2025-2026学年上学期广州小学数学三年级期末典型卷3

这是一份2025-2026学年上学期广州小学数学三年级期末典型卷3，共43页。试卷主要包含了厘米等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）在12﹣10＝2这道算式中，12是（ ）
A．加数B．被减数C．减数
2．（2分）李莉家离学校500米，王强家离学校800米，李莉家和王强家相距（ ）米。
A．3000米B．1300米
C．300米或1300米
3．（2分）从唐山乘飞机到重庆，大约需要3（ ）
A．秒B．分钟C．小时
4．（2分）某品牌电磁炉现价390元，比原价便宜了120元。原价是（ ）元。
A．270B．500C．510D．300
5．（2分）以下几个时间段中，时长最长的是（ ）
A．1时10分B．80分钟C．4分50秒
6．（2分）一根60厘米长的铁丝正好围成一个正方形，这个正方形的边长是（ ）厘米。
A．15B．60C．240D．30
7．（2分）已知△+□＝☆，则下列等式中，不正确的是（ ）
A．□+△＝☆B．☆﹣△＝□C．☆+△＝□
8．（2分）为庆祝六一儿童节，三（1）班要购买41个笔袋，最省钱的购买方案是（ ）
小包装：3个一盒，每盒5元
大包装：5个一盒，每盒7元
A．购买9盒大包装
B．购买14盒小包装
C．购买4盒大包装和7盒小包装
D．购买7盒大包装和2盒小包装
9．（2分）若a代表一个非零自然数，且a5是一个假分数，a6是一个真分数，a代表的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（2分）某水果批发市场运进大批水果，记录如表。
一辆卡车限载1吨，不能一次运送完（ ）
A．苹果和柚子B．桃子和香蕉
C．梨和柚子
二．填空题（共7小题，满分18分）
11．（4分）在下面的横线上填上合适的单位或数。
12．（4分）用7、5、0组成的最大的三位数是（ ），最小的三位数是（ ），它们的和是（ ），它们的差是（ ）。
13．（1分）秋风瑟瑟，同学们都去寻找嘉兴的秋天。去三塔公园的有26人，去银杏天鹅湖的有30人，两个地方都去的有20人。（在图中横线上填写相应的人数。）去寻找秋天的一共 人。
14．（1分）李伟每天16：45放学，回家需要30分钟，他到家的时间是 。
15．（3分）一只军舰鸟的体重约1千克600克，相当于 千克；翼长2米1分米，相当于 米；骨重113克，相当于 千克。
16．（4分）在横线上填上“＞”“＜”“＝”。
1吨50千克 1500千克
37+27 一半
1分20秒 120秒
7毫米 70厘米
17．（1分）一家快递公司1台智能机器人15分钟能处理特殊订单20个，照这样的速度，1台智能机器人6.5小时能处理 个特殊订单。
三．操作题（共1小题，满分8分，每小题8分）
18．（8分）下面每个小正方形的边长看作1厘米。
（1）画一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形。
（2）画一个正方形，使它的周长是长方形的2倍。
（3）用阴影涂出两个图形的12。
四．计算题（共4小题，满分30分）
19．（6分）直接写得数。
20．（3分）直接写得数。
21．（14分）笔算（带★的要验算）。
22．（7分）用你喜欢的方法计算。
（1）59-16+49
（2）1320+14+720
（3）1-(815+15)
五．应用题（共4小题，满分24分）
23．（5分）光明小学长方形体育场的长为140米，宽为120米，小东绕操场四周跑了4圈，一共跑了多少米？
24．（5分）三（1）班有男生24人，女生18人，每6人一组做游戏，一共能分几个小组？
25．（5分）一堆棋子共有80枚，其中35是黑子，其余的是白子。黑子有多少枚？白子呢？
26．（9分）学校组织一、二年级学生看电影。一年级236人，二年级257人。
（1）共有500个座位。座位够吗？
（2）电影傍晚6：30开始，8：00结束，放映了多长时间？
2025-2026学年上学期广州小学数学三年级期末典型卷3
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）在12﹣10＝2这道算式中，12是（ ）
A．加数B．被减数C．减数
【考点】加法和减法的关系．
【专题】运算能力．
【答案】B
【分析】根据被减数﹣减数＝差，解答即可。
【解答】解：在12﹣10＝2这道算式中，12是被减数。
故选：B。
【点评】本题考查减法的认识。
2．（2分）李莉家离学校500米，王强家离学校800米，李莉家和王强家相距（ ）米。
A．3000米B．1300米
C．300米或1300米
【考点】千及以上数的加减法．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】情况一：学校在李莉家和王强家之间，用李莉家离学校的长度加上王强家离学校的长度，即可计算出李莉家和王强家相距多少米。
情况二：学校在李莉家和王强家的同一侧，用王强家离学校的长度减去李莉家离学校的长度，即可计算出李莉家和王强家相距多少米。
【解答】解：500+800＝1300（米）
800﹣500＝300（米）
答：李莉家和王强家相距300米或1300米。
故选：C。
【点评】本题解题的关键是分两种情况分析李莉家和王强家以及学校的位置关系。
3．（2分）从唐山乘飞机到重庆，大约需要3（ ）
A．秒B．分钟C．小时
【考点】根据情景选择合适的计量单位．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】计量从唐山乘飞机到重庆所用的时间应用”小时“作单位；据此解答。
【解答】解：从唐山乘飞机到重庆，大约需要3小时。
故选：C。
【点评】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际和计量单位及数据的大小，灵活地选择。
4．（2分）某品牌电磁炉现价390元，比原价便宜了120元。原价是（ ）元。
A．270B．500C．510D．300
【考点】千以内加法．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】用这种品牌电磁炉的现价加上比原价便宜的钱数，即可求出原价，据此解答。
【解答】解：390+120＝510（元）
答：原价是510元。
故选：C。
【点评】本题考查了利用千以内数的加法解决问题，需准确理解题意。
5．（2分）以下几个时间段中，时长最长的是（ ）
A．1时10分B．80分钟C．4分50秒
【考点】时、分、秒及其关系、单位换算与计算．
【专题】质量、时间、人民币单位；数据分析观念．
【答案】B
【分析】1时＝60分，先统一单位，再比较数据大小。
【解答】解：1时10分＝70分
80分＞70分＞4分50秒，因此80分钟时长最长。
故选：B。
