14米是一个具体长度，根据求剩余问题直接用减法解答．
解：4×（1-14）-14，
＝4×34-14，
＝3-14，
＝234（米）；
答：还剩234米．
故选：B．
点评：此题解答关键是理解14和14米的意义，14是分率，14米是一个具体数量．
例2：某体操队的人数增加了14后，又减了14，现在的人数和原来相比（ ）
A、增加了 B、减少了 C、不变 D、不能确定
分析：此题没有具体数量，就把体操队的原有人数看做“1”，当做具体数量1，第一个14是把体操队的原有人数看做单位“1”，第二个14是把体操队的增加人数后的人数看做单位“1”，由此分清单位“1”，列式解答，算出的数据比“1”大，就比原来人数多；反之，就比原来人数和少．
解：设操队的原有人数看做“1”，
1×（1+14）×（1-14），
＝1×54×34，
=1516，
因为1516＜1，所以现在的人数比原来的人数减少了．
故选：B．
点评：解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，再把数据设出，问题容易解决．
23．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，5-35表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：5-35表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮16，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+16） B、120÷（1+16） C、120×（1-16） D、120÷（1-16）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮16”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1-16），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1-16）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
24．分数四则复合应用题
【命题方向】
常考题型：
例：一瓶油45千克，先倒出它的15，然后再加15千克．现在瓶内的油比原来（ ）
A、增加 B、减少 C、不变
分析：一瓶油45千克，先倒出它的15，还剩45×（1-15）=1625（千克），再加15千克，这时油重（1625+15）千克，计算即可．
解：现在油重：
45×（1-15）+15，
=45×45+15，
=1625+525，
=2125（千克）；
原来油重：
45=2025（千克）；
因为2125＞2025．
所以增多了．
答：现在瓶内的油比原来增多．
故选：A．
点评：解答此题应分清两个“15”的区别，第一个“15”表示分率，第二个“15”表示数量，在列式时不要混淆．
25．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：出席人数总人数×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：10025+100×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
26．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
27．有余数的除法应用题
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：一根绳子长17米，剪8米做一根长跳绳，剩下的每2米做一根短跳绳，最多做几条短跳绳？
分析：先用17﹣8求出还剩下多少米，然后根据除法的意义，即可求出结果．
解：（17﹣8）÷2，
＝9÷2，
＝4（条）…1米；
答：最多做4条短跳绳．
点评：解答此题要认真分析题意，联系生活实际，剩了1米，不能再做1条绳．
例2：3位老师带着62位学生去郊游．每顶帐篷最多只能住6人．至少要搭多少顶帐篷？
分析：先用“62+3”求出总人数，求至少要搭多少顶帐篷，即求65里面含有几个6，根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
解：（62+3）÷6＝10（顶）…5（人），
至少需：10+1＝11（顶）；
答：至少要搭11顶帐篷．
点评：解答此题用的知识点：根据求一个数里面含有几个另一个数，用除法解答．
28．公因数和公倍数应用题
【知识点归纳】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：根据题意，可计算出18与12的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
解：18＝2×3×3，
12＝2×2×3，
所以最大公因数是2×3＝6，
所以每段最长6米，
18÷6+12÷6
＝3+2
＝5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6米；一共可以截成5段．
点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可．
例2：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果4月25日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
分析：由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，可知：他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数的数，最小公倍数是72，72天比要比两个月的时间要多，因此再求出4月里还有几天，5月和6月的天数，最后用72减去4月里剩下的天数，再减去5月和6月的天数，得数是几就是7月几日，据此解答．
解：6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，
所以6、8、9的最小公倍数：2×3×2×2×3＝72；
4月和6月是小月有30天，5月是大月有31天，
所以4月里还有：30﹣25＝5，5月里有31天，6月里有30天，
还剩下：72﹣5﹣31﹣30＝6（天）；
即下一次都到图书馆是7月6日；
