2025-2026学年上学期成都小学数学六年级期末典型卷2

这是一份2025-2026学年上学期成都小学数学六年级期末典型卷2，共67页。试卷主要包含了观察下图，下列说法正确的是，下面说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．仔细观察日历图，分析正方形框内4个数有什么关系。若设其中一个数为m，则其它3个数表示有错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．某客运列车从A地出发，行驶途中经过北京、济南、上海三站到达B地，火车站应该准备（ ）种不同的单程车票。
A．6B．8C．10D．12
3．张阿姨在银行存了18000元，到期取出后共得利息1485元，根据下面的利息表，可以判断她存了（ ）年。
A．半B．一C．二D．三
4．观察下图，下列说法正确的是（ ）
A．从前面和右面看到的形状相同
B．从上面和左面看到的形状相同
C．从左面和右面看到的形状相同
5．用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（ ）
A．甲剩的多B．乙剩的多
C．丙剩的多D．剩的一样多
6．一杯糖水含糖率是24%，喝了13后，剩下糖水的含糖率是（ ）
A．24%B．16%C．8%D．48%
7．小明用一张长2dm，宽8cm的长方形纸，剪一个最大的半圆，半圆的直径是（ ）
A．2dmB．8cmC．1dmD．16cm
8．已知如图中阴影部分的面积是20平方厘米，圆环的面积是（ ）平方厘米。
A．80B．20πC．40πD．80π
9．下面说法错误的是（ ）
A．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数
B．求比值要用比的前项除以比的后项
C．乙数的14与甲数相等，甲乙两个数的比是4：3
D．把一块正方体的橡皮泥捏成长方体后，它的形状变了，体积没有变
10．某公司组织登山活动，他们以每小时x千米的速度登山，行进一段时间后队伍开始休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以每小时y千米（0＜y＜x）的速度继续前进，直达山顶。那么他们登山的路程S（千米）与时间t（分）之间的图象大致是（ ）
A．B．
C．
二．填空题（共10小题）
11．百分之七写作 ， 个17是57。
12．用800颗大豆种子做发芽实验，发芽率是95%，未发芽的大豆种子有 颗。
13．4÷ =( )60=30：75＝ %＝ 折。
14．要反映100g牛奶中各种营养物质的占比情况，选用 统计图最合适。
15．“六一”儿童节商场全场打八折销售，小丽买了一件原价150元的裙子，便宜了 元；妈妈花150元买了一件上衣，比原价便宜了 元。
16．有一个电动玩具，它有一个长方形盘和一个半径为1cm的小圆盘（盘中画有笑脸），它们的连接点为A、B点（如图），如果小圆盘从A点出发，沿着长方形内壁不停地滚动（无滑动），最后回到原来的位置。小圆盘共转了 圈。
17．大圆和小圆的半径比是3：2，它们的周长比是 ，面积比是 。
18．在长12cm，宽8cm的长方形铁皮上剪一个最大的半圆，半圆的周长是 cm，半圆的面积是 cm2。
19．你知道吗？当人的下半身与身高的比值为0.6左右时，被称作“黄金比”，身材显得最美。妈妈身高160cm，下半身长94cm，她平时喜欢穿高跟鞋，鞋的最佳高度是 cm。
20．同行一段路，甲车用8小时，乙车用10小时，甲、乙两车速度的最简整数比是 。甲车的速度比乙车的快 %。
三．计算题（共4小题）
21．直接写出得数。
22．按要求作答。
（1）0.75：18（求比值）
（2）34：0.15（化简比）
23．计算下面各题，怎样简便就怎样算。
（35+47）×5×7
79÷115+29×115
（58−112−524）×48
24．解方程。
58x÷712=14
89x-12x=711
（24%+37%）x＝18.3
四．解答题（共7小题）
25．2024年10月12日下午，神舟十四号飞行乘组三位航天员面向全国青少年进行了中国空间站天宫课堂第三课的授课。文文对同学们就这次授课最感兴趣的项目进行了调查，并将部分调查结果记录在下面的统计图中。
学生对四个项目最感兴趣人数统计表
根据上面统计图表的信息，把不完整的统计表和统计图补充完整，并在下面写出计算过程。
26．求图中阴影部分的面积。
27．一件商品售价比原来降低13后是24元，原价是多少元？
28．课后服务时间，四年级学健美操的有73人，比学硬笔书法人数的2倍多19人。学硬笔书法的有多少人？（列方程解答）
29．阳光小学开展社团活动，美术组的人数是书法组的34，书法组与体育组的人数比是5：8。已知美术组有30人，体育组有多少人？
30．胜利小区修建一个直径为8米的圆形喷泉，这个喷泉要占多大地方？如果张大爷一步长0.8米，试求张大爷绕喷泉走一圈大约要走多少步？
31．小王收集邮票120张，正好是小张收集邮票的38，小林与小张收集邮票张数的比是4：5，小林收集邮票多少张？
五．应用题（共3小题）
32．乐乐看一本课外书，已经看了25页，正好看了这本书总页数的20%。这本书有多少页？
33．甲、乙两辆汽车从相距480千米的两地同时相对开出，经过4时相遇。已知甲、乙两车的速度之比是3：2，求甲车的速度是多少？
34．按如图方式摆放餐桌和椅子，那么摆13张餐桌需要多少把椅子？
2025-2026学年上学期成都小学数学六年级期末典型卷2
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一．选择题（共10小题）
1．仔细观察日历图，分析正方形框内4个数有什么关系。若设其中一个数为m，则其它3个数表示有错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单图形覆盖现象中的规律；用字母表示数．
【专题】推理能力；应用意识．
【答案】B
【分析】根据月历中的数的关系，上下两个数相差7，左右两个数相差1。据此选择。
【解答】解：若设其中一个数为m，则其它3个数表示有错误的是B。
故选：B。
【点评】本题主要考查字母表示数的应用。
2．某客运列车从A地出发，行驶途中经过北京、济南、上海三站到达B地，火车站应该准备（ ）种不同的单程车票。
A．6B．8C．10D．12
【考点】排列组合；握手问题．
【专题】应用意识．
【答案】C
【分析】从A地出发的单程票有：A地→北京；A地→济南；A地→上海；A地→B地；接下来确定从北京、济南、上海出发的单程票，即可解答。
【解答】解：4+3+2+1
＝7+2+1
＝9+1
＝10（种）
答：火车站应该准备10种不同的单程车票。
故选：C。
【点评】本题是一道关于搭配问题的题目，解答本题的关键是掌握此类题目的解法。
3．张阿姨在银行存了18000元，到期取出后共得利息1485元，根据下面的利息表，可以判断她存了（ ）年。
A．半B．一C．二D．三
【考点】存款利息与纳税相关问题．