【点评】本题考查了时间单位的换算。
6．（2分）一根60厘米长的铁丝正好围成一个正方形，这个正方形的边长是（ ）厘米。
A．15B．60C．240D．30
【考点】正方形的周长．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】A
【分析】根据题意可知，这根铁丝的长度等于围成的正方形的周长，正方形的边长＝周长÷4，依此计算出这个正方形的边长即可。
【解答】解：60÷4＝15（厘米）
答：这个正方形的边长是15厘米。
故选：A。
【点评】此题考查的是根据正方形的周长计算出边长，应熟记：正方形的边长＝周长÷4。
7．（2分）已知△+□＝☆，则下列等式中，不正确的是（ ）
A．□+△＝☆B．☆﹣△＝□C．☆+△＝□
【考点】加法和减法的关系．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】根据加法和减法的关系进行解答即可。
【解答】解：已知△+□＝☆，则下列等式中，不正确的是☆+△＝□。
故选：C。
【点评】本题考查加法和减法的关系。
8．（2分）为庆祝六一儿童节，三（1）班要购买41个笔袋，最省钱的购买方案是（ ）
小包装：3个一盒，每盒5元
大包装：5个一盒，每盒7元
A．购买9盒大包装
B．购买14盒小包装
C．购买4盒大包装和7盒小包装
D．购买7盒大包装和2盒小包装
【考点】最优化问题．
【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】根据“数量×单价＝总价”，分别计算出四个选项的购买方案需要的钱数，然后比较所需钱数的大小即可解答。
【解答】解：A.9×7＝63（元）
B.14×5＝70（元）
C.4×7+7×5
＝28+35
＝63（元）
D.7×7+2×5
＝49+10
＝59（元）
59＜63＝63＜70，所以D选项的方案最省钱。
故选：D。
【点评】对于解决方案问题，注意题目中蕴含的条件和数据，通过具体的计算，找出最优化的方案。
9．（2分）若a代表一个非零自然数，且a5是一个假分数，a6是一个真分数，a代表的数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【考点】分数的意义和读写．
【专题】数感．
【答案】B
【分析】已知a5是一个假分数，则≥5，a6是一个真分数，则a＜6且不为0，据此确定a表示的数即可。
【解答】解：若a代表一个非零自然数，且a5是一个假分数，a6是一个真分数，a代表的数是5。
故选：B。
【点评】解答本题需熟练掌握真分数和假分数的意义，灵活解答。
10．（2分）某水果批发市场运进大批水果，记录如表。
一辆卡车限载1吨，不能一次运送完（ ）
A．苹果和柚子B．桃子和香蕉
C．梨和柚子
【考点】千及以上数的加减法；质量的单位换算．
【专题】应用意识．
【答案】A
【分析】1吨＝1000千克，根据加法的意义，分别计算出每个选项两种水果的质量之和，再与1000千克比较即可。
【解答】解：1吨＝1000千克
650+450＝1100（千克）
210+700＝910（千克）
540+450＝990（千克）
1100＞1000＞990＞910
答：不能一次运送完苹果和柚子。
故选：A。
【点评】本题解题关键是根据加法的意义，列式计算，熟练掌握千及以上加法的计算方法。
二．填空题（共7小题，满分18分）
11．（4分）在下面的横线上填上合适的单位或数。
【考点】根据情景选择合适的计量单位；大面积单位间的进率及单位换算；时、分、秒及其关系、单位换算与计算．
【专题】长度、面积、体积单位；质量、时间、人民币单位；应用意识．
【答案】（1）公顷；（2）平方米；（3）0.036；（4）15。
【分析】根据面积单位和数据大小的认识，结合实际生活经验进行解答第（1）（2）小题即可。
1平方千米＝100公顷；1小时＝60分；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率；第（3）（4）小题据此解答即可。
【解答】解：
故答案为：（1）公顷；（2）平方米；（3）0.036；（4）15。
【点评】本题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活地选择；以及熟记进率是解答本题的关键。
12．（4分）用7、5、0组成的最大的三位数是（ 750 ），最小的三位数是（ 507 ），它们的和是（ 1257 ），它们的差是（ 243 ）。
【考点】1000以内数比较大小；千以内加减法．
【专题】运算顺序及法则；运算能力．
【答案】750，507，1257，243。
【分析】要使组成的三位数最大，因此直接将7、5、0按从大到小的顺序排列组成一个三位数即可；要使组成的三位数最小，则百位上的数是5，再将7、0按从小到大的顺序放在5的后面即可；计算它们的和，用加法计算；计算它们的差，用减法计算。
【解答】解：7、5、0按从大到小的顺序排列：7＞5＞0
所以最大的三位数是750，最小的三位数是507。
750+507＝1257
750﹣507＝243
因此，用7、5、0组成的最大的三位数是750，最小的三位数是507，它们的和是1257，它们的差是243。
故答案为：750，507，1257，243。
【点评】本题考查了整数大小比较的方法及整数加减法的计算方法。
13．（1分）秋风瑟瑟，同学们都去寻找嘉兴的秋天。去三塔公园的有26人，去银杏天鹅湖的有30人，两个地方都去的有20人。（在图中横线上填写相应的人数。）去寻找秋天的一共 36 人。
【考点】容斥原理．
【专题】应用意识．
【答案】
36。
【分析】用去三塔公园的人数减去两个地方都去的人数，求出只去三塔公园的人数。用去银杏天鹅湖的人数减去两个地方都去的人数，求出只去银杏天鹅湖的人数。用去三塔公园的人数加上去银杏天鹅湖的人数，减去两个地方都去的人数，求出去寻找秋天的人数。
【解答】解：26﹣20＝6（人）
30﹣20＝10（人）
26+30﹣20＝36（人）
答：去寻找秋天的一共36人。
故答案为：36。
【点评】本题考查集合问题，明确集合图中各部分表示的意义，用各部分的总和减去重叠部分，即可求出实际总量。
14．（1分）李伟每天16：45放学，回家需要30分钟，他到家的时间是 17：15 。
【考点】日期和时间的推算．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】17：15。
【分析】用放学的时间+回家需要的时间＝到家的时间，据此解答。
【解答】解：16时45分+30分＝17时15分
他到家的时间是17：15。
故答案为：17：15。
【点评】本题是考查钟表的认识与时间的推算，属于基础知识，要熟练掌握。
15．（3分）一只军舰鸟的体重约1千克600克，相当于 1.6 千克；翼长2米1分米，相当于 2.1 米；骨重113克，相当于 0.113 千克。