答：下一次都到图书馆是7月6日．
点评：解答本题的关键是：理解他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数，再根据年月日的知识，找出4、5、6月里的天数．
29．画指定周长的长方形、正方形
【知识点归纳】
在方格中数小正方体的棱边数目，正方形是固定的，长方形的长和宽是不定的，只要周长等于指定值即可．
【命题方向】
常考题型：
例：在下面的方格纸上画出周长是16厘米的长方形和正方形．
分析：画周长是16厘米的正方形，它的边长就是16÷4＝4厘米；
画周长是16厘米的长方形，那么长与宽的和就是8厘米，8＝5+3，所以长方形的长可以是5厘米，宽就是3厘米；（答案不唯一）；据此画出即可．
解：16÷4＝4（厘米）；
正方形的边长是4厘米．
16÷2＝8（厘米）；
8＝5+3，长方形的长是5厘米宽是3厘米；（答案不唯一）；
图如下：
点评：解决本题先根据周长分别求出长方形的长和宽，以及正方形的边长．
30．画指定面积的长方形、正方形、三角形
【知识点归纳】
在方格中最简单的就是数格子个数，占的格子一样多就面积一样多．正方形的形状是固定的，而长方形和三角形只需要面积相等就可以了．
【命题方向】
常考题型：
例：在如图中分别画出和长方形面积相等的平行四边形、三角形、梯形各一个．
分析：根据题意，图中阴影部分为长方形，长方形的面积为6平方厘米，根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2确定各个图形的边长或底、高，然后再进行作图即可得到答案．
解：面积为6的平行四边形的底为3厘米，高为2厘米，
三角形的底为6厘米，高为2厘米，
梯形的下底为4厘米，上底为2厘米，高为2厘米，
作图如下：
点评：解答此题的关键是熟练掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式，然后再确定各个图形的边长或底、高，最后进行作图即可．
31．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）
【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（ ）
A、2倍 B、4倍 C、14 D、12
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．
例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．
32．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）
分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个14圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去14圆的面积再加上14圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷2-14×3.14×52]+（14×3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
33．长方体、正方体表面积与体积计算的应用
【知识点归纳】
（1）长方体：
底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体．
长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点．
长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和．
如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh）
长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高．
如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh
（2）正方体：
长宽高都相等的长方体，叫做正方体．
正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体．
正方体的表面积：六个面积之和．
如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2
正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长．
如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3
【命题方向】
常考题型：
例1：棱长是4厘米的正方体的表面积是 96 平方厘米，体积是 64 立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体 8 个．
分析：①根据正方体的表面积和体积公式即可求得其表面积和体积②抓住正方题分割前后的体积不变，即可得出小正方体的个数．
解：4×4×6＝96（平方厘米），
4×4×4＝64（立方厘米），
2×2×2＝8（立方厘米），
64÷8＝8（个）；
答：棱长是4厘米的正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米，可以截成棱长是2厘米的正方体8个．
故答案为：96；64；8．
点评：此题考查了正方体表面积和体积公式的灵活应用，以及正方体分割的方法．
例2：学校要粉刷新教室．已知教室的长是8米，宽6米，高是3米，扣除门窗的面积11.4平方米，如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少元？
分析：由题意可知：需要粉刷的面积为教室四面墙壁和天花板的面积，利用长方体的表面积减去地面的面积和门窗面积即可；需要粉刷的面积乘每平方米花的钱数，就是粉刷这个教室需要的花费．
解：需要粉刷的面积：
（8×6+6×3+3×8）×2﹣8×6﹣11.4，
＝（48+18+24）×2﹣48﹣11.4，
＝90×2﹣59.4，
＝180﹣59.4，
＝120.6（平方米）；
需要的花费：120.6×4＝482.4（元）；
答：粉刷这个教室需要花费482.4元．
点评：此题主要考查长方体的表面积的计算方法的实际应用，关键是弄清楚：需要粉刷的面积由哪几部分组成．
34．平移
【知识点归纳】