【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】根据“利息＝本金×利率×存期”，在此题中，知道本金是18000元，利息是1485元，存期×利率＝1485÷18000＝0.0825，要求时间，就要用0.0825分别除以给出的利率，经过计算即可求出存期，根据计算结果进行选择。
【解答】解：1485÷18000＝0.0825
0.0825÷1.35%≈6（年）
0.0825÷1.55%≈5.3（年）
0.0825÷1.75≈4.7（年）
0.0825÷2.25%≈3.7（年）
0.0825÷2.75%＝3（年）
综上，只有利率为2.75%的符合题意，存期是3年。
故选：D。
【点评】此题考查了利息问题，重点掌握“利息＝本金×时间×利率”这一关系式，然后通过运算作出选择。
4．观察下图，下列说法正确的是（ ）
A．从前面和右面看到的形状相同
B．从上面和左面看到的形状相同
C．从左面和右面看到的形状相同
【考点】从不同方向观察物体和几何体．
【专题】空间观念．
【答案】A
【分析】分析给出的立体图形，可知从上面看到的图形有2列，每列都有2个小正方形；从左面看到的图形有2列，其中左边一列有2个小正方形，右边一列有1个小正方形，则B选项不符合题意，同理分析其余选项。
【解答】解：由图可知从前面和右面看到的形状相同，都是：
故选：A。
【点评】此题是关于从不同位置观察几何体的题目，确定从前面、左面、上面、右面看到的形状是解题的关键。
5．用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（ ）
A．甲剩的多B．乙剩的多
C．丙剩的多D．剩的一样多
【考点】组合图形的面积；圆与组合图形．
【专题】应用意识．
【答案】D
【分析】假设正方形的边长是6，则甲图形圆的半径是6÷3÷2＝1，乙图形的圆的半径是6÷2÷2＝1.5，丙图形圆的半径是6÷2＝3，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方，代入数据分别求出每个图形正方形和圆的面积或圆的面积和，再用正方形的面积减去圆的面积和或圆的面积求出剩下的面积，再进行比较即可解答。
【解答】解：设正方形的边长是6。
6÷3÷2＝1
6×6﹣3.14×12×9
＝36﹣28.26
＝7.74
6÷2÷2＝1.5
6×6﹣3.14×1.52×4
＝36﹣28.26
＝7.74
6÷2＝3
6×6﹣3.14×32
＝36﹣28.26
＝7.74
7.74＝7.74＝7.74
所以白铁皮剩下的废料相比一样多。
故选：D。
【点评】熟练掌握正方形、圆的面积的计算方法是解题的关键。
6．一杯糖水含糖率是24%，喝了13后，剩下糖水的含糖率是（ ）
A．24%B．16%C．8%D．48%
【考点】百分率应用题．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】含糖24%的糖水，喝了13后，剩下的糖水并没有加水，也没有加糖，因此含糖率不变，还是24%；据此解答。
【解答】解：含糖率是24%，喝了13后，剩下的糖水的含糖率还是24%。
故选：A。
【点评】此题考查学生对含糖率问题的理解、分析与判断能力。
7．小明用一张长2dm，宽8cm的长方形纸，剪一个最大的半圆，半圆的直径是（ ）
A．2dmB．8cmC．1dmD．16cm
【考点】圆的认识与圆周率．
【专题】数感．
【答案】D
【分析】长方形中剪一个最大的半圆，半圆的半径等于长方形的宽。
【解答】解：2dm＝20cm，20＞8
小明用一张长2dm，宽8cm的长方形纸，剪一个最大的半圆，半圆的半径是8cm，直径是16cm。
故选：D。
【点评】解答此题的关键是确定最大半圆的半径等于长方形的宽。
8．已知如图中阴影部分的面积是20平方厘米，圆环的面积是（ ）平方厘米。
A．80B．20πC．40πD．80π
【考点】圆与组合图形；圆、圆环的面积．
【专题】平面图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】设大圆半径是R厘米，小圆半径是r厘米，根据阴影部分的面积，计算圆环的面积即可。
【解答】解：设大圆半径是R厘米，小圆半径是r厘米。
（R2﹣r2）÷2＝20
则R2﹣r2＝40
π×40＝40π（平方厘米）
答：圆环的面积是40π平方厘米。
故选：C。
【点评】本题主要考查组合图形的面积的计算，关键注意利用转化思想解答。
9．下面说法错误的是（ ）
A．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数
B．求比值要用比的前项除以比的后项
C．乙数的14与甲数相等，甲乙两个数的比是4：3
D．把一块正方体的橡皮泥捏成长方体后，它的形状变了，体积没有变
【考点】求比值和化简比；长方体和正方体的体积；倒数的认识；分数除法；比的意义．
【专题】几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据分数除法的计算方法进行判断即可；
根据比值的意义，即比的前项除以后项，所得的商即为比值判断即可；
根据比的意义，乙数的14与甲数相等，甲乙两个数的比是4：1，据此判断即可；
物体的体积就是物体占有空间的大小，和物体的形状无关，据此判断解答。
【解答】解：A．甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数，本选项说法正确；
B．求比值要用比的前项除以比的后项，本选项说法正确；
C．乙数的14与甲数相等，甲乙两个数的比是4：1，所以本选项说法错误；
D．把一块正方体的橡皮泥捏成长方体后，它的形状变了，体积没有变，本选项说法正确；
故选：C。
【点评】本题考查了比的意义及比值的求法、体积及分数除法知识，结合题意分析解答即可。
10．某公司组织登山活动，他们以每小时x千米的速度登山，行进一段时间后队伍开始休息，由于前面山坡变陡，休息后他们以每小时y千米（0＜y＜x）的速度继续前进，直达山顶。那么他们登山的路程S（千米）与时间t（分）之间的图象大致是（ ）
A．B．
C．
【考点】简单的行程问题．
【专题】行程问题；应用意识．
【答案】A
【分析】登山路程随着时间的增多是在不断增多，由于速度的变化趋势为大，0，小，所以随着时间的变化，路程的函数图象相应变化。
【解答】解：根据题意，登山运动分为三个阶段，快行一停止一慢行，反映到图象上是：三条线段陡，平，缓。
故选：A。
【点评】本题考查了函数的图象，解决此类题目的关键是应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象的缓陡。
二．填空题（共10小题）
11．百分之七写作 7% ， 5 个17是57。
【考点】百分数的意义、读写及应用；分数的意义和读写．
【专题】分数和百分数；数据分析观念．
【答案】7%，5。
【分析】百分号的写法注意的地方：%前写数，注意%的0是左上右下，不能写在一起；
