2025-2026学年上学期重庆小学数学五年级期末典型卷3

这是一份2025-2026学年上学期重庆小学数学五年级期末典型卷3，共58页。试卷主要包含了种不同的穿法等内容，欢迎下载使用。
1．（1分）在笔算3.5×2.6的过程中（如图），下面的知识点用到了（ ）
①小数的性质
③积的变化规律
②转化的策略
④乘法分配律
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
2．（1分）老师上课时用如图证实运算定律，老师要证实的定律是（ ）
A．加法交换律B．乘法交换律
C．乘法结合律D．乘法分配律
3．（1分）下列英文字母中，是轴对称图形的是（ ）
A．SB．HC．P
4．（1分）将一个长5cm、宽3cm的长方形绕长边的中点沿逆时针方向旋转90°，得到的图形的长是（ ）
A．5cmB．3cmC．10cm
5．（1分）9.96÷0.7的商是14，余数是（ ）
A．1.6B．16C．0.16D．0.016
6．（1分）7×(47+14)×4=7×47×4+7×14×4，这里运用了（ ）
A．乘法交换律B．乘法结合律
C．乘法分配律
7．（1分）一个物体从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，这个物体不可能是（ ）
A．B．C．
8．（1分）比较如图平行线间的三个图形，面积最大的是（ ）
A．平行四边形B．梯形
C．三角形
9．（1分）张老师有3件衬衫、4条裤子，用它们一共可以搭配（ ）种不同的穿法。
A．7B．10C．12D．2
10．（1分）一包饼干吃了34后，剩下的是吃了的（ ）
A．12B．13C．14D．23
二．填空题（共10小题，满分20分）
11．（3分）计算4.9÷（8.27﹣3.37）时，应先算 法再算 法计算结果是 。
12．（1分）小马虎在计算一个数乘0.45时，错算成除以0.45，结果得2.4，这道题正确的结果是 。
13．（2分）用“四舍五入”法取近似值。
0.745（保留一位小数）≈
0.6⋅5⋅（保留两位小数）≈
14．（4分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
1.04×3.57 3.57×0.14
5.24 5.24÷0.7
3.9×0.96 3.9
3.2÷0.01 3.2×0.01
15．（2分）如图量角器上的角是 °，这是一个 角。
16．（1分）如图：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒摆n个六边形需要 根小棒。
17．（2分）王老师想买6本一套的《世界未解之谜》，每套原价76.4元。王老师正好带着6套书的钱去书店买书时，恰巧遇上书店搞促销活动，每套书只要67.2元。王老师用剩下的钱正好买了4支钢笔。
（1）（76.4﹣67.2）×6解决的数学问题是 。
（2）一支钢笔多少钱？列式是
18．（1分）一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果三角形的面积是36平方米，那么平行四边形的面积是 平方米。
19．（2分）
20．（2分）一个盒子里全是红球，刘华从盒子里任意摸出一个球， 摸到红球， 摸到蓝球。（填“一定”“可能”或“不可能”）
三．计算题（共4小题，满分38分）
21．（8分）列竖式计算，带★的要用乘法验算。
36﹣8.09＝
6.05×24＝
★82.8÷18＝
22．（6分）写出下面得数。
23．（18分）脱式计算。（能简算的要简算）
4.86×9.6+4.86×0.4
3.78+2.2÷5
6.21÷1.25÷0.8
8.64÷（23.6﹣18.2）
4×0.8×12.5×2.5
3.6×201
24．（6分）看图计算如图图形的面积。
（1）
（2）
四．操作题（共2小题，满分9分）
25．（3分）在方格纸上画一个面积为20cm2的直角梯形。（每个小方格的面积为1cm2）
26．（6分）按要求画图。
（1）画出左图的另一半，使它成为一个轴对称图形。
（2）将右图绕O点顺时针旋转90°，再向左平移3格。
五．应用题（共5小题，满分18分）
27．（2分）AI工程师对研发成功后的“智能垃圾分类机器人”进行分拣效率测试，分两个阶段记录数据：
上午阶段：在1号垃圾站设置2台机器人，共分拣可回收物170件；
下午阶段：在2号垃圾站设置3台机器人，分别分拣厨余垃圾105件、有害垃圾74件、其他垃圾86件。
此次测试中，参与分拣的垃圾分类机器人平均每台分拣多少件垃圾？
28．（4分）乌牛早茶比西湖龙井、洞庭碧螺春早上市一个月左右，生产时间在2月底至4月中旬50多天，雨水开采，谷雨结束。制作1吨特级成品乌牛早茶需采得黄金芽4400万个，要制作10千克特级成品乌牛早茶，需采得黄金芽多少万个？
29．（4分）妈妈的电子钱包里面有60元，去超市买了一盏台灯和一个垃圾桶，用电子钱包付款后，电子钱包里面还剩下多少钱？
30．（4分）一个花园的一部分是由一个等腰直角三角形和一个长方形组成。等腰直角三角形的腰长为11米，长方形的长为12米，宽为10米。如果每平方米种花12株，这个区域一共可以种多少株花？
31．（4分）如图是妈妈去超市购买花生油和陈醋的购物小票，请你帮忙算一下妈妈一共花了多少钱？
六．解答题（共3小题，满分20分）
32．（10分）数形结合是一种重要的数学思想，用它可以帮助我们解决很多数学问题。
计算12+14+18+116+132+164+1128．虽然可以通分后再计算，但通分太麻烦了，可以先从比较简单的数开始，寻找计算中的规律。
（1）先试着计算12+14+18，可以画图帮助理解，用一个大正方形表示“1”，这个算式可以用右图表示。请在图上填上合适的数。
思考：如图1所示，阴影部分的面积可以用一个数 表示，那么空白部分的面积之和可以表示为：1﹣ ＝ 。
（2）再试着计算12+14+18+116，从图2中可知，这几个数相加的和也可以表示为1﹣ ＝ 。
（3）不画图，计算下面的题目。
12+14+18+116+132=
12+14+18+116+132+164+1128=
33．（5分）小明和小星收集书签，小明的书签数量是小星的3倍，如果小明给小星12个，两人的书签数量就同样多。原来小明有多少个书签？（先在线段图上表示出条件和问题，再解答）
34．（5分）把1根50厘米长的铁丝和1根40厘米长的铁丝绑成一根长铁丝，中间重叠部分长15厘米，绑成的铁丝长多少厘米？
2025-2026学年上学期重庆小学数学五年级期末模拟卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分10分，每小题1分）
1．（1分）在笔算3.5×2.6的过程中（如图），下面的知识点用到了（ ）
①小数的性质
③积的变化规律
②转化的策略
④乘法分配律
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【考点】小数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】D
【分析】在笔算3.5×2.6的过程中，把小数乘法转化乘整数乘法，这是利用了转化的策略；两个乘数都扩大到原来的10倍，则积扩大到原来的100倍，这是应用了积的变化规律；在计算整数乘法算式中，利用了乘法分配律；乘积末尾的0去掉，小数的大小不变，这是利用了小数的性质。
【解答】解：在笔算3.5×2.6的过程中（如图），下面的知识点用到了①②③④。
故选：D。
【点评】本题解题的关键是理解计算小数乘法时所应用的相关知识点。
2．（1分）老师上课时用如图证实运算定律，老师要证实的定律是（ ）
A．加法交换律B．乘法交换律
C．乘法结合律D．乘法分配律
【考点】运算定律与简便运算．
【专题】运算定律及简算；运算能力．
【答案】D
【分析】乘法分配律是：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把所得的积相加；反之依然成立。据此解答。
【解答】解：3×6+4×3＝（6+4）×3＝10×3＝30
这里证实的是乘法分配律的逆运算。
故选：D。
【点评】本题考查乘法分配律的认识。关键是理解乘法分配律的意义和它的得出过程。
3．（1分）下列英文字母中，是轴对称图形的是（ ）
A．SB．HC．P
【考点】轴对称图形的辨识．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴；依次进行判断即可。
【解答】解：根据轴对称图形的意义可知：H都是轴对称图形，而S、p不是轴对称图形。
故选：B。
【点评】此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合。
4．（1分）将一个长5cm、宽3cm的长方形绕长边的中点沿逆时针方向旋转90°，得到的图形的长是（ ）
A．5cmB．3cmC．10cm
【考点】旋转．
【专题】几何直观．
【答案】A
【分析】根据图形旋转知识，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，所以将一个长5cm、宽3cm的长方形绕长边的中点沿逆时针方向旋转90°，得到的图形的长是5厘米，据此结合题意分析解答即可。
【解答】解：将一个长5cm、宽3cm的长方形绕长边的中点沿逆时针方向旋转90°，长方形的形状和大小不变，得到的图形的长是5厘米。
故选：A。