【考点】质量的单位换算；长度的单位换算．
【专题】长度、面积、体积单位；数据分析观念．
【答案】1.6，2.1，0.113。
【分析】小单位转化为大单位，需要除以它们之间的进率，除以10，100，1000，10000，相当于把小数点向左移动1位、2位、3位、4位。
（1）把克转化为千克，需要除以它们之间的进率1000。600÷1000＝0.6，即600克＝0.6千克，1千克600克＝1.6千克；
（2）把分米转化为米，需要除以它们之间的进率10。1÷10＝0.1，即1分米＝0.1米，2米1分米＝2.1米。
（3）把克转化为千克，需要除以它们之间的进率1000。113÷1000＝0.113，即113克＝0.113千克。
【解答】解：一只军舰鸟的体重约1千克600克，相当于1.6千克；翼长2米1分米，相当于 2.1米；骨重113克，相当于0.113千克。
故答案为：1.6，2.1，0.113。
【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之，则除以进率。
16．（4分）在横线上填上“＞”“＜”“＝”。
1吨50千克 ＜ 1500千克
37+27 ＞ 一半
1分20秒 ＜ 120秒
7毫米 ＜ 70厘米
【考点】分数大小的比较；质量的单位换算；时、分、秒及其关系、单位换算与计算；长度的单位换算．
【专题】运算能力．
【答案】＜，＞，＜，＜。
【分析】（1）1吨＝1000千克，所以1吨50千克＝1050千克，再与1500千克进行比较即可；
（2）一半是12，计算出37+27的结果，由此进行比较即可；
（3）1分＝60秒，1分30秒＝90秒，所以1分30秒＜120秒。
（4）1厘米＝10毫米，70厘米＝700毫米，所以700毫米＞7毫米。
【解答】解：1吨50千克＝1050千克
1050千克＜1500千克
1吨50千克＜1500千克
37+27=57
一半=12
37+27＞一半
1分20秒＝80秒
80秒＜120秒
1分20秒＜120秒
70厘米＝700毫米
7毫米＜700毫米
7毫米＜70厘米
故答案为：＜，＞，＜，＜。
【点评】本题考查了单位名称的互化和分数大小比较的方法。
17．（1分）一家快递公司1台智能机器人15分钟能处理特殊订单20个，照这样的速度，1台智能机器人6.5小时能处理 520 个特殊订单。
【考点】简单的归一应用题．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】520。
【分析】6.5小时＝390分钟，用1台智能机器人15分钟能处理特殊订单的个数除以15，得出1台智能机器人1分钟能处理特殊订单的个数，再乘390，即可得1台智能机器人6.5小时能处理特殊订单的个数。
【解答】解：6.5小时＝390分钟
20÷15×390
=43×390
＝520（个）
答：1台智能机器人6.5小时能处理520个特殊订单。
故答案为：520。
【点评】本题主要考查了简单的归一应用题，关键是得出1台智能机器人1分钟能处理特殊订单的个数。
三．操作题（共1小题，满分8分，每小题8分）
18．（8分）下面每个小正方形的边长看作1厘米。
（1）画一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形。
（2）画一个正方形，使它的周长是长方形的2倍。
（3）用阴影涂出两个图形的12。
【考点】画指定长、宽（边长）的长方形、正方形；画指定周长的长方形、正方形；分数的意义和读写．
【专题】几何直观．
【答案】（1）（2）（3）（涂色方法不唯一）
【分析】（1）根据长方形的特征，画一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形即可。
（2）根据长方形的周长公式求出长方形的周长，然后求出正方形的周长，结合正方形的周长÷4＝边长，求出正方形的边长，画图即可。
（3）用阴影涂出两个图形的12即可。
【解答】解：（1）画一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形。如图：
（2）（4+2）×2×2÷4
＝24÷4
＝6（厘米）
画一个正方形，使它的周长是长方形的2倍。如图：
（3）用阴影涂出两个图形的12。如图：
（涂色方法不唯一）
【点评】本题考查了长方形和正方形的画法，结合长方形和正方形周长公式解答即可。
四．计算题（共4小题，满分30分）
19．（6分）直接写得数。
【考点】分数的加法和减法；千以内加减法；一位数乘三位数；0的乘除运算．
【专题】运算顺序及法则；运算能力．
【答案】100，325，66，0，65，1010，38，47。
【分析】根据整数加减乘法的计算法则以及分数加减法的计算方法口算即可。最后一题根据“减数＝被减数﹣差”解答即可。
【解答】解：
故答案为：47。
【点评】解答本题关键是熟练掌握计算法则正确进行计算。
20．（3分）直接写得数。
【考点】一位数乘三位数；数的估算．
【专题】运算能力．
【答案】54；3000；480；990；100；1000；4200；2800；1000；120；1212；2400；1600；1200；720；1400。
【分析】根据一位数乘两、三位数的计算方法和估算方法，依次口算结果。
【解答】解：
【点评】本题解题的关键是熟练掌握一位数乘两、三位数的计算方法和估算方法。
21．（14分）笔算（带★的要验算）。
【考点】列竖式计算乘法；千以内加减法．
【专题】运算能力．
【答案】189；417；6584；3663；4500。
【分析】根据整数加减法和乘法的计算方法进行计算，注意验算。
【解答】解：803﹣614＝189
259+158＝417
823×8＝6584
407×9＝3663
750×6＝4500
【点评】考查了整数加减法和乘法的笔算，根据各自的计算方法进行计算，注意验算。
22．（7分）用你喜欢的方法计算。
（1）59-16+49
（2）1320+14+720
（3）1-(815+15)
【考点】分数的加法和减法．
【专题】运算能力．
【答案】（1）56；（2）114；（3）415。
【分析】（1）利用加法的交换律进行简便计算。
（2）利用加法的交换律进行简便计算。
（3）先算小括号里面的加法，再算减法。
【解答】解：（1）59-16+49
=59+49-16
＝1-16
=56
（2）1320+14+720
=1320+720+14
＝1+14
=114
（3）1-(815+15)
＝1-1115
=415
【点评】本题解题关键是熟练掌握分数加减混合运算的计算方法，能够根据算式的特点运用合适的运算定律进行简便计算。
五．应用题（共4小题，满分24分）
23．（5分）光明小学长方形体育场的长为140米，宽为120米，小东绕操场四周跑了4圈，一共跑了多少米？
【考点】长方形的周长．
【专题】应用意识．
【答案】2080米。