把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数称为分数。把单位“1”平均分成若干份取一份的数，叫作分数单位；分数的分子是几里面就有几个这样的分数单位。
【解答】解：百分之七写作：7%，5个17是57。
故答案为：7%，5。
【点评】本题考查了百分数的写法及分数的意义。
12．用800颗大豆种子做发芽实验，发芽率是95%，未发芽的大豆种子有 40 颗。
【考点】百分率应用题．
【专题】运算能力．
【答案】40。
【分析】把试验种子总数看作单位“1”，发芽率95%，则死亡率为（1﹣95%），根据一个数乘分数的意义，用乘法求出没有发芽的种子数。
【解答】解：800×（1﹣95%）
＝800×5%
＝40（粒）
答：没有发芽的种子有40粒。
故答案为：40。
【点评】把试验种子总数看作单位“1”，明确发芽率的含义，是解答此题的关键。
13．4÷ 10 =( )60=30：75＝ 40 %＝ 四 折。
【考点】比与分数、除法的关系．
【专题】数感；运算能力．
【答案】10；24；40；四。
【分析】比值的求法：用比的前项÷比的后项，得到的结果即是比值，即30：75＝30÷75＝0.4，将0.4转换成分数，利用分数的基本性质分子分母同时乘6转换成分母是60的分数；将0.4转换成百分数先将小数点向右移动两位再加上百分号；百分之几十就是几折。
【解答】解：30：75＝30÷75＝0.4
4÷0.4＝10
0.4=410=4×610×6=2460
0.4＝40%
40%＝四折
4÷10=2460=30：75＝40%＝四折
故答案为：10；24；40；四。
【点评】此题考查知识点较多，熟练掌握分数、小数、百分数以及比之间的换算是解题的关键。
14．要反映100g牛奶中各种营养物质的占比情况，选用 扇形 统计图最合适。
【考点】统计图的选择．
【专题】应用意识．
【答案】扇形。
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可。
【解答】解：要反映100g牛奶中各种营养物质的占比情况，选用扇形统计图最合适。
故答案为：扇形。
【点评】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答。
15．“六一”儿童节商场全场打八折销售，小丽买了一件原价150元的裙子，便宜了 30 元；妈妈花150元买了一件上衣，比原价便宜了 37.5 元。
【考点】折扣；百分数的实际应用．
【专题】运算能力．
【答案】30；37.5。
【分析】分析题意可知，打八折销售，即便宜了（1﹣80%），用原价乘以便宜的百分率，求出便宜的钱数；
用妈妈花了的钱数除以折扣率，求出上衣的原价，再减去现价，求出便宜的钱数即可。
【解答】解：150×（1﹣80%）
＝150×0.2
＝30（元）
答：便宜了30元。
150÷80%＝187.5（元）
187.5﹣150＝37.5（元）
答：便宜了37.5元。
故答案为：30；37.5。
【点评】本题主要考查百分数的应用，明确打折销售的意义是关键。
16．有一个电动玩具，它有一个长方形盘和一个半径为1cm的小圆盘（盘中画有笑脸），它们的连接点为A、B点（如图），如果小圆盘从A点出发，沿着长方形内壁不停地滚动（无滑动），最后回到原来的位置。小圆盘共转了 3 圈。
【考点】圆、圆环的周长．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】3。
【分析】A转到①走的路程是长方形的长减去圆的直径，用走的长度除以圆的周长，就是走的圈数，从①走到②走的路程是长方形的宽减去圆的直径，用走的长度除以圆的周长就是走的圈数，据此可求出走的总圈数。
【解答】解：A转到①转了（8.28﹣1×2）÷（2×3.14）＝1（圈）
①走到②转了（5.14﹣1×2）÷（2×3.14）＝0.5（圈）
小圆盘共自转了（1+0.5）×2＝3（圈）
答：小圆盘共转了3圈。
故答案为：3。
【点评】本题主要考查了学生对圆的周长和长方形周长公式的灵活运用。
17．大圆和小圆的半径比是3：2，它们的周长比是 3：2 ，面积比是 9：4 。
【考点】比的意义；圆、圆环的周长；圆、圆环的面积．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】设大圆的半径为3，小圆的半径为2，由此分别求得它们的周长和面积，即可解决问题。
【解答】解：设大圆的半径为3，小圆的半径为2，
则大圆的周长为：2×π×3＝6π；
大圆的面积为：π×32＝9π；
则小圆的周长为：2×π×2＝4π；
小圆的面积为：π×22＝4π；
所以它们的周长之比是：6π：4π＝3：2；
大圆的面积与小圆的面积比：9π：4π＝9：4
答：则周长之比是 3：2，面积比是 9：4。
故答案为：3：2；9：4。
【点评】此题考查了圆的周长与面积公式的灵活应用，根据此题的推理可得：两个圆的周长之比等于半径的比，面积之比等于半径的平方之比。
18．在长12cm，宽8cm的长方形铁皮上剪一个最大的半圆，半圆的周长是 18.84 cm，半圆的面积是 56.52 cm2。
【考点】圆、圆环的面积．
【专题】几何直观．
【答案】30.84，56.52。
【分析】因为12÷2＝6厘米，6厘米＜8厘米，所以长方形中剪一个最大的半圆，半圆的直径等于长方形的长；然后根据：半圆的周长＝πd÷2+d，根据圆的面积＝πr2÷2，即可求出半圆的周长和面积。
【解答】解：因为12÷2＝6（厘米），6厘米＜8厘米，
所以长方形中剪一个最大的半圆，半圆的直径等于12厘米；
半圆的周长：3.14×12÷2+12＝30.84（厘米）
3.14×62÷2
＝3.14×18
＝56.52（平方厘米）
答：半圆的周长是18.84cm，半圆的面积是56.52cm2。
故答案为：30.84，56.52。
【点评】解答此题的关键是确定最大半圆的直径等于长方形的长。
19．你知道吗？当人的下半身与身高的比值为0.6左右时，被称作“黄金比”，身材显得最美。妈妈身高160cm，下半身长94cm，她平时喜欢穿高跟鞋，鞋的最佳高度是 5 cm。
【考点】求比值和化简比．
【专题】应用意识．
【答案】5。
【分析】假设鞋的高度为xcm，则总身高为（160+x）cm，下半身的长度为（94+x）cm，根据人的下半身÷身高＝0.6，列出方法解答解答。
【解答】解：设鞋的高度为xcm，则总身高为（160+x）cm，下半身的长度为（94+x）cm，
（94+x）÷（160+x）＝0.6
94+x＝0.6×（160+x）
94+x＝96+0.6x
94+x﹣94﹣0.6x＝96+0.6x﹣94﹣0.6x
x﹣0.6x＝96﹣94
（1﹣0.6）x＝2
0.4x＝2
0.4x÷0.4＝2÷0.4
x＝5
答：鞋的最佳高度是5cm。
故答案为：5。
【点评】本题考查了求比值的应用。根据”黄金比“的定义建立方法求解即可。
20．同行一段路，甲车用8小时，乙车用10小时，甲、乙两车速度的最简整数比是 5：4 。甲车的速度比乙车的快 25 %。