【点评】本题考查了图形的旋转知识，结合题意分析解答即可。
5．（1分）9.96÷0.7的商是14，余数是（ ）
A．1.6B．16C．0.16D．0.016
【考点】有余数的除法；小数除法．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】C
【分析】在有余数的除法中，商×除数+余数＝被除数，由此可得：余数＝被除数﹣商×除数，据此解答即可。
【解答】解：9.96﹣14×0.7
＝9.96﹣9.8
＝0.16
答：余数是0.16。
故选：C。
【点评】此题主要考查了小数除法问题的应用，解答此题的关键是要弄清楚：商×除数+余数＝被除数，余数＝被除数﹣商×除数。
6．（1分）7×(47+14)×4=7×47×4+7×14×4，这里运用了（ ）
A．乘法交换律B．乘法结合律
C．乘法分配律
【考点】运算定律与简便运算．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】乘法分配律：两个数的和，乘一个数，可以把它们与这个数分别相乘，再相加，结果不变，即：a×（b+c）＝a×b+a×c；由此判断。
【解答】解：7×(47+14)×4=7×47×4+7×14×4，这里运用了乘法分配律。
故选：C。
【点评】乘法分配律是最常用的简便运算的方法，要熟练掌握，灵活运用。
7．（1分）一个物体从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，这个物体不可能是（ ）
A．B．C．
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】空间观念；推理能力．
【答案】A
【分析】分别从前面和左面观察所给几何体，根据看到的形状选择。
【解答】解：从前面看到的图形是，从左面看到的图形是；
从前面看到的图形是，从左面看到的图形是；
从前面看到的图形是，从左面看到的图形是。
所以从前面看到的图形是，从左面看到的图形是，这个物体不可能是。
故选：A。
【点评】本题是考查从不同方向观察物体和几何体，关键是培养学生的观察能力。
8．（1分）比较如图平行线间的三个图形，面积最大的是（ ）
A．平行四边形B．梯形
C．三角形
【考点】梯形的面积；三角形的周长和面积；平行四边形的面积．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】B
【分析】设它们的高为h，再根据平行四边形、梯形、三角形的面积计算公式进行计算，求出它们的面积，再比较即可得出结论。
【解答】解：设它们的高为h，
平行四边形的面积：3×h＝3h；
梯形的面积：（2.5+4）×h÷2
＝6.5×h÷2
＝6.5h÷2
＝3.25h
三角形的面积：4×h÷2
＝4h÷2
＝2h
3.25h＞3h＞2h，所以梯形的面积最大。
故选：B。
【点评】此题考查平行四边形、梯形、三角形的面积计算公式的运用。
9．（1分）张老师有3件衬衫、4条裤子，用它们一共可以搭配（ ）种不同的穿法。
A．7B．10C．12D．2
【考点】排列组合；乘法原理．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】C
【分析】从3件衬衫中选一件有3种选法，从4条裤子中选一条有4种选法，然后根据乘法原理解答即可。
【解答】解：3×4＝12（种）
答：用它们一共可以搭配12种不同的穿法。
故选：C。
【点评】本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×……×mn种不同的方法。
10．（1分）一包饼干吃了34后，剩下的是吃了的（ ）
A．12B．13C．14D．23
【考点】分数加减法应用题．
【专题】应用意识．
【答案】B
【分析】一包饼干吃了34后，剩下的是1-34=14，求剩下的是吃了的几分之几，就用剩下的14除以吃了的34即可解答。
【解答】解：1-34=14
14÷34=13
答：剩下的是吃了的13。
故选：B。
【点评】本题考查了分数减法问题和除法问题。关键是先求出剩下的是几分之几。
二．填空题（共10小题，满分20分）
11．（3分）计算4.9÷（8.27﹣3.37）时，应先算 减 法再算 除 法计算结果是 1 。
【考点】小数四则混合运算．
【专题】运算能力．
【答案】减，除，1。
【分析】根据小数四则混合运算的顺序，计算4.9÷（8.27﹣3.37）时，先算小括号里面的减法，再算括号外面的除法，由此计算即可。
【解答】解：4.9÷（8.27﹣3.37）
＝4.9÷4.9
＝1
计算4.9÷（8.27﹣3.37）时，应先算减法，再算除法，计算结果是1。
故答案为：减，除，1。
【点评】本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可。
12．（1分）小马虎在计算一个数乘0.45时，错算成除以0.45，结果得2.4，这道题正确的结果是 0.486 。
【考点】小数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】0.486。
【分析】根据商×除数＝被除数，用2.4乘0.45即可求出这个数，再用这个数乘0.45即可求解。
【解答】解：2.4×0.45＝1.08
1.08×0.45＝0.486
答：正确的结果是0.486。
故答案为：0.486。
【点评】本题主要考查了小数乘法的运算，明确乘法算式各部分之间的关系是解答本题的关键。
13．（2分）用“四舍五入”法取近似值。
0.745（保留一位小数）≈ 0.7
0.6⋅5⋅（保留两位小数）≈ 0.66
【考点】小数的近似数及其求法．
【专题】综合填空题；数据分析观念．
【答案】0.7，0.66。
【分析】保留一位小数，也就是精确到十分位，要看百分位上的数，将百分位上的数进行“四舍五入”即可；保留两位小数，也就是精确到百分位，要看千分位上的数，将千分位上的数进行“四舍五入”即可。据此解答。
【解答】解：0.745（保留一位小数）≈0.7
0.6⋅5⋅（保留两位小数）≈0.66
故答案为：0.7，0.66。
【点评】此题考查了小数的近似数及其求法，要求学生掌握。
14．（4分）在横线里填上“＞”“＜”或“＝”。
1.04×3.57 ＞ 3.57×0.14
5.24 ＜ 5.24÷0.7
3.9×0.96 ＜ 3.9
3.2÷0.01 ＞ 3.2×0.01
【考点】商的变化规律；积的变化规律．
【专题】运算能力．
【答案】＞，＜，＜，＞。
【分析】一个数（0除外）乘大于1的数（0除外），积大于这个数；
一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数；
一个数（0除外）除以小于1的数（0除外），商大于这个数；据此解答。
【解答】解：1.04×3.57＞3.57×0.14
5.24＜5.24÷0.7
3.9×0.96＜3.9
3.2÷0.01＞3.2×0.01
故答案为：＞，＜，＜，＞。
【点评】此题主要考查了不用计算判断因数与积之间大小关系、商与被除数之间大小关系的方法。
15．（2分）如图量角器上的角是 70 °，这是一个 锐 角。
【考点】角的度量；角的分类（锐角直角钝角）．
【专题】综合填空题；推理能力．
【答案】70；锐。
【分析】角的一条边指向量角器的30度线，一条边指向100度线，用100减去30即可求解。
【解答】解：100﹣30＝70（度），70°的角是一个锐角。
故答案为：70；锐。
【点评】本题主要考查了角度的测量问题。
16．（1分）如图：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒摆n个六边形需要 （5n+1） 根小棒。
【考点】数与形结合的规律．
【专题】探索数的规律；推理能力；模型思想．
【答案】（5n+1）。
【分析】由图意得出；摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要6+5＝11（根）小棒，摆3个六边形需要6+5+5＝16（根）小棒，摆n个六边形需要6+5（n﹣1）＝（5n+1）根。
【解答】解：由题意得：摆1个正六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要6+5＝11（根）小棒，摆3个六边形需要6+5+5＝16（根）小棒，摆n个六边形需要6+5（n﹣1）＝（5n+1）根。
故答案为：（5n+1）。
【点评】此题主要考查数与形结合找规律，关键是找出数和图形的变化之间的联系。
17．（2分）王老师想买6本一套的《世界未解之谜》，每套原价76.4元。王老师正好带着6套书的钱去书店买书时，恰巧遇上书店搞促销活动，每套书只要67.2元。王老师用剩下的钱正好买了4支钢笔。
（1）（76.4﹣67.2）×6解决的数学问题是 王老师买6套书一共便宜了多少钱 。
（2）一支钢笔多少钱？列式是 （76.4﹣67.2）×6÷4
【考点】整数、小数复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）王老师买6套书一共便宜了多少钱；（2）（76.4﹣67.2）×6÷4。
【分析】（1）已知76.4元是每套的原价，67.2元是现价，用原价减去现价等于每套便宜的钱数，再乘6就是便宜的总钱数；
（2）用剩下的钱数除以4就是每支的钱数。
【解答】解：（1）（76.4﹣67.2）×6解决的数学问题是：王老师买6套书一共便宜了多少钱？