【分析】先根据长方形的周长＝（长+宽）×2，求出长方形操场一圈的长度，再乘4即可求得一共跑了多少米。
【解答】解：（140+120）×2×4
＝260×2×4
＝520×4
＝2080（米）
答：一共跑了2080米。
【点评】此题主要考查长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．（5分）三（1）班有男生24人，女生18人，每6人一组做游戏，一共能分几个小组？
【考点】带括号的表内除加、除减．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】7个。
【分析】根据题意，先把男生和女生的人数相加求出总人数，然后再除以6即可求出一共能分几个小组。
【解答】解：（24+18）÷6
＝42÷6
＝7（个）
答：一共能分7个小组。
【点评】本题主要考查了整数除法的意义和实际应用，求出学生总人数是关键。
25．（5分）一堆棋子共有80枚，其中35是黑子，其余的是白子。黑子有多少枚？白子呢？
【考点】分数的意义和读写．
【专题】应用意识．
【答案】48枚，32枚。
【分析】把棋子的总数看作单位“1”，把棋子总数平均分成5份，求其中的3份，就是黑子的枚数；用棋子总数减去黑子枚数，计算白子枚数即可。
【解答】解：80÷5×3
＝16×3
＝48（枚）
80﹣48＝32（枚）
答：黑子有48枚，白子有32枚。
【点评】本题主要考查分数的意义及应用。
26．（9分）学校组织一、二年级学生看电影。一年级236人，二年级257人。
（1）共有500个座位。座位够吗？
（2）电影傍晚6：30开始，8：00结束，放映了多长时间？
【考点】日期和时间的推算；千以内加减法．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】（1）够；（2）90分钟。
【分析】（1）先用加法计算共学生有多少人，然后和座位数相比较即可；
（2）用结束的时刻﹣开始的时刻即可。
【解答】解：（1）236+257＝493（人）
500＞493
答：座位够。
（2）8时﹣6时30分＝1小时30分钟＝90分钟
答：放映了90分钟。
【点评】熟练掌握加法的应用和经过的时间＝结束的时刻﹣开始的时刻，是解答本题的关键。
考点卡片
1．1000以内数比较大小
【知识点归纳】
1、数的大小比较方法
①位数多的大于位数少的数；
②位数相同时，就比较最高位上的数字，数字大的这个数就大，反之就小；
③如果最高位上的数字相同，就比较下一位上的数，依次类推。
2、最大最小数
最大的一位数是9，最小的一位数是0；
最大的两位数是99，最小的两位数是10，两位数最高位是十位。
最大的三位数是999，最小的三位数是100，三位数最高位是百位。
最大的四位数是9999，最小的四位数是1000，四位数最高位是千位。
【方法总结】
位数不同比大小，位数多的大，位数少的小。
位数相同比大小，高位比起就知道。
【常考题型】
1、把下面自行车的价格从大到小排列。
答案：980＞520＞375＞370
2、在〇里填上＞或＜。
799〇800 485〇490 534〇529 632〇623 802〇820
答案：＜；＜；＞；＞；＜
3、用2、5、8三个数字组成不同的三位数，并把它们按从小到大的顺序排列。
答案：852＞825＞582＞528＞285＞258
2．分数的意义和读写
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
3．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．
【命题方向】
常考题型：
例1：小于34而大于14的分数只有24一个分数． × （）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将34和14的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在14和34间会出现无数个真分数，所以，大于14而小于34的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
4．加法和减法的关系
【知识点归纳】
1、加法的意义：把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。
2、加法各部分的名称：相加的两个数叫做加数。加得的数叫做和。
3、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。
4、减法各部分的名称：在减法中，已知的和叫做被减数，已知的一个加数叫做减数，求得的另一个加数叫做差。
5、加法与减法的关系：减法是加法的逆运算。
【方法总结】
加、减法的意义和各部分间的关系：
和＝加数+加数
加数＝和﹣另一个加数
差＝被减数﹣减数
减数＝被减数﹣差
被减数＝减数+差
【常考题型】
口算题。
答案：10；7；5；9；1；10；9；4
5．千以内加法
【知识点归纳】
1、口算两位数的加法：
（1）个位上的数加个位上的数，整十数加整十数，再把两个结果加起来；
（2）一个两位数加另一个两位数的整十数，再用它们的结果加上剩下的一位数。
2、、三位数加两三位数笔算方法：
（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
【方法总结】
1、三位数加两位数，把相同数位对齐，然后把相同数位上的数相加，得数写在相应的数位上。哪一位相加满十就要向前一位进1。
2、把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等说明结果正确；不相等，则说明有一次结果不正确，需要重新计算。
【常考题型】
小明在做一道加法题时，把其中的一个加数54写成了45，得到的和是290。聪明的小朋友，你知道正确的结果是多少吗？
答案：290﹣45+54＝299
站前小学二年级为本校一名贫困生捐款。一班捐了178元，二班捐了251元，这两个班一共捐了多少元？
答案：178+251＝429（元）
6．千及以上数的加减法
【知识点归纳】
1、（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
2、千及以上的数减法笔算方法：
（1）先把相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，要从前一位退1，在本位上加10再减；
（2）当个位不够减需要退位时，如果十位上是0，无1可退，就要从百位上退1当成10个十先传递到十位，再从十位退1到个位，当成10个一再计算。
【方法总结】
相同数位要对齐，从个位加起，如果有进位，不要忘记加进位数。
2、在计算加减混合运算时，遇到能简便计算的，可以简便计算。
【常考题型】
口算题。