【考点】求比值和化简比；百分数的实际应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】5：4；25。
【分析】要求甲乙两车速度的比，要先算出它们的时间和速度分别是多少，再写比；先求出甲车比乙车快多少，然后再除以乙车速再乘100%即可。
【解答】解：把这段路的距离看作是单位”1“。
甲车速度：1÷8=18
乙车速度：1÷10=110
18：110
＝（18×40）：（110×40）
＝5：4
（18-110）÷110×100%
=140÷110×100%
=14×100%
＝25%
答：甲、乙两车速度的最简整数比是5：4。甲车的速度比乙车的快25%。
故答案为：5：4；25。
【点评】解答此题的关键是根据“路程、速度、时间”三者之间的关系。
三．计算题（共4小题）
21．直接写出得数。
【考点】分数的四则混合运算；分数的加法和减法；分数乘法；分数除法．
【专题】应用题；运算能力．
【答案】①16；②15；③7；④1；⑤0.05；⑥3.14；⑦256；⑧14。
【分析】根据分数加法、减法、乘法和除法的计算的法则计算即可。
【解答】解：
【点评】解答此题要运用分数加法、减法、乘法和除法的计算的法则。
22．按要求作答。
（1）0.75：18（求比值）
（2）34：0.15（化简比）
【考点】求比值和化简比．
【专题】运算能力．
【答案】（1）6；（2）5：1。
【分析】（1）用比的前项除以比的后项所得的商，叫作比值。
（2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。利用“比的基本性质”把比化简成最简单的整数比即可。
【解答】解：（1）0.75：18
=0.75÷18
＝0.75×8
＝6
（2）34：0.15
=34：15100
=34：320
=(34×20)：(320×20)
＝15：3
＝5：1
【点评】本题解题的关键是熟练掌握求比值和化简比的方法。
23．计算下面各题，怎样简便就怎样算。
（35+47）×5×7
79÷115+29×115
（58−112−524）×48
【考点】分数的四则混合运算；运算定律与简便运算．
【专题】应用题；运算能力．
【答案】41；139165；16。
【分析】5×7看作一个整体，根据乘法分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c，把原式变为35×5×7+47×5×7简算；
根据分数四则混合运算的顺序，先算除法、乘法，再算加法；
根据乘法分配律：a×（b+c）＝a×b+a×c，把原式变为58×48-112×48-524×48简算。
【解答】解：（35+47）×5×7
=35×5×7+47×5×7
＝21+20
＝41
79÷115+29×115
=79×511+2245
=3599+2245
=175495+242495
=139165
（58-112-524）×48
=58×48-112×48-524×48
＝30﹣4﹣10
＝26﹣10
＝16
【点评】解答此题要熟记四则混合运算的运算顺序，然后选择合适的运算定律计算即可。
24．解方程。
58x÷712=14
89x-12x=711
（24%+37%）x＝18.3
【考点】百分数方程求解；分数方程求解．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】x=730；x=1811；x＝30。
【分析】58x÷712=14，根据等式的基本性质，方程两边同时乘712，然后再同时除以58，最后计算求出x的值；
89x-12x=711，先计算89x-12x=718x，然后根据等式的基本性质，方程两边同时除以718，最后计算求出x的值；
（24%+37%）x＝18.3，先计算24%+37%＝61%，根据等式的基本性质，方程两边同时除以61%，然后计算求出x的值。
【解答】解：58x÷712=14
58x÷712×712=14×712
58x=748
58x÷58=748÷58
x=730
89x-12x=711
718x=711
718x÷718=711÷718
x=1811
（24%+37%）x＝18.3
61%x＝18.3
61%x÷61%＝18.3÷61%
x＝30
【点评】解答此题要运用等式的基本性质。
四．解答题（共7小题）
25．2024年10月12日下午，神舟十四号飞行乘组三位航天员面向全国青少年进行了中国空间站天宫课堂第三课的授课。文文对同学们就这次授课最感兴趣的项目进行了调查，并将部分调查结果记录在下面的统计图中。
学生对四个项目最感兴趣人数统计表
根据上面统计图表的信息，把不完整的统计表和统计图补充完整，并在下面写出计算过程。
【考点】统计图表的填补；从统计图表中获取信息；扇形统计图．
【专题】统计图表的制作与应用；应用意识．
【答案】
【分析】根据统计图表可知，A感兴趣的人数有80人，占统计总人数的20%，用80除以20%求出统计总人数；用B感兴趣的人数除以统计总人数，求出B项目占的百分比；把统计总人数看作单位“1”，分别减去A、B、D占的百分比，求出C占的百分比；再用统计统计总人数分别乘C、D占的百分比，求出C、D感兴趣的人数；据此完成统计图表。
【解答】解：80÷20%＝400（人）
140÷400＝0.35＝35%
1﹣20%﹣35%﹣30%＝15%
400×15%＝60（人）
400×30%＝120（人）
统计图表如下：
【点评】此题考查统计图表的填补，并且能够根据统计图表提供的信息，解决有关的实际问题。
26．求图中阴影部分的面积。
【考点】组合图形的面积；圆与组合图形．
【专题】运算能力．
【答案】2.28平方厘米。
【分析】图中阴影部分的面积等于以4÷2＝2（分米）为半径的半圆的面积减去底为4分米，高为4÷2＝2（分米）的三角形的面积；根据“圆的面积＝π×半径的平方，三角形的面积＝底×高÷2”，代入相关数据解答即可。
【解答】解：4÷2＝2（分米）
3.14×22÷2﹣4×2÷2
＝3.14×2﹣4
＝6.28﹣4
＝2.28（平方分米）
答：阴影部分的面积是2.28平方分厘米。
【点评】熟练掌握圆面积、三角形面积的计算方法是解题的关键。
27．一件商品售价比原来降低13后是24元，原价是多少元？
【考点】分数除法应用题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】36元。
【分析】现价＝原价×（1-13），用除法列式计算原价是多少元。
【解答】解：24÷（1-13）
＝24÷23
＝36（元）
答：原价是36元。
【点评】解决本题的关键是找出题中数量关系。
28．课后服务时间，四年级学健美操的有73人，比学硬笔书法人数的2倍多19人。学硬笔书法的有多少人？（列方程解答）
【考点】列方程解应用题（两步需要逆思考）．
【专题】运算能力；应用意识．
【答案】27人。
【分析】设学硬笔书法的有x人，根据等量关系：学硬笔书法人数×2+19人＝学健美操的人数，列方程解答即可。