（2）（76.4﹣67.2）×6÷4
＝9.2×6÷4
＝55.2÷4
＝ 13.8（元）
列式为：（76.4﹣67.2）×6÷4。
故答案为：（1）王老师买6套书一共便宜了多少钱；（2）（76.4﹣67.2）×6÷4。
【点评】解答此题要运用单价、数量和总价的关系。
18．（1分）一个三角形和一个平行四边形等底等高，如果三角形的面积是36平方米，那么平行四边形的面积是 72 平方米。
【考点】平行四边形的面积．
【专题】运算能力．
【答案】72。
【分析】等底等高的平行四边形的面积是三角形面积的2倍，据此解答即可。
【解答】解：36×2＝72（平方米）
答：这个平行四边形的面积是72平方米。
故答案为：72。
【点评】此题主要考查等底等高的平行四边形和三角形面积之间关系的灵活运用。
19．（2分）
【考点】大面积单位间的进率及单位换算．
【专题】运算能力．
【答案】520000，600。
【分析】高级单位平方千米化低级单位平方米乘进率1000000。
低级单位平方米化高级单位公顷除以进率10000。
【解答】解：
故答案为：520000，600。
【点评】平方米与公顷间的进率是10000，平方米与平方千米之间的进率是1000000。由高级单位化低级单位乘进率，反之除以进率。
20．（2分）一个盒子里全是红球，刘华从盒子里任意摸出一个球， 一定 摸到红球， 不可能 摸到蓝球。（填“一定”“可能”或“不可能”）
【考点】事件的确定性与不确定性．
【专题】数据分析观念．
【答案】一定，不可能。
【分析】“一定”表示确定事件，“可能”表示不确定事件，“不可能”属于确定事件中的必然事件，结合实际生活，按要求选择即可。
【解答】解：一个盒子里全是红球，刘华从盒子里任意摸出一个球，一定摸到红球，不可能摸到蓝球。
故答案为：一定，不可能。
【点评】此题考查了事件发生的确定性和不确定性，应注意灵活应用。
三．计算题（共4小题，满分38分）
21．（8分）列竖式计算，带★的要用乘法验算。
36﹣8.09＝
6.05×24＝
★82.8÷18＝
【考点】小数除法；小数的加法和减法；小数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】27.91；145.2；4.6。
【分析】依据小数减法的计算方法解答：计算小数减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点；
小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点；
根据除数是整数的小数除法的运算法则，除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除；利用“商×除数＝被除数”验算即可。
【解答】解：36﹣8.09＝27.91
6.05×24＝145.2
82.8÷18＝4.6
验算：
【点评】本题主要考查了小数加法、小数减法、小数乘法的竖式计算方法，注意计算的准确性。
22．（6分）写出下面得数。
【考点】小数除法；小数乘法．
【专题】运算能力．
【答案】4；2.5；1；4.01；0；1.1；0.13；3。
【分析】根据小数乘除法的计算方法，依次口算结果。
【解答】解：
【点评】本题解题的关键是熟练掌握小数乘除法的计算方法。
23．（18分）脱式计算。（能简算的要简算）
4.86×9.6+4.86×0.4
3.78+2.2÷5
6.21÷1.25÷0.8
8.64÷（23.6﹣18.2）
4×0.8×12.5×2.5
3.6×201
【考点】小数四则混合运算；运算定律与简便运算．
【专题】运算能力．
【答案】48.5；4.22；6.21；1.6；100；723.6。
【分析】（1）按照乘法分配律计算；
（2）先算除法，再算加法；
（3）按照除法的性质计算；
（4）先算小括号里面的减法，再算除法；
（5）按照乘法交换律和结合律进行计算；
（6）先把201分解成（200+1），再根据除法分配律简算。
【解答】解：（1）4.86×9.6+4.86×0.4
＝4.86×（9.6+0.4）
＝4.86×10
＝48.6
（2）3.78+2.2÷5
＝3.78+0.44
＝4.22
（3）6.21÷1.25÷0.8
＝6.21÷（1.25×0.8）
＝6.21÷1
＝6.21
（4）8.64÷（23.6﹣18.2）
＝8.64÷5.4
＝1.6
（5）4×0.8×12.5×2.5
＝（4×2.5）×（0.8×12.5）
＝10×10
＝100
（6）3.6×201
＝3.6×（200+1）
＝3.6×200+3.6×1
＝720+3.6
＝723.6
【点评】本题考查了四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算。
24．（6分）看图计算如图图形的面积。
（1）
（2）
【考点】平行四边形的面积；三角形的周长和面积．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观；运算能力．
【答案】（1）1200平方厘米。
（2）260平方厘米。
【分析】（1）根据平行四边形的面积公式：S＝ah，把数据分别代入公式解答。
（2）根据三角形的面积公：S＝ah÷2，把数据分别代入公式解答。
【解答】解：（1）40×30＝1200（平方厘米）
答：平行四边形的面积是1200平方厘米。
（2）26×20÷2
＝520÷2
＝260（平方厘米）
答：三角形的面积是260平方厘米。
【点评】此题主要考查平行四边形、三角形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
四．操作题（共2小题，满分9分）
25．（3分）在方格纸上画一个面积为20cm2的直角梯形。（每个小方格的面积为1cm2）
【考点】梯形的面积．
【专题】平面图形的认识与计算；应用意识．
【答案】（答案不唯一）
【分析】有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。根据梯形面积＝（上底+下底）×高÷2，假设上底是4厘米，下底是6厘米，高4厘米，画图即可。
【解答】解：假设上底是4厘米，下底是6厘米，高4厘米。（答案不唯一）
（4+6）×4÷2
＝10×4÷2
＝40÷2
＝20（平方厘米）
如图：
（答案不唯一）
【点评】此题主要考查学生对直角梯形特征以及梯形面积公式的灵活应用，根据面积公式假设参数，满足要求即可画图。
26．（6分）按要求画图。
（1）画出左图的另一半，使它成为一个轴对称图形。
（2）将右图绕O点顺时针旋转90°，再向左平移3格。
【考点】作轴对称图形；作平移后的图形；作旋转一定角度后的图形．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】。
【分析】（1）利用轴对称图形的特点结合图示去作图；
（2）找出三角形的三个顶点绕O点顺时针旋转90°，再向左平移3格后的点，依次连接，由此作图。
【解答】解：由分析可知：（1）（2）如图：
。
【点评】本题考查的是轴对称图形，旋转，平移的应用。
五．应用题（共5小题，满分18分）
27．（2分）AI工程师对研发成功后的“智能垃圾分类机器人”进行分拣效率测试，分两个阶段记录数据：
上午阶段：在1号垃圾站设置2台机器人，共分拣可回收物170件；
下午阶段：在2号垃圾站设置3台机器人，分别分拣厨余垃圾105件、有害垃圾74件、其他垃圾86件。
此次测试中，参与分拣的垃圾分类机器人平均每台分拣多少件垃圾？
【考点】平均数的含义及求平均数的方法．
【专题】应用意识．
【答案】87件。
【分析】根据“平均数＝数据和÷数据个数”，用捡的垃圾总件数除以参与分拣的机器人总台数即可。
【解答】解：（170+105+74+86）÷（2+3）
＝435÷5
＝87（件）
答：参与分拣的垃圾分类机器人平均每台分拣87件垃圾。
【点评】解答本题需熟练掌握平均数的意义，明确平均数、数据和与数据个数之间的关系。
28．（4分）乌牛早茶比西湖龙井、洞庭碧螺春早上市一个月左右，生产时间在2月底至4月中旬50多天，雨水开采，谷雨结束。制作1吨特级成品乌牛早茶需采得黄金芽4400万个，要制作10千克特级成品乌牛早茶，需采得黄金芽多少万个？
【考点】整数、小数复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】44万个。
【分析】由题意得，制作1吨特级成品乌牛早茶需采得黄金芽4400万个，先把1吨转化为1000千克，可以先用4400除以1000算出制作1千克特级成品乌牛早茶需采得黄金芽多少万个。然后再乘上10即可算出制作10千克特级成品乌牛早茶需采得黄金芽多少万个。
【解答】解：1吨＝1000千克
4400÷1000×10
＝4.4×10
＝44（万个）
答：要制作10千克特级成品乌牛早茶，需采得黄金芽44万个。
【点评】此题考查小数混合计算及应用。
29．（4分）妈妈的电子钱包里面有60元，去超市买了一盏台灯和一个垃圾桶，用电子钱包付款后，电子钱包里面还剩下多少钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】21.3元。