答案：5645；1659；4441
书城进货了2128本图书，第一周卖出去了1023本，第二周进货了1681本，现在书城有多少本图书？
答案：2128﹣1023+1681＝2786（本）
7．千以内加减法
【知识点归纳】
1、（1）计算时先把相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十，要向前一位进一。
（2）加法验算方法：把两个加数的位置调换后再加一遍，两次得到的结果相等就说明计算结果正确，不相等，则说明计算结果不正确，需要重新计算。
2、千以内减法笔算方法：
（1）先把相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减，要从前一位退1，在本位上加10再减；
（2）当个位不够减需要退位时，如果十位上是0，无1可退，就要从百位上退1当成10个十先传递到十位，再从十位退1到个位，当成10个一再计算。
【方法总结】
1、相同数位要对齐，从个位加起，如果有进位，不要忘记加进位数。
2、在计算加减混合运算时，遇到能简便计算的，可以简便计算。
【常考题型】
口算题。
答案：437；202；650
2、书城进货了928本图书，第一周卖出去了123本，第二周进货了181本，现在书城有多少本图书？
答案：928﹣123+181＝986（本）
8．一位数乘三位数
【知识点归纳】
1、三位数（中间有0）乘一位数的笔算：
从个位乘起，用一位数依次去乘三位数中每一位上的数（包括0），当个位乘的的积向十位进位时，将进上来的数写在十位上，如果个位上没有进位，那么十位上就用0占位。
2、三位数（末尾有0）乘一位数的笔算：
乘数末尾有0的，一位数要与它的末尾0前面的数对齐，先乘0前面的数，再看乘数末尾有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【方法总结】
一位数与三位数相乘也分了两个层次：
（1）横式计算。通过横式计算说明一位数与三位数相乘的基本算法：可以把三位数因数分拆成几百、几十、和几，分别与另一个因数相乘，再将几个部分积相加。
（2）竖式计算。通过让学生运用已学的知识，将使用竖式计算一位数与两位数相乘问题的方法迁移到计算一位数与三位数相乘，培养学生的迁移能力和探究能力。
【常考题型】
一个微波炉758元，要买3个，总共要花多少钱？
答案：758×3＝2274（元）
一个电饭煲268元，要买2个，总共要花多少钱？
答案：268×2＝536（元）
9．列竖式计算乘法
【知识点归纳】
1、三位数乘两位数的计算方法：列竖式计算三位数乘两位数时，相同数位对齐，先用两位数个位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十，就向前一位进几，得数的末位和两位数的个位对齐；再用两位数十位上的数去乘三位数，哪一位上的乘积满几十就向前一位进几，得数的末位和两位数的十位对齐；最后把两次乘得的积相加，相加时，哪一位满几十同样向前一位进几。
【方法总结】
1、乘数中间或末尾有0的三位数乘两位数的计算方法。
（1）乘数中间有0时，这个0也要乘；与0相乘时，如果有进位数一定要加上进位数，如果没有进位数，就写0占位。
（2）乘数末尾有0时，可以先把0前面的数相乘，再看乘数末尾一共有几个0，就在积的末尾添上几个0。
【常考题型】
1、计算16×300时，可以先算（ ），再在积的末尾添（ ）。
答案：16×3；两个0
2、12的103倍是（ ），31个200是（ ）。
答案：1236；6200
10．0的乘除运算
0的乘除运算
1.0和任何数相乘等于0。
2.0不能做除数。
3.0除以任何一个数（0除外），都得0。
11．带括号的表内除加、除减
【知识点归纳】
加减乘除混合运算规则：
1、同级运算时，从左到右依次计算。
2、两级运算时，先乘除后加减。
3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。
【方法总结】
1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。
2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。
3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。
4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。
【常考题型】
口算题。
答案：20；12；14
12．数的估算
【知识点解释】
没有经过准确计算，是对计算结果的一种估计，叫做估算．
估算方法：
①四舍五入法：
例：π（保留两位小数）≈3.14
②进一法：
例：一支笔2.6元，四支需多少钱（保留到整数）
解：2.6×4＝10.4元≈11元
如果四舍五入的话是10元，是不够的，所以是要进上去的
③去尾法：
例：有20元，买3元一支的笔，可卖多少支？
解：20÷3＝6.6666…支≈6支
如果四舍五入是7支，买不到，所以是要去掉的．
【命题方向】
常考题型：
例：估计与288.9×1.756的积最接近的数是（ ）
A、400 B、500 C、600 D、1000
分析：根据小数乘法的估算方法：把相乘的因数看成最接近它的整数来算；288.9≈290，1.756≈1.8，所以与288.9×1.756的积最接近的数是290×1.8≈500，据此选择即可．
解：因为288.9×1.756≈290×1.8≈500，
所以与288.9×1.756的积最接近的数是500．
故选：B．
点评：此题考查了小数乘法的估算方法，注意把相乘的数看成最接近它的整数．
13．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少13千克后是 523 千克，6千克减少它的13后是 4 千克．
分析：（1）第一个13千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个13是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的13，由此列式解决问题．
解：（1）6-13=523（千克）；
（2）6﹣6×13=6﹣2＝4（千克）．
故答案为：523，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了34km，第二周修了56km，第三周比前两周修的总和少38km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少38km，两周修的总和为：（34+56）km，那么第三周修了：（34+56）-38
解：（34+56）-38，
=34-38+56，
=38+56，
=924+2024
＝1524（km）