【解答】解：设学硬笔书法的有x人。
2x+19＝73
2x＝54
x＝27
答：学硬笔书法的有27人。
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。
29．阳光小学开展社团活动，美术组的人数是书法组的34，书法组与体育组的人数比是5：8。已知美术组有30人，体育组有多少人？
【考点】比的应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】64人。
【分析】根据美术组的人数是书法组的34，可知美术组的人数与书法组的人数比是3：4，又知书法组的人数与体育组的人数的比是5：8，推导出美术组的人数、书法组的人数与体育组的人数的连比，把比看作各自的份数，用美术组的人数除以美术组的份数，求出1份多少人，再用乘法求出体育组的人数即可。
【解答】解：美术组人数：书法组人数＝3：4＝15：20
书法组人数：体育组人数＝5：8＝20：32
美术组人数：书法组人数：体育组人数＝15：20：32
30÷15＝2（人）
2×32＝64（人）
答：体育组有64人。
【点评】本题考查的是比的应用，关键是把比看作分得的份数，求出每一份是多少，最后求出其他部分相应的具体数量。
30．胜利小区修建一个直径为8米的圆形喷泉，这个喷泉要占多大地方？如果张大爷一步长0.8米，试求张大爷绕喷泉走一圈大约要走多少步？
【考点】有关圆的应用题．
【专题】平面图形的认识与计算；几何直观；运算能力．
【答案】50.24平方米；32步。
【分析】（1）根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答即可；
（2）根据圆的周长公式：C＝πd，把数据代入公式求出它的周长再除以0.8即可。
【解答】解：（1）3.14×（8÷2）2
＝3.14×16
＝50.24（平方米）
（2）3.14×8÷0.8
＝3.14×10
≈32（步）
答：这个喷泉要占50.24平方米；张大爷绕喷泉走一圈大约要走32步。
【点评】此题主要考查圆的周长公式、面积公式在实际生活中的应用。
31．小王收集邮票120张，正好是小张收集邮票的38，小林与小张收集邮票张数的比是4：5，小林收集邮票多少张？
【考点】比的应用．
【专题】应用题；运算能力．
【答案】256张。
【分析】小王收集邮票120张，正好是小张的38，由此可知小张收集的邮票的张数是单位“1”，单位“1”不知道运用除法进行计算，求出小张收集邮票张数后进一步求出小杨的邮票张数。
【解答】解：120÷38×45
＝120×83×45
＝256（张）
答：小杨收集邮票256张。
【点评】本题是一道简单的分数乘除法应用题，把两个数的比转化成谁是谁的几分之几来进行计算。
五．应用题（共3小题）
32．乐乐看一本课外书，已经看了25页，正好看了这本书总页数的20%。这本书有多少页？
【考点】百分数的实际应用．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】125页。
【分析】已经看的页数＝总页数×20%，由此列式计算这本书有多少页。
【解答】解：25÷20%
＝25÷0.2
＝125（页）
答：这本书有125页。
【点评】解决本题的关键是找出题中的数量关系。
33．甲、乙两辆汽车从相距480千米的两地同时相对开出，经过4时相遇。已知甲、乙两车的速度之比是3：2，求甲车的速度是多少？
【考点】比的应用．
【专题】应用题．
【答案】72千米/时。
【分析】先算出甲、乙两车的速度和，再平均分成5份，求出1份是多少，再乘3即可。
【解答】解：480÷4÷（3+2）×3
＝120÷5×3
＝72（千米/时）
答：甲车的速度是72千米/时。
【点评】熟练掌握比的含义和应用，是解答此题的关键。
34．按如图方式摆放餐桌和椅子，那么摆13张餐桌需要多少把椅子？
【考点】数与形结合的规律．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】54把。
【分析】根据图示可知，每增加1张桌子，就增加4把椅子，据此解答。
【解答】解：13×4+2＝54（把）
答：摆13张餐桌需要54把椅子。
【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。
考点卡片
1．分数的意义和读写
【知识点归纳】
分数的意义：把一个物体或一个计量单位平均分成若干份，这样的一份或几份可用分数表示．
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份．
分数的分类：
（1）真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数．真分数的分数值小于1．
（2）假分数：和真分数相对，分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．
带分数：分子不是分母的倍数关系．形式为：整数+真分数．
【命题方向】
两根3米长的绳子，第一根用34米，第二根用34，两根绳子剩余的部分相比（ ）
A、第一根长 B、第二根长 C、两根同样长
分析：分别求得两根绳子剩余的长度，即可作出判断．
解：第一根剪去34米，剩下的长度是：3-34=214（米）；
第二根剪去34，剩下的长度是3×（1-34）=34（米）．
所以第一根剩下的部分长．
故选：A．
点评：此题重在区分分数在具体的题目中的区别：有些表示是某些量的几分之几，有些表示具体的数，做到正确区分，选择合适的解题方法．在具体的题目中，带单位是一个具体的数，不带单位是把某一个数量看单位“1”，是它的几分之几．
2．倒数的认识
【知识点解释】＜BR＞若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞＜BR＞【解题思路点拨】＜BR＞求倒数的方法：求一个分数的倒数，例如34，我们只需把34这个分数的分子和分母交换位置，即得34的倒数为43．＜BR＞求一个整数的倒数，只需把这个整数看成是分母为1的分数，然后再按求分数倒数的方法即可得到，如3的倒数为13．＜BR＞求一个小数的倒数，可以先把小数化成分数，然后分子和分母调换位置．＜BR＞＜BR＞【注意事项】＜BR＞0没有倒数．＜BR＞＜BR＞【命题方向】＜BR＞常考题型：＜BR＞例1：0.3的倒数是
＜DIVclass＝quizPutTagcntentEditable＝true＞103＜/DIV＞．＜BR＞分析：根据倒数的定义求解．＜BR＞解：0.3=310的倒数是103．＜BR＞故答案为：103．＜BR＞点评：此题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．＜BR＞例2：一个数除以97等于187的倒数，求这个数．＜BR＞分析：根据题意，187的倒数是1÷187，再乘上97即可．＜BR＞解：1÷187×97，＜BR＞=718×97，＜BR＞=12；＜BR＞答：这个数是12．＜BR＞点评：根据题意，先求出187的倒数，再根据被除数＝商×除数，列式解答．