【分析】根据题图可知，一盏台灯的价钱是27.8元，一个垃圾桶的价钱是12.9元，将买的一盏台灯和一个垃圾桶的价钱相加，先算出购买一盏台灯和一个垃圾桶需要的钱数；又已知满30元减2元，则用求出的购买一盏台灯和一个垃圾桶需要的钱数与30作比较，如果大于等于30元，则用求出的购买一盏台灯和一个垃圾桶需要的钱数减去2，再与电子钱包里原来有的钱数作差，即可求出电子钱包里面还剩下多少钱；如果小于30元，则用求出的购买一盏台灯和一个垃圾桶需要的钱数与电子钱包里原来有的钱数作差，即可求出电子钱包里面还剩下多少钱。
【解答】解：27.8+12.9＝40.7（元）
40.7＞30，满30元要减去2元，
60﹣（40.7﹣2）
＝60﹣38.7
＝21.3（元）
答：电子钱包里面还剩下21.3元。
【点评】此题考查小数混合计算及应用。
30．（4分）一个花园的一部分是由一个等腰直角三角形和一个长方形组成。等腰直角三角形的腰长为11米，长方形的长为12米，宽为10米。如果每平方米种花12株，这个区域一共可以种多少株花？
【考点】三角形的周长和面积；长方形、正方形的面积．
【专题】应用意识．
【答案】2166株。
【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式求出这个花园的面积，然后用花园的面积乘每平方米种花的株数即可。
【解答】解：（11×11÷2+12×10）×12
＝（60.5+120）×12
＝180.5×12
＝2166（株）
答：这个区域一共可以种2166株花。
【点评】此题主要考查三角形的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
31．（4分）如图是妈妈去超市购买花生油和陈醋的购物小票，请你帮忙算一下妈妈一共花了多少钱？
【考点】整数、小数复合应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】42.2元。
【分析】用1桶卫生油的金额加上1瓶陈醋的金额即可。
【解答】解：39.5+2.7＝42.2（元）
答：妈妈一共花了42.2元钱。
【点评】熟练掌握小数加法的应用是解答本题的关键。
六．解答题（共3小题，满分20分）
32．（10分）数形结合是一种重要的数学思想，用它可以帮助我们解决很多数学问题。
计算12+14+18+116+132+164+1128．虽然可以通分后再计算，但通分太麻烦了，可以先从比较简单的数开始，寻找计算中的规律。
（1）先试着计算12+14+18，可以画图帮助理解，用一个大正方形表示“1”，这个算式可以用右图表示。请在图上填上合适的数。
思考：如图1所示，阴影部分的面积可以用一个数 1 表示，那么空白部分的面积之和可以表示为：1﹣ 18 ＝ 78 。
（2）再试着计算12+14+18+116，从图2中可知，这几个数相加的和也可以表示为1﹣ 116 ＝ 1516 。
（3）不画图，计算下面的题目。
12+14+18+116+132=
12+14+18+116+132+164+1128=
【考点】数与形结合的规律．
【专题】探索数的规律；应用意识．
【答案】（1），1，18，78；
（2）116，1516；
（3）3132，127128。
【分析】把一个大正方形分成若干个小正方形，每个小正方形面积，就是对应的分数，通过观察图形发现，这些分数的和等于“1”减去最后一个分数。
（1）阴影部分的面积可以用一个数“1”表示，那么空白部分的面积之和可以表示为：1-18=78，12+14+18=78=1-18，据此解答；
（2）从图2中可知，这几个数相加的和也可以表示为1-116=1516，据此解答；
（3）12+14+18+116+132=1-132=3132，12+14+18+116+132+164+1128=1-1128=127128，据此解答。
【解答】解：（1）填写如下：
12+14+18
=78
＝1-18
阴影部分的面积可以用一个数“1”表示，那么空白部分的面积之和可以表示为：1-18=78，12+14+18=78=1-18；
（2）12+14+18+116
=1516
＝1-116
这几个数相加的和也可以表示为1-116=1516；
（3）12+14+18+116+132
＝1-132
=3132
12+14+18+116+132+164+1128
＝1-1128
=127128
故答案为：1，18，78；116，1516。
【点评】本题考查的是数与形结合的规律，找到规律是解答关键。
33．（5分）小明和小星收集书签，小明的书签数量是小星的3倍，如果小明给小星12个，两人的书签数量就同样多。原来小明有多少个书签？（先在线段图上表示出条件和问题，再解答）
【考点】差倍问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】36个。
【分析】小明的书签数量是小星的3倍，如果小明给小星12个，两人的书签数量就同样多。小明的书签数量比小星的多（3﹣1）倍，是12×2个。即可求出小星的书签个数，进而用小星的个数×3＝小明的书签个数。
【解答】解：
（12×2）÷（3﹣1）
＝24÷2
＝12（个）
12×3＝36（个）
答：原来小明有36个书签。
【点评】本题考查了本题考查了差倍问题，关键是如何求出1倍量。
34．（5分）把1根50厘米长的铁丝和1根40厘米长的铁丝绑成一根长铁丝，中间重叠部分长15厘米，绑成的铁丝长多少厘米？
【考点】重叠问题．
【专题】应用意识．
【答案】75厘米。
【分析】把两根铁丝的长度相加，然后减去重叠部分的长度即可求出绑成的铁丝的长度。
【解答】解：50+40﹣15
＝90﹣15
＝75（厘米）
答：绑成的铁丝长75厘米。
【点评】本题主要考查两步计算的加、减法实际问题，关键要把题目理解，熟练掌握即可。
考点卡片
1．小数的近似数及其求法
【知识点归纳】
近似数：一个数与准确数相近（比准确数略多或者略少些），这一个数称之为近似数．
四舍五入法：如果被舍去部分的首位数字小于5，就舍去这些数字；如果被舍去部分的首位数字是5或大于5，就要在保留部分的末尾数字上加1．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个两位小数取近似值后是3.8，这个数最大是 3.84 ，最小是 3.75 ．
分析：（1）两位小数取近似值后是3.8，这个数最大是百分位上的数舍去，舍去的数有：1，2，3，4，其中4是最大的，据此解答；
（2）最小是百分位上的数进一，进一的数有：5，6，7，8，9，其中5是最小的，因为进一，保留后十分位是8，那么原来十分位是8﹣1＝7，据此解答．
解：（1）这个数最大是百分位上的数舍去，舍去的数有：1，2，3，4，其中4是最大的，所以这个数是3.84；
（2）这个数最小是百分位上的数进一，进一的数有：5，6，7，8，9，其中5是最小的，所以这个数是3.75；
故答案为：3.84，3.75．
点评：本题主要考查近似数的求法，注意最大是百分位上的数舍去，最小是百分位上的数进一．
例2：9.0968精确到十分位约是 9.1 ，保留两位小数约是 9.10 ，保留整数约是 9 ．
分析：9.0968精确到十分位，就要看百分位上的数是否满5；保留两位小数，就是精确到百分位，就要看千分位上的数是否满5；保留整数，就是精确到个位，就要看十分位上的数是否满5；再运用“四舍五入”法求得近似值即可．
解：9.0968≈9.1；
9.0968≈9.10；
9.0968≈9．
故答案为：9.1，9.10，9．
点评：此题考查运用“四舍五入”法求一个数的近似值，要看清精确到哪一位，就根据它的下一位上的数是否满5，再进行四舍五入．
2．有余数的除法
【知识点归纳】
（1）一个整数除以另一个自然数，并不是永远可以得到整数的商叫有余数的除法．
如：15÷7＝2…1
（2）有余数除法的性质：
①余数必须小于除数
②不完全商与余数都是唯一的．
（3）运算法则
被除数÷除数＝商+余数，被除数＝除数×商+余数．
【命题方向】
常考题型：
例1：在除法算式m÷n＝a…b中，（n≠0），下面式子正确的是（ ）
A、a＞nB、n＞aC、n＞b
分析：根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数；由此解答即可．
解：根据有余数的除法中，余数总比除数小，即除数大于余数，
所以：n＞b；
故选：C．
点评：解答此题的关键：应明确在有余数的除法中，余数总比除数小．
例2：31÷7＝4…3，如果被除数、除数都扩大10倍，那么它的结果是（ ）
A、商4余3 B、商40余3 C、商40余30 D、商4余30
分析：根据商不变的性质，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，但是在有余数的除数算式中，被除数、除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）商不变，余数也会扩大或缩小相同的倍数．
解：31÷7＝4…3，
310÷70＝4…30，
所以当被除数、除数同时扩大10倍，商不变，余数也会扩大10倍．
故选：D．
点评：此题主要考查的是商不变的性质在有余数的除法算式中的应用．
3．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
4．小数的加法和减法
【知识点归纳】
小数加法的意义与整数加法的意义一样，是把两个数合并成一个数的运算．
小数减法的意义与整数减法的意义一样，是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算．