答：第三周修了1524km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
14．质量的单位换算
【知识点归纳】
1吨＝1000千克＝1000000克，
1千克＝1000克，
1公斤＝1000克＝2斤，
1斤＝500克．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：1千克的沙子与1000克的棉花相比（ ）
A、一样重 B、沙子重 C、棉花重
分析：把1千克换算成用克作单位的数，要乘它们之间的进率1000，然后再进一步解答即可．
解：根据题意可得：
1×1000＝1000；
1千克＝1000克；
所以，1千克的沙子与1000克的棉花一样重．
故选：A．
点评：单位不同，先换成统一单位，再比较大小，然后进一步解答即可．
例2：2.05千克＝ 2 千克 50 克＝ 2050 克．
分析：把2.05千克化成复名数，整数部分2就是千克数，再把0.05千克化成克数，用0.05乘进率1000；
把2.05千克化成克数，用2.05乘进率1000，即可得解．
解：0.05×1000＝50（克），
2.05千克＝2千克50克；
2.05×1000＝2050（克），
2.05千克＝2050克；
故答案为：2，50，2050．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之则除以进率．
15．时、分、秒及其关系、单位换算与计算
【知识点归纳】
两个日期或时刻之间的间隔叫时间．
时、分、秒相邻两个单位进率是60，
1小时＝60分＝3600秒，
1分＝60秒．
单位换算：大单位换小单位乘以它们之间的进制，小单位换大单位除以它们之间的进制．
【命题方向】
常考题型：
例1：3.3小时是（ ）
A、3小时30分 B、3小时18分 C、3小时3分
分析：1小时＝60分，据此即可求解．
解：3.3小时＝3+0.3小时，
0.3×60＝18（分），
所以3.3小时＝3小时18分；
故选：B．
点评：此题主要考查时间单位间的换算．
例2：三个人在同一段路上赛跑，甲用0.2分，乙用730分，丙用13秒．（ ）的速度最快．
A、甲 B、乙 C、丙
分析：先把时间都换算成秒数，再比较谁最快，因为路程相等，谁用的时间最少谁就最快．
解：甲的时间是：0.2分＝12秒，
乙的时间是：730分＝14秒，
丙的时间是：13秒，
在12秒、14秒、13秒三个时间中，12秒最少，即甲的速度最快．
故选：A．
点评：此题关键是把时间统一单位，明确同样的路程，用的时间最少的是速度最快的．
16．日期和时间的推算
【命题方向】
常考题型：
例1：小明妈妈晚上10时睡觉，第二天早晨6时起床．小明妈妈睡了（ ）小时．
A、4 B、8 C、9 D、10
分析：把这一段时间分成2段：（1）晚10时到晚上0时，求出一共过了几小时；（2）0时到6时，求出一共过了几小时；把这两段时间加起来就是她睡眠的时间．
解：12时﹣10时＝2小时，
2小时+6小时＝8小时，
答：小明妈妈睡了8小时．
故选：B．
点评：这类时间推算的题目先把这一时间进行合理的分段，再算每一段的时间，进而求出时间的总和．
例2：今天是星期四，那么再过40天是（ ）
A、星期一 B、星期二 C、星期三
分析：用40除以7，求出40天里面有几周，还余几天，再根据余数推算．
解：40÷7＝5（周）…5（天）；
余数是5，从星期四再过5天就是星期二．
故选：B．
点评：解决这类问题先求出经过的天数，再求经过的天数里有几周还余几天，再根据余数推算．
17．根据情景选择合适的计量单位
【知识点归纳】
货币单位：元、角、分．1元＝10角，1角＝10分．
时间单位：年、月、日、时、分、秒．1日＝24小时，1小时＝60分，1分＝60秒，1年＝12月．
长度单位：千米（公里）、米、分米、厘米、毫米．1千米＝1000米，1米＝10分米＝100厘米，1分米＝10厘米，1厘米＝10毫米．
面积单位：平方米、平方分米、平方厘米．1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米．
地积单位：平方千米、公顷、公亩．1平方千米＝100公顷，1公亩＝100平方米，1公顷＝100公亩＝10000平方米．
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米．1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米．
容积单位：升、毫升．1升＝1000毫升，1升＝1立方分米，1毫升＝1立方厘米．
质量单位：吨、千克（公斤）、克．1吨＝1000千克，1千克＝1000克．
一般的，货币、长度相邻两个单位进率是10，体积、容积、质量相邻两个单位进率是1000，面积、地积相邻两个单位是100，时间中时分秒相邻两个单位进率是60．
根据情景选择合适的计量单位，根据生活经验，对每种单位和数据大小的认识，即可做出选择．
【命题方向】
常考题型：
例：一台电脑显示器的占地面积是9C ，占据的空间是27B ．
A．平方厘米 B．立方分米 C．平方分米 D．立方厘米．
分析：根据生活经验、对面积单位、体积单位和数据的大小，可知计量一台电脑显示器的占地面积应用“平方分米”做单位；计量占据的空间应用“立方分米”做单位．
解：一台电脑显示器的占地面积是9平方分米，
占据的空间是27立方分米．
故答案为：C、B．
点评：此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小，灵活的选择．
18．简单的归一应用题
【知识点归纳】
已知相互关联的两个量，其中一个量在改变，另一个量也随之改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题．
归一问题可以分为一次归一问题、两次归一问题．
一次归一问题：用一步运算就能求出单一量的归一问题，又称单归一
两次归一问题：用两步运算才能求出单一量的归一问题，又称双归一
归一问题还可以分为正归一问题、反归一问题．
正归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用乘法计算结果的归一问题
反归一问题：用等分除法求出单一量之后，再用除法计算结果的归一问题
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后，以它为标准，根据题目的要求算出结果．
数量关系式：单一量×份数＝总数量（正归一）
总数量÷单一量＝分数（反归一）
【命题方向】
常考题型：
例1：计划5小时做40个零件，3小时做这批零件的（ ）
A、35 B、45 C、34
分析：先算出平均每小时做多少个零件，再算出3小时做多少个零件，把40件零件看做单位“1”，进一步求出3小时做的占40件得几分之几．