3．百分数的意义、读写及应用
【知识点归纳】
（1）百分数（又叫做百分率或百分比）与分数的意义截然不同．百分数是“表示一个数是另一个数百分之几的数．”它只能表示两数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量．如：可以说1米是5米的20%，不可以说“一段绳子长为20%米．”因此，百分数后面不能带单位名称．分数可带具体名称．
（2）百分数的读法：100%不读百分之百，要读百分之一百；32%：百分之三十二； 50%：百分之五十； 1%：百分之一．
（3）百分号的写法注意的地方：%的0是左上右下，不能写在一起．
【命题方向】
常考题型：
例1：把10克的糖放入100克的水中，糖占水的 10% ，糖和糖水的比是 1：11 ．
解：糖占水的比值为：10÷100=10100=10%
糖和水的比为：10：（10+100）＝1：11
故答案为：10%，1：11．
点评：本题要注意是求比还是求比值．糖占水多少是求比值，糖和糖水的比是求比．
例2：王师傅做98个零件都合格，合格率是98%． × ．（）
分析：根据公式：合格率=合格零件个数零件总个数×100%，代入数值，解答求出合格率，进而判断即可．
解：9898×100%＝100%；
答：合格率是100%．
故答案为：×．
点评：此题属于百分率问题，解答时都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百即可．
4．折扣
【知识点归纳】
1、折扣：用于商品，现价是原价的百分之几，叫做折扣。通称“打折”。
2、几折就是十分之几，也就是百分之几十。例如：八折＝8÷10＝80%，六折五＝6.5÷10＝65÷100＝65%
3、解决打折的问题，关键是先将打的折数转化为百分数或分数，然后按照求比一个数多（少）百分之几（几分之几）的数的解题方法进行解答。
4、商品现在打八折：现在的售价是原价的80%；商品现在打六折五：现在的售价是原价的65%。
【方法总结】
与折扣有关的实际问题的解题方法：
已知原价和折扣，求现价：现价＝原价×折扣；
已知原价和折扣，求便宜的钱数：便宜的钱数＝原价﹣原价×折扣；
已知现价和折扣，求原价：原价＝现价÷折扣；
（4）已知原价和现价，求折扣：用现价除以原价，结果用百分数表示，同时在答语中要体现出来。
【常考题型】
一、填空题。
1、几折表示十分之（ ），也就是百分之（ ）。
答案：几；几十
2、三折就是（ ），也就是（ ）。
答案：；30%
3、现价＝（ ）×（ ）
答案：售价；折扣
二、判断题。
1、商品打折扣都是以商品的原价为单位“1”，即标准量。（ ）
答案：√
2、一件上衣现在打八折出售，就是说比原价降低10%。（ ）
答案：×
5．运算定律与简便运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc
＝（a+b）×c
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）
【命题方向】
常考题型：
例1：0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法的（ ）
A、交换律 B、结合律 C、分配律
分析：乘法分配律的概念为：两个数的和乘另一个数，等于把这个数分别同两个加数相乘，再把两个积相加，得数不变，用字母表示：（a+b） c＝ac+ac．据此可知，0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
解：根据乘法分配律的概念可知，
0.65×201＝0.65×（200+1）＝0.65×200+0.65运用了乘法分配律．
故选：C．
点评：本题利用具体的算式考查了学生对于乘法分配律的理解．
例2：125×25×32＝（125×8）×（25×4），这里运用了（ ）
A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律和乘法结合律
分析：在125×25×32＝（125×8）×（25×4）中，是把32看作8×4，然后用乘法交换律变成125×8×25×4，再运用乘法结合律计算，即（125×8）×（25×4）．
解：125×25×32＝（125×8）×（25×4），运用了乘法交换律和乘法结合律．
故选：C．
点评：此题重点考查了学生对乘法交换律和结合律的掌握与运用情况．
6．分数的加法和减法
【知识点归纳】
分数加减法与整数加减法意义相同，是把两个数合并成一个数的运算．
法则：
①同分母分数相加（减），分子进行相加（减）得数作分子，分母不变
②异分母分数相加（减），必须先通分，然后，按照同分母分数相加（减）的法则进行运算．
③带分数相加（减），先把整数部分和分数部分分别相加（减），然后，再把所得的数合并起来．注意带分数相减时，如果被减数的分数部分小于减数的分数部分，就要从被减数的整数部分里拿出1（在连减时，也有需要拿出2的情况），化成假分数，与原来被减数的分数部分加在一起．
分数加法的运算定律：
①加法交换律：两个分数相加，交换加数的位置，它们的和不变．
②加法结合律：三个（或三个以上）分数相加，先把前两个分数加起来，再与第三个分数相加，或者先把后两个分数加起来，再与第一个分数相加，它们的和不变．
分数减法的运算性质：与整数减法性质一样．
【命题方向】
常考题型：
例1：6千克减少13千克后是 523 千克，6千克减少它的13后是 4 千克．
分析：（1）第一个13千克是一个具体的数量，直接列减法算式即可求出；
（2）第一个13是把6千克看做单位“1”，减少的是6千克的13，由此列式解决问题．
解：（1）6-13=523（千克）；
（2）6﹣6×13=6﹣2＝4（千克）．
故答案为：523，4．
点评：解答此题的关键是正确区分两个分数的区别：第一个分数是一个具体的数量，第二个分数表示是某一个数量的几分之几，由此灵活选择合理算法解答即可．
例2：修路队修一条公路，第一周修了34km，第二周修了56km，第三周比前两周修的总和少38km，第三周修了多少km？
分析：第三周比前两周修的总和少38km，两周修的总和为：（34+56）km，那么第三周修了：（34+56）-38
解：（34+56）-38，
=34-38+56，
=38+56，
=924+2024
＝1524（km）
答：第三周修了1524km．
点评：此题重点考查学生对分数加减法的计算能力，同时注意计算的灵活性．
7．分数乘法
【知识点归纳】
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算．
乘积是1的两个数叫做互为倒数．
分数乘法法则：
（1）分数乘以整数或整数乘以分数：由于任何整数（0除外）都可以化成分母是1的假分数，分数乘以整数或整数乘以分数，都可以转化成分数乘以分数的形式．因此，在计算中，是用分数的分子和整数相乘的积作为分子，分母不变．在乘的过程中，如果有可以约分的数，可以先约分，这样，可以使计算的数字缩小，从而使计算变得简便．