小数加法的法则：小数加法的法则与整数加法的法则一样，也是相同的数位对齐．由于小数中有小数点，因此，只要小数点对齐，相同的位数就必然对齐了．
步骤：①把各个加数的小数点上下对齐；②按照整数加法的法则进行计算，从右边最末一位加起，满十进一；③和（计算结果）的小数点要与加数的小数点上下对齐．
小数减法的法则：小数点对齐，相同位数对齐．
步骤：①把被减数和减数的小数点上下对齐；②按照整数减法的法则进行计算，从右边最末一位减起，不够减时，借一当十；③差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐．
【命题方向】
常考题型：
例1：计算小数加减时，要（ ）对齐．
A、首位 B、末尾 C、小数点
分析：根据小数加、减法的计算法则：（1）计算小数加、减法，先把各数的小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），（2）再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点 （得数的小数部分末尾有0，一般要把0去掉）；据此直接选择．
解：根据小数加减法的计算法则可知：
计算小数加减时，要把小数点对齐．
故选：C．
点评：主要考查小数加减法的计算法则的掌握和应用．
例2：小丽在计算3.68加一个一位小数时，由于错误的把数的末尾对齐结果得到了4.25，正确的得数应是 9.38 ．
分析：根据题意，用4.25减3.68得出的数，化成一位小数，再按照小数的加法进行计算就可以得出正确的结果．
解：根据题意可得：
4.25﹣3.68＝0.57，那么这个一位小数就是：0.57×10＝5.7；
正确的结果是：3.68+5.7＝9.38．
故答案为：9.38．
点评：根据题意，先求出错误的另一个加数，化成一位小数，再进一步解答即可．
5．小数乘法
【知识点归纳】
小数乘法的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的就简便运算；一个数乘纯小数的意义是，求这个数的十分之几、百分之几、千分之几…是多少．
小数乘法法则：先把被乘数和乘数都看做整数，按照整数的乘法法则进行计算，求出整数乘法的积，然后，再看被乘数和乘数一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点．如果小数的末尾出现0时，根据小数的基本性质，要把它去掉．
【命题方向】
常考题型：
例1：40.5×0.56＝（ ）×56．
A、40.5 B、4.05 C、0.405 D、0.0405
分析：两个小数相乘，其中一个的小数点向左移动几位，要使积不变，则另一个小数的小数点要向右移动相同的数位．
解：40.5×0.56＝0.405×56
故选：C．
点评：此题主要考查在小数乘法中小数点位置的变化与积的变化规律．
例2：昙花的寿命最少保持能4小时，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，约（ ）左右．
分析：根据题意，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，也就是4小时的0.02倍，可以先求出小麦开花的时间，再进行估算即可．
解：根据题意可得：
小麦开花的时间是：4×0.02＝0.08（小时），
0.08小时＝4.8分钟≈5分钟．
故选：B．
点评：本题主要考查小数乘法的估算，根据题意求解后，要根据求近似数的方法进行估算，要注意单位不同时，化成相同的单位．
6．小数除法
【知识点归纳】
小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
小数除法的法则与整数除法的法则基本相同，注意两点：
①当除数是整数时，可以直接按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐．如果有余数，就在余数的右边补上0，再继续除．商的整数部分或小数部分哪一位不够1时，要写上0，补足位数．如果需要求商的近似值时，要比需要保留的小数位数多商一位，再按照四舍五入法取近似商．
②当除数是小数时，要根据“被除数和除数同时乘相同的数商不变”的规律，先把除数的小数点去掉，使它变成整数，再看原来的除数有几位小数，被除数的小数点也向右移动相同的位数．如果位数不够，要添0补足，然后，按照除数是整数的小数除法法则进行计算．
【命题方向】
常考题型：
例1：0.47÷0.4，商是1.1，余数是（ ）
A、3 B、0.3 C、0.03
分析：根据有余数的除法可知，商×除数+余数＝被除数，那么余数＝被除数﹣商×除数，代入数据进行解答即可．
解：根据题意可得：
余数是：0.47﹣1.1×0.4＝0.47﹣0.44＝0.03．
故选：C．
点评：被除数＝商×除数+余数，同样适用于小数的除法．
例2：2.5÷100与2.5×0.01的计算结果比较．（ ）
A、商较大 B、积较大 C、一样大
分析：根据小数乘除法的计算方法，分别求出商与积，再根据小数大小的比较方法进行解答即可．
解：2.5÷100＝0.025，2.5×0.01＝0.025，
所以，2.5÷100＝2.5×0.01．
故选：C．
点评：求出各自的商与积，再根据题意解答．
7．小数四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，既有乘、除法又有加、减法的，要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；大、中、小括号的计算顺序为小→中→大。括号里面的计算顺序遵循以上1、2、3条的计算顺序。
【方法总结】
1、小数乘法的计算方法：
（1）算：先按整数乘法的法则计算；
（2）看：看两个乘数中一共有几位小数；
（3）数：从积的右边起数出几位（小数位数不够时，要在前面用 0 补足）；
（4）点：点上小数点；
（5）去：去掉小数末尾的“0”。
2、小数除法的计算方法：先看除数是整数还是小数。
小数除以整数计算方法：
（1）按整数除法的法则计算；
（2）商的小数点要和被除数的小数点对齐
（3）如果有余数，要在余数后面添“0”继续除。
除数是小数的计算方法：
（1）看：看清除数有几位小数
（2）移（商不变规律）：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数，当被除数的小数位数不足时，用“0”补足
（3）算：按照除数是整数的除法计算。注意：商的小数点要和被除数移动后的小数点对齐）
【常考题型】
直接写出得数。
答案：0.024；0.078；4.32；0.25
妈妈在菜场买了3.25千克鲤鱼，付出20元，找回1.8元，每千克鲤鱼多少元？
答案：（20﹣1.8）÷3.25＝5.6（元）
8．数与形结合的规律
【知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用 31 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝10，3n+1＝31，
答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
9．整数、小数复合应用题
【知识点归纳】
1．有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题．
2．含有三个已知条件的两步计算的应用题．
3．运算按照整数和小数的运算法则进行运算即可．
【命题方向】
常考题型：
例1：三年级3个班平均每班有学生40人．其中一班有38人，二班有40人，三班有（ ）人．
A、38 B、40 C、42
分析：先根据“3个班平均每班有学生40人”求出三年级的总人数是多少，然后用总人数减去一班和二班的人数即是三班的人数是多少．
解：40×3﹣（38+40）
＝120﹣78，
＝42（人）；
答：三班有42人．
故选：C．
点评：先根据3个班的平均数求出总人数是完成本题的关键．
例2：买10千克大米用25.5元，买4.5千克大米用（ ）元．
A、11.475 B、11.48 C、11.4 D、11.47
分析：知道买10千克大米用25.5元，可求买1千克大米用多少钱，进而可求买4.5千克大米用多少钱，计算后选出即可．
解：25.5÷10×4.5
＝2.55×4.5
＝11.475
≈11.48（元）．
故选：B．
点评：此题考查整数、小数复合应用题，先求出每千克大米的钱数，再求4.5千克大米的钱数．
10．分数加减法应用题
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法的意义完全相同，在应用题中的关系也有很多相同的地方．分数加减法应用题的难点在于有时候分数表示与单位1相对应的分率．判断的标准是看有没有单位，注意单位1．
【命题方向】
常考题型：
例1：李明计划三天读完一本120页的书，第一天看了全书的25，第二天看了全书的30%，剩下的第三天看完，第三天看了全书的（ ）
A、70% B、30% C、35 D、10%
分析：把这本书的总页数120看作单位“1”，因为前两天所看的页数对应的标准量都是120页，剩下的页数第三天看完，所以，第三天看的页数应是标准量的（1-25-30%）＝30%．
解：1-25-30%，
＝1﹣40%﹣30，
＝30%；
答：第三天看了全书的30%．
故选：B．
点评：解答此题的关键是确定标准量，即单位“1”．