1．平移：把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫做平移．
2．平移后图形的位置改变，形状、大小不变．
【命题方向】
常考题型：
例：电梯上升是（ ）现象．
A、旋转 B、平移 C、翻折 D、对称
分析：平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动．电梯的升降是上下位置的平行移动所以是平移，据此解答判断．
解：电梯的升降是上下位置的平行移动，
所以电梯的升降是平移现象；
故选：B．
点评：本题主要考查平移的意义，在实际当中的运用．
35．旋转
【知识点归纳】
1．定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
2．图形旋转性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3．把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．（旋转角大于0°小于360°）
【命题方向】
常考题型：
例：先观察图，再填空．
（1）图1绕点“O”逆时针旋转90°到达图 2 的位置；
（2）图1绕点“O”逆时针旋转180°到达图 3 的位置；
（3）图1绕点“O”顺时针旋转 90 °到达图4的位置；
（4）图2绕点“O”顺时针旋转 180 °到达图4的位置；
（5）图2绕点“O”顺时针旋转90°到达图 1 的位置；
（6）图4绕点“O”逆时针旋转90°到达图 1 的位置．
分析：根据旋转的定义：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转；把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，旋转前后图形的大小和形状没有改变；进行解答即可．
解：（1）图1绕点“O”逆时针旋转90°到达图2的位置；
（2）图1绕点“O”逆时针旋转180°到达图3的位置；
（3）图1绕点“O”顺时针旋转（90°）到达图4的位置；
（4）图2绕点“O”顺时针旋转（180°）到达图4的位置；
（5）图2绕点“O”顺时针旋转90°到达图1的位置；
（6）图4绕点“O”逆时针旋转90°到达图1的位置；
故答案为：2，3，90，180，1，1．
点评：解答此题的关键是：应明确旋转的意义，并能灵活运用其意义进行解决问题．
36．用角度表示方向
【知识点归纳】
根据方向和距离确定物体位置的方法：
①确定观测点。
②在观测点上建立方向标。
③用量角器测量出被测物体方向的角度，标清楚小弧线和度数。
④结合图例计算出图上距离。
⑤补全整个图中的细节。
【命题方向】
常考题型：
1、（1）街心花园到学校的实际距离是100m，图上距离是4cm，那么这个示意图的比例尺是______。
（2）若街心花园到健身中心的图上距离是7cm，则实际距离是______。
（3）电影院在街心花园南偏西60°方向，距离街心花园150m的地方，请在图中标出电影院的位置，并标出图上距离和角度。
解：（1）街心花园到学校的实际距离是100m，图上距离是4cm，那么图上距离1cm表示实际距离
100÷4＝25（m）
25m＝2500cm
答：这个示意图的比例尺是1：2500。
（2）7×2500＝17500（厘米）
17500cm＝175m
答：实际距离是175m。
（3）150m＝15000cm
15000÷2500＝6（cm）
故答案为：1：2500；175。
2、小冬家在学校北偏西30°方向，那么学校在小冬家的（ ）方向。
A．北偏西30°B．南偏东30°C．西偏北60°D．东偏南30°
解：小冬家在学校北偏西30°方向，那么学校在小冬家的南偏东30°方向。
故选：B。
37．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
38．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程． 小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．
【命题方向】
常考题型：
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间＝路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；
（3）根据速度×时间＝路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6＝21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行21千米．
（2）21×4＝84（千米）
答：两地之间的路程是84千米．
（3）15×4＝60（千米）
答：相遇时，甲行了60千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
39．植树问题
【知识点归纳】
为使其更直观，用图示法来说明．树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题．
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形．
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数＝间隔数+1．
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝间隔数．
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数＝间隔数﹣1．
4、如果植树路线的两边与两端都植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，再乘二，即：棵树＝段数+1再乘二．
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数＝间隔数．
三、在正方形线路上植树，如果每个顶点都要植树．则棵数＝（每边的棵数﹣1）×边数．
1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
（1）如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：
株数＝段数+1＝全长÷株距+1