（2）分数乘以分数：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母．为了使计算简便，在计算的过程中，能够约分的，要约分．
（3）带分数乘法：先把带分数化成假分数，然后再乘．结果是假分数时，要把假分数化成带分数或整数．
分数乘法的运算定律：
（1）交换律：两个分数相乘，交换分数的位置，它们的积不变．
（2）结合律：三个分数相乘，先把前两个分数相乘，再乘以第三个分数，或者先把后两个分数相乘，再乘以第一个分数，它们的积不变．
（3）乘法分配律：两个分数的和与一个分数相乘所得的积，等于每一个加数分别与这个分数相乘所得的积的和．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的15等于乙数的14，那么甲数（ ）乙数．（甲数乙数不为0）
A、大于 B、小于 C、等于
分析：甲数的15等于乙数的14．首先把甲数看作‘单位1’乙数是甲数的45．
解：把甲数看作‘单位1’，平均分成5份乙数就相当于甲数的45．
故选：A．
点评：此题主要考查分数大小的比较．
例2：一个数乘分数的积一定比原来这个数小． × ．（）
分析：本题的说法是错误的：（1）当这个数为零时，积总为零．（2）假分数≥1，当分数为假分数时，积≥这个数．真分数＜1，只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
解答：解：只有当个分数为真分数时，且是一个不为零的数乘以这个真分数，积才一定比原来这个数小．
故答案为：×．
点评：本题从这个数是否为零、真分数、假分数三个方面进行分析．
8．分数除法
【知识点归纳】
分数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算．
分数除法法则：
（1）分数除以整数：分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数．
（2）一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘以分数的倒数．
（3）带分数除法：在分数除法中，如果出现带分数时，不论这个带分数是被除数还是除数，都要先把带分数化成假分数，然后，按照分数除以分数的法则计算．
分数除法的运算性质：与整数除法的运算性质相同
（1）一个数除以几个数的积，等于这个数依次除以积的每个因数．
（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘．
（3）一个数除以两个数的商，等于这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数；或者用这个数先除以商中的被除数，再乘以商中的除数．
（4）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数．
（5）两个数的和除以一个数，等于用除数分别去除这两个数，再把所得的商加起来．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的23是18，乙数的34是18，甲数（ ）乙数．
分析：甲数的23是18用除法求出甲数，乙数的34是18用除法求出乙数；然后比较大小．
解：18÷23，
＝18×32，
＝27；
18÷34，
＝18×43，
＝24；
27＞24；
所以甲数＞乙数；
故选：A．
点评：此题考查了基本的分数除法的运用：已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．
例2：一个数（0除外）除以16，这个数就（ ）
A、扩大6倍 B、增加6倍 C、缩小6倍
分析：除以一个数等于乘这个数的倒数，由此解决．
解：设这个数为a，则：
a÷16=6a，a不为0，6a就相当于把a扩大了6倍．
故选：A．
点评：本题运用了分数除法的计算方法来求解，注意扩大6倍和增加6倍的区别．
9．分数的四则混合运算
【知识点归纳】
1、整数的运算定律同样适用于分数乘法中的简便计算，需要关注的是，根据数的特征正确运用运算定律，切勿随心所欲进行所谓的“简便计算”。
2、分数乘法简便计算的本质，是利用运算定律创造条件“约分”，使计算简便。
【方法总结】
1、分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序完全相同，都是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里的。
①如果是同一级运算，按照从左到右的顺序依次计算。
②如果是分数连乘，可先进行约分，再进行计算；
③如果是分数乘除混合运算时，要先把除法转换成乘法，然后按乘法运算。
【常考题型】
妈妈买来一袋大米，吃了，还剩35千克，这袋大米重多少千克？
答案：35÷（1﹣）＝50（千克）
水果店今天共卖出香蕉48千克，下午卖出的香蕉是上午的，上午卖出香蕉多少千克？
答案：48×＝27（千克）
10．用字母表示数
【知识点归纳】
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t可以表示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（ ）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c＝a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法交换律：a×b＝b×a．
【命题方向】
命题方向：
例：甲数为x，乙数是甲数的3倍多6，求乙数的算式是（ ）
A、x÷3+6 B、（x+6）÷3 C、（x﹣6）÷3 D、3x+6
分析：由题意得：乙数＝甲数×3+6，代数计算即可．
解：乙数为：3x+6．
故选：D．
点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
11．分数方程求解
【知识点归纳】
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型
解方程。
①x−4/5x+6＝16
②64x＝2.4/0.9
答案：①x＝50；②x＝24。
12．百分数方程求解
【知识点归纳】
把百分数转化成小数即可，其他步骤与小数方程求解相同
一般利用等式性质把小数转化为整数之后，其他步骤与整数方程求解相同。
解方程的步骤
（1）去分母。
当方程中存在分数，对方程中的两侧都乘以分数的分母，使分式化为整式，便于计算。
（2）去括号。
在去方程中的括号时，若括号前面是“+”，括号内不变符号；若括号前是“﹣”，去掉括号后，括号内变号。
（3）移项。
通过移项，将方程中的含未知数的项都移动到一侧，将整数移动到另一侧。
（4）合并同类项。
对含有相同未知数的次数相同的项的系数相加，合并同类项。
（5）系数化为1.