解：平均每小时做的零件数：40÷5＝8（个），
3小时做的零件数：8×3＝24（个），
3小时做的占40件的：24÷40=35．
答：3小时做这批零件的35．
故选：A．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量，进一步得出答案．
例2：3台织布机4小时织布336米，照这样计算，1台织布机8小时织布多少米？
分析：照这样计算，说明每台织布机，每小时织布量不变，先用336除以3台，求出每台4小时的织布量，再除以4小时，求出每台每小时的织布量，然后乘上8小时即可求解．
解：336÷3÷4×8，
＝112÷4×8，
＝28×8，
＝224（米）；
答：1台织布机8小时织布224米．
点评：解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．
19．长度的单位换算
【知识点归纳】
1千米＝1000米，
1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米；
1分米＝10厘米＝100毫米；
1厘米＝10毫米．
单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
【命题方向】
常考题型：
例1：和3.6千米相等的是（ ）
A、360米 B、3600米 C、3千米6米
分析：根据题意，先把3.6千米换算成用米作单位的数，然后再进行解答即可．
解：3.6×1000＝3600；
所以，3.6千米＝3600米；
故选：B．
点评：单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率．
例2：用“米”作单位计算，“8米6厘米十5米60厘米”的正确算式是（ ）
A、8.6+5.6 B、8.06+5.06 C、8.06+5.6
分析：此题应先把复名数换算成单名数，再进行计算：
（1）把8米6厘米换算成米数，先把6厘米换算成米数，用6除以进率100，得数再加上8即可；
（2）把5米60厘米换算成米数，先把60厘米换算成米数，用60除以进率100，得数再加上5即可，据此即可做出正确选择．
解：因为8米6厘米＝8.06米，
5米60厘米＝5.6米，
所以8米6厘米十5米60厘米＝8.06+5.6（米）；
故选：C．
点评：此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，反之，则除以进率．
20．大面积单位间的进率及单位换算
【知识点归纳】
1平方千米＝100公顷＝1000000平方米
1公顷＝10000平方米
【命题方向】
常考题型：
边长是100米的正方形土地的面积是1公顷． √ ．（）
分析：1公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷；据此进行判断．
解：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，即1公顷；
故答案为：√．
点评：此题考查土地面积单位公顷的规定：边长是100米的正方形土地的面积是10000平方米，也即1公顷．
21．长方形的周长
【知识点归】
周长：图形一周的长度，就是图形的周长；周长的长度等于图形所有边的和．一般用字母C来表示．
计算方法：
①周长＝长+宽+长+宽
②周长＝长×2+宽×2
③周长＝（长+宽）×2．
【命题方向】
常考题型：
例1：用一根长38厘米的铁丝围长方形，使它们的长和宽都是整厘米数，可以有（ ）种围法．
A、7 B、8 C、9 D、10
分析：要求有几种围法，应依据长方形的周长公式，求出长和宽的和，再据条件“长和宽都是整数”进行推算即可．
解：长方形的周长＝（长+宽）×2
所以长与宽之和是：38÷2＝19（厘米）
由此可知：1+18＝19、2+17＝19、3+16＝19、4+15＝19、5+14＝19
6+13＝19、7+12＝19、8+11＝19、9+10＝19．
一共有9种方法．
故选：C．
点评：此题主要考查长方形的周长公式及整数的加减问题，依据题目条件，可以推算出结果．
例2：一个周长为20米的长方形，如果把它的长和宽都增加5米，那么它的周长增加（ ）
A、10米 B、20米 C、30米 D、40米
分析：抓住“长和宽都增加5米”，那么周长就增加了2个（5+5）的长度．由此计算得出即可选择正确答案．
解：（5+5）×2
＝10×2
＝20（米）；
答：那么它的周长增加20米．
故选：B．
点评：此题考查了长方形的周长公式的灵活应用．
【解题思路点拨】
（1）常规题求长方形的周长，分别找出长和宽，代入公式即可求得．
（2）周长概念和公式要理解牢记．
22．正方形的周长
【知识点归纳】
正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长＝边长×4．
用字母表示为c＝4a．
【命题方向】
常考题型：周长与边长的关系
例1：正方形的边长是周长的（ ）
A、14 B、12 C、18 D、13
分析：因为正方形的周长是四条边的和，并且正方形的4条边都相等，所以正方形的边长是周长的14．
解：正方形的周长＝边长×4，所以正方形的边长是周长的14．
故选：A．
点评：此题主要考查正方形的边长和周长的关系，根据正方形周长是边长的4倍即可得出二者的关系．
例2：一个边长2分米的正方形，如果在四个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形，那么它周长与原来比，结果是（ ）
A、减小 B、不变 C、增加
分析：正方形对边相等，所以减去后周长不变．
解：因为正方形对边相等，所以减去后周长不变．
故选：B．
点评：此题考查学生对空间的想象力．
【解题思路点拔】
（1）常规题求正方形周长，先求出边长，代入公式即可得．
23．画指定长、宽（边长）的长方形、正方形
【知识点归纳】
在方格中数小正方体的棱边数目，正方形和长方形都是固定的．
【命题方向】
常考题型：
例：下面小正方形的边长是1厘米
（1）画一个边长是3厘米的小正方形．
（2）画一个长5厘米，宽2厘米的长方形．
（3）画一个周长是10厘米的四边形．
（4）用阴影涂出其中一个图形的12．
分析：（1）（2）根据长方形、正方形的定义和已知的边长即可画图；
（3）画周长为10厘米的四边形，此题答案不唯一，可以画一个长3厘米，宽2厘米的长方形，它的周长是（3+2）×2＝10厘米；
（4）把（3）中画出的长方形涂色：这个长方形正好占了3×2＝6格，所以把其中的3个格涂色，正好是这个图形的12．
解：根据题干分析，画图如下：
点评：此题主要考查指定边长或周长的长方形、正方形的画法．
24．画指定周长的长方形、正方形
【知识点归纳】
在方格中数小正方体的棱边数目，正方形是固定的，长方形的长和宽是不定的，只要周长等于指定值即可．
【命题方向】
常考题型：