例2：电视机厂四月上旬完成计划的14，中旬完成计划的13，下旬完成计划的12．这个月完成计划的情况是（ ）
A、正好完成 B、超额完成 C、没有完成
分析：把计划的量看作单位“1”，把上旬完成计划的14，中旬完成计划的13，下旬完成计划的12，加在一起，再与单位“1”进行比较即可．
解：14+13+12，
=312+412+612，
=1312，
＝1112；
1112＞1，
所以是超额完成．
故选：B．
点评：本题运用异分母分数的计算法则进行解答即可．
11．重叠问题
【知识点归纳】
【命题方向】
常考题型：
例1：甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，问甲班和丁班共多少人？
分析：根据题干分析可得，甲班+乙班+丙班+丁班＝83+88＝171人，即甲班+丁班+（乙班+丙班）＝171人，所以从171人里面减去乙班与丙班的人数，即可得出甲班与丁班的人数之和，据此即可解答．
解：83+88﹣86
＝171﹣86
＝85（人）
答：甲班与丁班共有85人．
点评：解答此题的关键是明确83+88＝171人是甲班、乙班、丙班、丁班的人数之和，据此再减去乙班与丙班的人数之和，即可得出答案．
例2：如图所示，阴影部分的面积是甲圆面积的19，是乙圆面积的14，乙圆的面积是甲圆的 49 ．
分析：此题把阴影部分的面积看作单位“1”，由“阴影部分面积是甲圆面积的19”，可知甲圆面积是阴影面积的1÷19=9（倍），由“阴影部分面积是乙圆面积的14”，可知乙圆面积是阴影面积的1÷14=4（倍）；因此乙圆的面积是甲圆的4÷9=49．
12．角的分类（锐角直角钝角）
【知识点归纳】
根据角的度数，可以把角分为周角、平角、钝角、直角、锐角。
（1）如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.规定平角为180°
（2）如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.规定周角为360°
（3）规定平角的一半是90°，直角的两边互相垂直。规定大于90°的角为钝角，小于90°的角为锐角。
【命题方向】
常考题型：
1.钟面上9时整，时针和分针成______角；钟面上6时整，时针和分针成_______角．
解：由分析可知，钟面上9时整时针和分针所成的角是：3×30°＝90°，是一个直角；
6时整，时针指着6，分针指着12，两针成一直线，时针和分针成平角；
故答案为：直，平。
2.2022年北京冬奥会将于2022年2月4日晚上8时开幕，此时时针和分针所形成的角是______角。
答案：钝
3、1平角＝______直角 1周角＝______直角．
答案：2；4
13．从不同方向观察物体和几何体
【知识点归纳】
视图定义：
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图象叫做物体的一个视图．
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图．
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所称的角叫做视角．
我们把视线不能到达的区域叫做盲区．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个物体的形状如图所示，则此物体从左面看是（ ）
分析：这个几何体是由四个小正方体组成的，根据观察物体的方法，从正面看，是三个正方形，下行二个，上行一个位于右面；从上面看，是三个正方形，上行二个，下行一个位于右面；从左面看是三个正方形，下行二个，上行一个位于左面．由此判断．
解：从左面看到的是三个正方形，左边一列二个正方形，右边一个正方形与左边一列下边的一个成一行；
故选：B．
点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
14．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
15．角的度量
【知识点归纳】
1．角的度量：角度的测量是最基本的测量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量单位通常有两种，一种是角度制，另一种就是弧度制．
角度制，就是用角的大小来度量角的大小的方法．在角度制中，我们把周角的1360看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量．
弧度制，顾名思义，就是用弧的长度来度量角的大小的方法．单位弧度定义为圆周上长度等于半径的圆弧与圆心构成的角．由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量．角度以弧度给出时，通常不写弧度单位，有时记为rad或R．
3．度量方法：
量角要注意两对齐：量角器的中心和角的顶点对齐．
量角器的0刻度线和角的一条边对齐．
做到两对齐后看角的另一条边对着刻度线几，这个角就是几度．
看刻度要分清内外圈．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一个放大10倍的放大镜看一个50°的角，看到的角是（ ）
A、50° B、500° C、100°
分析：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
解：用放大镜看角时，放大的是角的边，不改变角的形状，根据角的大小与边长无关可知角的度数不会改变．
所以用放大10倍的放大镜看一个50度的角，看到的度数仍是50度．
故选：A．
点评：用放大镜看角，很容易错误认为角的度数会被放大相同倍数，关键要学生理解角的大小与边的长短无关．也要认识到一个普遍规律：放大镜只改变物体大小，不改变物体形状，对角而言只是一种图形，既然形状不变，角度也不会改变．
例2：下面每对时刻中，时钟的时针和分针所成的角不一样的有（ ）
A、1：30和2：30 B、3：30和8：30 C、9：00和3：00 D、10：30和1：30
分析：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出不同时间下，时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可进行判断，选择．
解：A，1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
2：30时针和分针中间相差3.5个大格，夹角是：30×3.5＝105度；符合题意；
B，3：30时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30＝75度，
8点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，夹角是2.5×30°＝75度；
C，9：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度，
3：00时针和分针中间相差3个大格，夹角是：30×3＝90度；
D，10：30时针和分针中间相差4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度，
1：30时针和分针中间相差，4.5个大格，夹角是：30×4.5＝135度；
所以夹角不同的是A．
故选：A．
点评：本题考查了钟面角，用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°．
16．长方形、正方形的面积
【知识点归纳】
长方形面积＝长×宽，用字母表示：S＝ab
正方形面积＝边长×边长，用字母表示：S＝a2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形的周长是48厘米，长和宽的比是7：5，这个长方形的面积是多少？
分析：由于长方形的周长＝（长+宽）×2，所以用48除以2先求出长加宽的和，再根据长和宽的比是7：5，把长看作7份，宽看作5份，长和宽共7+5份，由此求出一份，进而求出长和宽分别是多少，最后根据长方形的面积公式S＝ab求出长方形的面积即可．
解：一份是：48÷2÷（7+5），
＝24÷12，
＝2（厘米），
长是：2×7＝14（厘米），
宽是：2×5＝10（厘米），
长方形的面积：14×10＝140（平方厘米），
点评：本题考查了按比例分配的应用，同时也考查了长方形的周长公式与面积公式的灵活运用．
答：这个长方形的面积是140平方厘米．
例2：小区前面有一块60米边长的正方形空坪，现要在空坪的中间做一个长32米、宽28米的长方形花圃，其余的植上草皮．（如图）
①花圃的面积是多少平方米？
②草皮的面积是多少平方米？
分析：（1）长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求解；
（2）草皮的面积＝正方形的面积﹣长方形的面积，利用正方形和长方形的面积公式即可求解．
解：（1）32×28＝896（平方米）；
（2）60×60﹣896，
＝3600﹣896，
＝2704（平方米）；
答：花圃的面积是896平方米，草皮的面积是2704平方米．
点评：此题主要考查正方形和长方形的面积的计算方法．
【解题思路点拨】
（1）常规题求正方形面积，先求出边长，代入公式即可求得；求长方形面积，分别求出长和宽，代入公式即可求得，面积公式要记牢．