全长＝株距×（株数﹣1）
株距＝全长÷（株数﹣1）
（2）如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么：
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数．
【命题方向】
经典题型：
例1：杨老师从一楼办公室到教室上课，每走一层楼有24级台阶，一共走了72级台阶，杨老师到 4 楼教室上课？
分析：把楼层与楼层之间的24个台阶看做1个间隔；先求得一共走过了几个间隔：72÷24＝3，一楼没有台阶，所以杨老师走到了1+3＝4楼．
解：72÷24+1
＝3+1
＝4（楼）
答：杨老师去4楼上课．
故答案为：4．
点评：因为1楼没有台阶，所以楼层数＝1+间隔数．
例2：有48辆彩车排成一列．每辆彩车长4米，彩车之间相隔6米．这列彩车共长多少米？
分析：根据题意，可以求出车与车的间隔数是48﹣1＝47（个），那么所有的彩车之间的距离和是：47×6＝282（米），因为每辆彩车长4米，所有的车长度和是：4×48＝192（米），把这两个数加起来就是这列彩车的长度．
解：车与车的间隔数是：48﹣1＝47（个），
彩车之间的距离和是：47×6＝282（米），
所有的车长度和是：4×48＝192（米），
这列彩车共长：282+192＝474（米）．
答：这列彩车共长474米．
点评：根据题意，按照植树问题求出彩车的长，因为每辆彩车还有车长，还要加上所有彩车的车身长，才是这列彩车的总长．
40．最优化问题
【知识点归纳】
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．
【命题方向】
常考题型：
例1：星期日，红红想帮奶奶做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服30分，扫地擦地15分，洗菜8分，经过合理安排，做完这些事情至少要（ ）分．
A、45 B、38 C、30
分析：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，据此即可解答问题．
解：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，
所以最小需要30分钟即可完成．
故选：C．
点评：较大此类问题要奔着各项工作不相互冲突，又能节约时间的思想设计工作程序．
经典题型：
例2：汽水买5送1，某班30名同学秋游路上想买水喝，只需要买（ ）瓶汽水．
A、30 B、25 C、28 D、24
分析：根据“买5送1”可知买5瓶实际得到6瓶，30名同学可以买（30÷6）5个5瓶，送1×5＝5瓶，所以只买：30﹣5＝25瓶，据此解答．
解：30﹣1×[30÷（5+1）]，
＝30﹣5，
＝25（瓶）；
答：只需要买25汽水．
故选：B．
点评：本题关键是求出买30瓶能送几瓶汽水．

人数/运动/年级
足球
篮球
羽毛球
乒乓球
三年级
26
20
18
8
四年级
19
15
9
12
x÷58=310
3.2x+2.8x＝12.6
25+4m＝87
420﹣60
2.75+3.25
24÷13
17+18
64×18
12.5×8
0.45×2
5.27+3.73
15÷14
2.4﹣0.9
96÷1.2
536×310
715-215
12.56÷3.14
45×35
98-35-25
（14-15）×20
38÷2
10﹣0.04
306×5
3.14×8
516-316
42÷67
825×516×5
180×30%
3.2÷1.6
28×20
950÷50
8÷0.2
148+252
50÷20%
1﹣0.1×10
400×16%
635+199
59×310
6.75﹣（1.8+2.75）
60÷1.5
0.8×0.4
45×59+49×45
2.5×70×0.4
49×27
58÷4
0.675×100
65-15÷15
开放时间：8：30～16：30
票价：成人票（每张）8元
儿童票（每张）4元
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
B
B
D
D
B
C
C
人数/运动/年级
足球
篮球
羽毛球
乒乓球
三年级
26
20
18
8
四年级
19
15
9
12
x÷58=310
3.2x+2.8x＝12.6
25+4m＝87
420﹣60
2.75+3.25
24÷13
17+18
64×18
12.5×8
0.45×2
5.27+3.73
15÷14
2.4﹣0.9
96÷1.2
536×310
715-215
12.56÷3.14
45×35
98-35-25
（14-15）×20
38÷2
10﹣0.04
306×5
3.14×8
516-316
42÷67
825×516×5
180×30%
3.2÷1.6
28×20
950÷50
8÷0.2
148+252
50÷20%
1﹣0.1×10
400×16%
635+199
59×310
6.75﹣（1.8+2.75）
60÷1.5
0.8×0.4
45×59+49×45
2.5×70×0.4
49×27
58÷4
0.675×100
65-15÷15
420﹣60＝360
2.75+3.25＝6
24÷13=72
17+18=1556
64×18=8
12.5×8＝100
0.45×2＝0.9
5.27+3.73＝9
15÷14=60
2.4﹣0.9＝1.5
96÷1.2＝80
536×310=124
715-215=13
12.56÷3.14＝4
45×35=27
98÷35-25=5940
(14-15)×20=1
38÷2＝19
10﹣0.04＝9.96
306×5＝1530
3.14×8＝25.12
516-316=18
42÷67=49
825×516×5=12
180×30%＝54
3.2÷1.6＝2
28×20＝560
950÷50＝19
8÷0.2＝40
148+252＝400
50÷20%＝250
1﹣0.1×10＝0
400×16%＝64
635+199＝834
59×310=16
6.75﹣（1.8+2.75）＝2.2
60÷1.5＝40
0.8×0.4＝0.32
45×59+49×45=45
2.5×70×0.4＝70
49×27=12
58÷4=532
0.675×100＝67.5
65-15÷15=15
开放时间：8：30～16：30
票价：成人票（每张）8元
儿童票（每张）4元
5x×0.3＝15
3.6x+1.2x＝96
x+2/3＝7/6
1.3x﹣0.8×4＝3.3