例：在下面的方格纸上画出周长是16厘米的长方形和正方形．
分析：画周长是16厘米的正方形，它的边长就是16÷4＝4厘米；
画周长是16厘米的长方形，那么长与宽的和就是8厘米，8＝5+3，所以长方形的长可以是5厘米，宽就是3厘米；（答案不唯一）；据此画出即可．
解：16÷4＝4（厘米）；
正方形的边长是4厘米．
16÷2＝8（厘米）；
8＝5+3，长方形的长是5厘米宽是3厘米；（答案不唯一）；
图如下：
点评：解决本题先根据周长分别求出长方形的长和宽，以及正方形的边长．
25．容斥原理
【知识点归纳】
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数
用符号可表示成：A∪B＝A+B﹣A∩B （其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思）．
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C＝A+B+C﹣A∩B﹣B∩C﹣A∩C+A∩B∩C
【命题方向】
经典例题：
例1：聚会时，有5人喝可乐，有6人喝果汁，有4人喝茶水，其中有3人既喝果汁又喝茶水，有（ ）人参加聚会．
A、18 B、12 C、10
分析：由题意可知，聚会人数＝喝可乐的人数+喝果汁的人数+喝茶水的人数﹣既喝果汁又喝茶水的人数即可．
解：5+6+4﹣3＝12（人）
答：共有12人参加聚会．
故选：B
点评：此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题
例2：用圆圈表示星球上的空气，各星球上的空气所含的不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示（如图）．已知天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有．那么图中字母（ ）表示氦气．
A、X B、Y C、Z D、W
分析：根据“不同气体用不同的字母表示，相同的气体用相同的字母表示”，得出Z是三个星球都含有的气体，W是只有天王星含有的气体，Y是只有冥王星含有的气体，而X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，由此即可得出答案．
解：根据题意和所给出的图知道，
Z是三个星球都含有的气体，
W是只有天王星含有的气体，
Y是只有冥王星含有的气体，
X是海王星和天王星含有的气体，而冥王星不含有该气体，
而天王星与海王星上的空气中都含有氦气，冥王星上没有，
所以，图中字母X表示氮气．
故选：A．
点评：解答此题的关键是，在理解题意的基础上，要会看韦恩图（即利用容斥原理的表示图）．
26．最优化问题
【知识点归纳】
最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析．
最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举．
【命题方向】
常考题型：
例1：星期日，红红想帮奶奶做下面的事情：用全自动洗衣机洗衣服30分，扫地擦地15分，洗菜8分，经过合理安排，做完这些事情至少要（ ）分．
A、45 B、38 C、30
分析：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，据此即可解答问题．
解：根据题干分析可得，用全自动洗衣机洗衣服需要30分钟，同时可以扫地擦地和洗菜，
所以最小需要30分钟即可完成．
故选：C．
点评：较大此类问题要奔着各项工作不相互冲突，又能节约时间的思想设计工作程序．
经典题型：
例2：汽水买5送1，某班30名同学秋游路上想买水喝，只需要买（ ）瓶汽水．
A、30 B、25 C、28 D、24
分析：根据“买5送1”可知买5瓶实际得到6瓶，30名同学可以买（30÷6）5个5瓶，送1×5＝5瓶，所以只买：30﹣5＝25瓶，据此解答．
解：30﹣1×[30÷（5+1）]，
＝30﹣5，
＝25（瓶）；
答：只需要买25汽水．
故选：B．
点评：本题关键是求出买30瓶能送几瓶汽水．

名称
苹果
梨
桃子
香蕉
柚子
质量/千克
650
540
210
700
450
（1）天安门广场是世界上最大的广场，面积大约40
（2）我们学校教室的面积是56
（3）3.6公顷＝ 平方千米
（4）0.25小时＝ 分
36+64＝
400﹣75＝
22×3＝
987×0＝
13×5＝
505×2＝
18+28=
1﹣ =37
27×2＝
500×6＝
120×4＝
330×3＝
4×25＝
125×8＝
60×70＝
400×7＝
500×2＝
24×5＝
202×6＝
600×4＝
398×4≈
4×294≈
89×8≈
709×2≈
★803﹣614＝
★259+158＝
823×8＝
407×9＝
750×6＝
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
C
B
A
C
D
B
A
名称
苹果
梨
桃子
香蕉
柚子
质量/千克
650
540
210
700
450
（1）天安门广场是世界上最大的广场，面积大约40 公顷
（2）我们学校教室的面积是56 平方米
（3）3.6公顷＝ 0.036 平方千米
（4）0.25小时＝ 15 分
（1）天安门广场是世界上最大的广场，面积大约40公顷
（2）我们学校教室的面积是56平方米
（3）3.6公顷＝0.036平方千米
（4）0.25小时＝15分
36+64＝
400﹣75＝
22×3＝
987×0＝
13×5＝
505×2＝
18+28=
1﹣ 47 =37
36+64＝100
400﹣75＝325
22×3＝66
987×0＝0
13×5＝65
505×2＝1010
18+28=38
1-47=37
27×2＝
500×6＝
120×4＝
330×3＝
4×25＝
125×8＝
60×70＝
400×7＝
500×2＝
24×5＝
202×6＝
600×4＝
398×4≈
4×294≈
89×8≈
709×2≈
27×2＝54
500×6＝3000
120×4＝480
330×3＝990
4×25＝100
125×8＝1000
60×70＝4200
400×7＝2800
500×2＝1000
24×5＝120
202×6＝1212
600×4＝2400
398×4≈1600
4×294≈1200
89×8≈720
709×2≈1400
★803﹣614＝
★259+158＝
823×8＝
407×9＝
750×6＝
5+5＝
5+2＝
9﹣4＝
8+1＝
2﹣1＝
4+6＝
2+7＝
9﹣5＝
1324+4321＝
3291﹣1632＝
1212+3229＝
192+245＝
321﹣119＝
294+356＝
（36÷3）+8＝
（24÷8）+9＝
（56÷8）+7＝