（2）其他求法可通过分割补，灵活性高．
17．平行四边形的面积
【知识点归纳】
平行四边形面积＝底×高，用字母表示：S＝ah．（a表示底，h表示高）
【命题方向】
常考题型：公式应用
例1：一个平行四边形相邻两条边分别是6厘米、4厘米，量得一条边上的高为5厘米，这个平行四边形的面积是（ ）平方厘米．
A、24 B、30 C、20 D、120
分析：根据平行四边形的特点可知，底边上的高一定小于另一条斜边，所以高为5厘米对应的底为4厘米，利用面积公式计算即可．
解：4×5＝20（平方厘米）；
答：这个平行四边形的面积是20平方厘米．
故选：C．
点评：此题主要考查平行四边形的特点，分析出相对应的底和高，据公式解答即可．
例2：一个平行四边形的底扩大3倍，高扩大2倍，面积就扩大（ ）
A、5倍 B、6倍 C、不变
分析：平行四边形面积＝底×高底扩大3倍，高扩大2倍，则面积扩大了3×2＝6倍．
解：因为平行四边形面积＝底×高，
底扩大3倍，高扩大2倍，则面积扩大了3×2＝6（倍），
故选：B．
点评：本题考查了平行四边形的面积公式．
【解题思路点拨】
（1）常规题求平行四边形面积，从已知中求出平行四边形的底，以及底相对应的高，代入公式即可求得．
18．梯形的面积
【知识点归纳】
梯形面积＝（上底+下底）×高÷2．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个果园近似梯形，它的上底120m，下底180m，高60m．如果每棵果树占地10m2，这个果园共有果树多少棵？
分析：根据梯形的面积公式S＝（a+b）×h÷2，求出果园的面积，再除以10就是这个果园共有果树的棵数．
解：（120+180）×60÷2÷10，
＝300×60÷2÷10，
＝18000÷20，
＝900（棵），
答：这个果园共有果树900棵．
点评：本题主要是利用梯形的面积公式S＝（a+b）×h÷2与基本的数量关系解决问题．
19．三角形的周长和面积
【知识点归纳】
三角形的周长等于三边长度之和．
三角形面积＝底×高÷2．
【命题方向】
常考题型：
例1：4个完全相同的正方形拼成一个长方形．（如图）图中阴影三角形的面积的大小是
A、甲＞乙＞丙 B、乙＞甲＞丙
C、丙＞甲＞乙 D、甲＝乙＝丙
分析：因为三角形的面积＝底×高÷2，且图中三个阴影三角形等底等高，所以图中阴影三角形的面积都相等．
解：因为三角形的面积＝底×高÷2，且图中三个阴影三角形等底等高，
所以图中阴影三角形的面积都相等．
故选：D．
点评：此题主要考查等底等高的三角形面积相等．
例2：在如图的梯形中，阴影部分的面积是24平方分米，求梯形的面积．
分析：由图形可知，阴影部分三角形的高与梯形的高相等，已知三角形的面积和底求出三角形的高，再根据梯形的面积公式s＝（a+b）h÷2，计算梯形的面积即可．
解：24×2÷8
＝48÷8
＝6（分米）；
（8+10）×6÷2
＝18×6÷2
＝54（平方分米）；
答：梯形的面积是54平方分米．
点评：此题解答根据是求出三角形的高（梯形的高），再根据梯形的面积公式解答即可．
20．轴对称图形的辨识
【知识点归纳】
1．轴对称图形的概念：
如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．
【命题方向】
常考题型：
例：如图的交通标志中，轴对称图形有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
分析：依据轴对称图形的定义即可作答．
解：图①、③沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，所以图①、③是轴对称图形；
图②、④无论沿哪一条直线对折后，直线两旁的部分都不能够互相重合，所以它们不是轴对称图形．
如图的交通标志中，轴对称图形有2个．
故选：C．
点评：此题主要考查轴对称图形的定义．
21．作轴对称图形
【知识点归纳】
1．如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．学过的图形中，线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形、圆形、扇形都是轴对称图形，各自有不同数目的对称轴．通过以上图形的组合就可以得到轴对称图形了．
【命题方向】
常考题型：
例：（1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形．
（2）把图B向右平移4格．
（3）把图C绕O点顺时针旋转180°．
分析：（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的下边画出图形A的关键对称点，连结涂色即可．
（2）根据平移的特征，把图形B的各点分别向右平移4格，再依次连结、涂色即可．
（3）根据旋转图形的特征，图形C绕点O顺时针旋转180°，点O的位置不动，其余各部分均绕点O按相同的方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形．
解：（1）画出图A的另一半，使它成为一个轴对称图形（下图）．
（2）把图B向右平移4格（下图）．
（3）把图C绕O点顺时针旋转180°（下图）．
点评：此题是考查作轴对称图形、作平移的图形、作旋转图形．关键是确定对称点（对应点）的位置．
22．作平移后的图形
【知识点归纳】
1．确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
2．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
【命题方向】
常考题型：
例：分别画出将向上平移3格、向右平移8格后得到的图形．
分析：根据平移图形的特征，把平行四边形A的四个顶点分别向上平移3格，再首尾连结各点，即可得到平行四边形A向上平移3格的平行四边形B；同理，把平行四边形B的四个顶点分别向右平移8格，再首尾连结各点，即可得到平行四边形B向右平移8格的平行四边形C．
解：作平移后的图形如下：
点评：作平移后的图形关键是把对应点的位置画正确．
23．旋转
【知识点归纳】
1．定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转．这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角．
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．
2．图形旋转性质：
（1）对应点到旋转中心的距离相等．
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3．把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．（旋转角大于0°小于360°）
【命题方向】
常考题型：
例：先观察图，再填空．
（1）图1绕点“O”逆时针旋转90°到达图 2 的位置；
（2）图1绕点“O”逆时针旋转180°到达图 3 的位置；
（3）图1绕点“O”顺时针旋转 90 °到达图4的位置；
（4）图2绕点“O”顺时针旋转 180 °到达图4的位置；
（5）图2绕点“O”顺时针旋转90°到达图 1 的位置；
（6）图4绕点“O”逆时针旋转90°到达图 1 的位置．
分析：根据旋转的定义：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转；把一个图形绕着一个点旋转一定的角度后，与原来的图形相吻合，旋转前后图形的大小和形状没有改变；进行解答即可．
解：（1）图1绕点“O”逆时针旋转90°到达图2的位置；
（2）图1绕点“O”逆时针旋转180°到达图3的位置；
（3）图1绕点“O”顺时针旋转（90°）到达图4的位置；
（4）图2绕点“O”顺时针旋转（180°）到达图4的位置；
（5）图2绕点“O”顺时针旋转90°到达图1的位置；
（6）图4绕点“O”逆时针旋转90°到达图1的位置；
故答案为：2，3，90，180，1，1．
点评：解答此题的关键是：应明确旋转的意义，并能灵活运用其意义进行解决问题．
24．作旋转一定角度后的图形
【知识点归纳】
1．旋转作图步骤：
（1）明确题目要求：弄清旋转中心、旋转方向和旋转角；
（2）分析所作图形：找出构成图形的关键点；
（3）找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；
（4）作出新图形：顺次连接作出的各点．
（5）写出结论：说明作出的图形．
2．中心对称作图步骤：
（1）连接原图形上的所有特殊点和对称中心；
（2）再将以上连线延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等；
（3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形．
【命题方向】
常考题型：
例：在图中作出“三角旗”绕O点按逆时针旋转90°后的图案．
分析：根据旋转的意义，找出图中三角旗3个关键处，再画出按逆时针方向旋转90度后的形状即可．
解：画图如下：
点评：本题考查了图形的旋转变化，学生主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大，但易错．
25．平均数的含义及求平均数的方法
【知识点归纳】
1．平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
2．平均数的求解方法：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才得求出．
【命题方向】
常考题型：
例1：参加某次数学竞赛的女生和男生人数的比是1：3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是（ ）
A、82分 B、86分 C、87分 D、88分
分析：根据题意，可找出数量间的相等关系：女生的平均成绩×1+男生的平均成绩×3＝全班平均成绩×4，设女生的平均成绩是x，列并解方程即可．
解：设女生的平均成绩是x，因为总成绩不变，由题意得，
x×1+3×80＝82×（1+3），
x+240＝328，
x＝328﹣240，
x＝88；
或：[82×（1+3）﹣80×3]÷1，
＝（328﹣240）÷1，
＝88（分）；
答：女生的平均成绩是88分．
故选：D．
点评：解答此题关键是先求出全班的总成绩和男生的总成绩，然后求出女生的总成绩，进而求出女生的平均成绩．
26．事件的确定性与不确定性
【知识点归纳】
事件可分为确定事件和不确定事件，确定事件可分为必然事件和不可能事件．不确定事件又称为随机事件．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个盒子里面分别放了一些花，任意摸一朵的可能性会怎样？用线连一连
【分析】根据可能性的大小进行依次分析：
盒子有1朵白花，9朵红花，摸出一朵，因为9＞1，所以摸出红花的可能性大，白花的可能性小；
盒子有5朵白花，5朵红花，摸出一朵，因为5＝5，所以摸出红花的可能性大和白花的可能性一样；
盒子里有9朵白花，1朵红花，摸出一朵，因为9＞1，所以摸出白花的可能性大，红花的可能性小；
盒子里有10朵红花，摸出一朵，肯定是红花，不可能是白花，据此解答．
解：根据分析，连线如下：
【点评】此题应根据可能性的大小进行分析、解答．
27．积的变化规律
【知识点归纳】
积的变化规律：
（1）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数不变，那么，它们的积也乘或除以同一个数．
（2）如果一个因数乘或除以一个数，另一个因数除以或乘同一个数，那么，它们的积不变．
【命题方向】
常考题型：
例：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于（ ）
A、原来的积乘10 B、原来的积乘20 C、原来的积乘100
分析：根据积的变比规律：一个因数乘10，另一个因数也乘10，原来的积就乘10×10．据此进行选择即可．
解：a×b的一个因数乘10，另一个因数也乘10，得到的积等于原来的积乘100．
故选：C．
点评：此题考查积的变化规律的运用：一个因数乘（或除以）10，另一个因数也乘（或除以）10，原来的积就乘（或除以）100．
28．商的变化规律
【知识点归纳】
商的变化规律：
①除数不变，被除数乘（除以）一个数，商也乘（除以）同一个数；
②被除数不变，除数乘（除以）一个数，商除以（乘）同一个数；
③被除数和除数同时乘（除以）同一个数，商不变．
29．乘法原理
【知识点归纳】
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法…不管前面n﹣1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2…×mn种不同的方法．
关键问题：确定工作的完成步骤．
基本特征：每一步只能完成任务的一部分．
【命题方向】
经典题型：
例1：小明有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书．在一次为贫困学校捐书的活动中，他准备捐科技类和故事类图书各一本，他有（ ）种不同的捐法．
A、3 B、4 C、7 D、12
分析：由题意可知，共有4本不同的科技类图书和3本不同的故事类图书，如果固定科技类图书与故事类图书进行组合的话，则每本科技类图书可分别与3本不同的故事书组合，共有3种组合方法，一共有四本科技类书，根据乘法原理，所以共有4×3＝12种不同的捐法
解：4×3＝12（种）．
所以共有12种不同的捐法．
故选：D
点评：乘法原理与加法原理加法原理是数学概率方面的基本原理，理解时要注意这两种原理的区别．
例2：小红有2件不同的上衣，3双不同的鞋子，2件不同的裙子，共有（ ）穿法．
A、9 B、12 C、24
分析：要完成不同的穿衣搭配，需要分三步，第一步从2件不同的上衣取一件有2种取法；第二步从2件不同的裙子取一条有2种取法；第三步从3双不同的鞋子取一双有3种取法；根据乘法原理，共有：2×3×2＝12（种），据此解答
解：2×3×2
＝6×2
＝12（种）；
答：共有12种不同的穿法．
故选：B
点评：本题考查了乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法；本题有三种衣物，所以需要分三步完成不同的穿衣搭配．
30．差倍问题
【知识点归纳】
含义：差倍问题即已知两数之差和两数之间的倍数关系，求出两数．
公式：差÷（倍数﹣1）＝小数；小数+差或小数×倍数＝大数．
差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法．被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题．
【命题方向】
经典题型：
例1：甲、乙两桶油重量相等，如果甲桶取出8千克，乙桶加入16千克，这时乙桶油的重量是甲桶油重量的3倍．两桶油原来各有油多少千克？
分析：甲、乙两桶油重量相等．从甲桶取走8千克油，乙桶加入16千克油，这时，甲桶比乙桶多24千克，乙桶油的重量是甲桶油重量的3倍，所以24千克是甲桶取出后的2倍，用除法可得甲桶取出后的油的重量，再加8即可得两桶油原来的千克数．
解：（8+16）÷（3﹣1）
＝24÷2
＝12（千克）
12+8＝20（千克）
答：两桶油原来各有20千克．
点评：本题考查了差倍问题，关键是得出48千克时是甲桶取出后的2倍．
31．排列组合
【知识点归纳】
排列组合的综合应用具有一定难度．突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石．其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析．有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握．
【命题方向】
经典题型：
例1：教务处编排某班某日上午的课程表（上午只上5节课）．该班拟安排语文、数学、英语、科学和体育（每科只上一节课），但规定体育不安排在第一节课．问安排的课程表可能有几种？
分析：第一节课是从除体育外的4科中选择一科，有4种不同的选择方法；第二节从剩下的4科中选择1科，也有4种选择方法，第三节从剩下的3科中选择1科，有3种选法；第四节从剩下的2科中选择1科，有1种选法；第五节就是剩下的1科，有1种选法；根据乘法原理它们的积就是全部的选择方法．
解：4×4×3×2×1，
＝16×3×2×1，
＝96（种）；
答：安排的课程表可能有96种．
点评：分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．
例2：如图中 A、B、C、D、E 五个区域，以红、黄、蓝三色去涂，相邻区域涂上不同颜色，共有多少种涂法？
分析：首先，可以将红、黄、蓝任一颜色去涂A区．由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A＝3，B＝2，C＝1，D＝1，E＝1，运用乘法原理即可解决问题．
解：将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A＝3，B＝2，C＝1，D＝1，E＝1．
共有涂法：3×2×1×1×1＝6（种）．
答：共有6种涂法．
点评：解答此题的关键是通过题意，进行分析，首先将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，然后逐步推出A、B、C、D、E可涂上的颜色数目，解决问题．

0.52km2＝ m2
6000000m2＝ 公顷
1÷0.25＝
0.25÷0.1＝
1.2÷1.2＝
4.01×1＝
0÷0.267＝
4.4÷4＝
0.78÷6＝
2.7÷0.9＝
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
A
C
C
A
B
C
B
0.52km2＝ 520000 m2
6000000m2＝ 600 公顷
0.52km2＝520000m2
6000000m2＝600公顷
1÷0.25＝
0.25÷0.1＝
1.2÷1.2＝
4.01×1＝
0÷0.267＝
4.4÷4＝
0.78÷6＝
2.7÷0.9＝
1÷0.25＝4
0.25÷0.1＝2.5
1.2÷1.2＝1
4.01×1＝4.01
0÷0.267＝0
4.4÷4＝1.1
0.78÷6＝0.13
2.7÷0.9＝3
2.4×0.01＝
7.8÷100＝
1.08×4＝
1÷4＝