合并同类项后，将等式两侧都除以含有未知数的次数最高的项的系数。当方程为一元一次方程时，系数化为1后即可得到方程的解。
【命题方向】
常考题型：
解方程。
答案：x＝10；x＝20；x＝1/2；x＝5。
13．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多14，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多14，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+14），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+14）：1，
=54：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的23，乙数是丙数的45，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷45=154x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：154x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
14．比与分数、除法的关系
【知识点归纳】
1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．
2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．
【命题方向】
常考题型：
例：45=16÷ 20 ＝ 8 ：10＝ 80 %＝ 八 成．
分析：根据比与分数、除法之间的关系，并利用商不变的规律、比的基本性质等知识即可得答案．
解：45=4÷5＝16÷20，
45=4：5＝8：10，
45=0.8＝80%＝八成，
故答案为：45=16÷20＝8：10＝80%＝八成
点评：此题主要考查商不变的规律、比的基本性质等知识．
15．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
16．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为34；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为38；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷34=43，乙用的时间为38÷1=38；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为34，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为38，
甲用的时间为：1÷34=43，
乙用的时间为：38÷1=38，
甲乙用的时间比：43：38=（43×24）：（38×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
17．数与形结合的规律
【知识点归纳】
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用4根，搭2个用7根…，搭10个要用 31 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用3根火柴，则第n个图形中，需要火柴4+3（n﹣1）＝3n+1．
当n＝10，3n+1＝31，
答：搭10个要用3根小棒，搭n个要用3n+1根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
18．简单图形覆盖现象中的规律
【命题方向】
常考题型：
例：如图是2006年6月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．
想一想：如果像这种形式的五个数的和105，则中间的那个数是 21 ．
分析：观察表中的阴影部分这五个数与中间的数知道五个数的和是中间的数的5倍，依此计算即可求解．
解：因为像这种形式五个数的和是105，
那么五个数的和是中间的数的5倍，
所以中间的数是：105÷5＝21，
即中间的那个数是21．
故答案为：21．
点评：考查了简单图形覆盖现象中的规律，解答此题的关键是，根据所给出的阴影部分的数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题．
19．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，5-35表示（ ）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：5-35表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．
例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮16，计算哥哥身高的正确式子（ ）
A、120×（1+16） B、120÷（1+16） C、120×（1-16） D、120÷（1-16）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮16”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1-16），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1-16）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
20．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：出席人数总人数×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：10025+100×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
21．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．
例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，16小时行了全程的23，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华16小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4×16÷23，
=23÷23，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华16小时行驶的路程．
例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（ ）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
22．列方程解应用题（两步需要逆思考）
【知识点归纳】
列方程解应用题的步骤：
①弄清题意，确定未知数，并用x表示．
②找出题中数量之间的相等关系．
③列方程，解方程．
④检查或验算，写出答案．
列方程解应用题的方法：
①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知．
②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知．
【命题方向】
常考题型：
例1：元旦期间，合益商场搞优惠活动，买一箱牛奶送一盒，五（1）班一共52人，如果买4箱，正好每人一盒，每箱牛奶有 12 盒．
分析：观察题干，分析数量关系，如果设每箱牛奶有x盒，则买的加送的牛奶盒数为4x+4，正好等于人数，则可得方程，解方程即可．
解：设每箱牛奶有x盒，
4x+4＝52，
4x＝52﹣4，
x＝48÷4，
x＝12．
答：每箱牛奶有12盒．
故答案为：12．
点评：观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可．
例2：同学们植树，一班比二班多植63棵，一班42人，平均每人植8棵，二班39人，平均每人植多少棵？（用方程解答）
分析：根据题意可找出数量间的相等关系：一班植树的棵树﹣二班植树的棵数＝一班比二班多植的63棵，已知一班的人数和平均每人植的棵数，二班的人数，所以设二班平均每人植x棵，列方程解答即可．
解：设二班平均每人植x棵，由题意得，
42×8﹣39x＝63，
39x＝336﹣63，
39x＝273，
x＝7．
答：二班平均每人植7棵．
点评：此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
23．百分率应用题
【知识点归纳】
出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
【命题方向】
常考题型：
例1：一种树苗实验成活率是98%，为了保证成活380棵，至少要种多少棵树苗？
分析：首先理解“成活率”的概念，成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，即成活率=成活棵数总棵数×100%．
已知成活率是98%，成活380棵，求至少要种多少棵，根据成活棵数÷成活率，即380÷98%，计算即可．
解：380÷98%，
＝380÷0.98，
≈388（棵）；
答：至少要种388棵树苗．
点评：此题考查了成活率的概念，同时应注意在处理结果时应该用“进一法”．
例2：一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？
分析：先分析销售的办法：
（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；
（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；
最多付款500×90%＝450（元）；
（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．
解：200×90%＝180（元）；
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
500×90%＝450（元）；
466＞450；
一次购买134元可以按照8折优惠；
134×（1﹣80%），
＝134×20%，
＝26.8（元）；
答：一次购买可节省26.8元．
点评：本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．
24．存款利息与纳税相关问题
【知识点归纳】
①纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
②利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间．
【命题方向】
常考题型：
例1：明明今年2月18日将300元压岁钱存入银行，定期一年，年利率是3.87%，到明年2月18日，扣除5%的利息税后，他一共可取出多少元钱？
分析：我们运用“本金×利率×时间×（1﹣5%）+本金＝本息共多少元”，运用公式解答即可．
解：300×3.87%×1×（1﹣5%）+300，
＝11.03+300，
＝311.03（元）；
答：他一共可取出311.03元钱．
点评：本题注意税后利息加上本金就是明明一共可取的钱是多少，不要忘记加上本金．
例2：李亮爸爸月收入2000元，妈妈月收入1800元．按规定李亮爸爸、妈妈的月收入中，超过1600元的部分都按5%缴纳个人所得税．李亮的爸爸、妈妈每月各要缴纳个人所得税多少元？
分析：根据题意，超过1600元的部分都按5%缴纳个人所得税．分别求出李亮的爸爸、妈妈超过1600元的部分，再根据一个数乘百分数的意义，用乘法解答．
解：（2000﹣1600）×5%，
＝400×0.05，
＝20（元）；
（1800﹣1600）×5%，
＝200×0.05，
＝10（元）；
答：李亮的爸把每月要缴纳个人所得税20元，妈妈每月要缴纳个人所得税10元．
点评：此题主要根据求一个数的百分之几是多少用乘法计算，公式是（工资﹣起征点）×对应税率5%＝应纳税额．
25．圆的认识与圆周率
【知识点归纳】
1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．
2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．
【命题方向】
常考题型：
例1：圆周率π是一个（ ）
A、有限小数 B、循环小数 C、无限不循环小数
分析：根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母“π”表示，它是一个无限不循环小数；进而解答即可．
解：根据圆周率的含义可知：圆周率π是一个无限不循环小数；
故选：C．
点评：此题考查了圆周率的含义．
例2：把一个圆分成若干等份，然后把它剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是6.28cm，这个长方形的宽是 2 cm，这个圆的面积是 12.56 cm2．
分析：长方形的两个长的和即为圆的周长，利用圆的周长公式即可求出圆的半径，也就是长方形的宽；从而可求出圆的面积．
解：C＝2πr，r＝C÷2π，
＝6.28×2÷6.28，
＝2cm；
长方形的宽＝2cm；
圆的面积：
3.14×22，
＝12.56cm2．
故答案为：2，12.56．
点评：此题主要考查圆的周长及面积公式，关键是明白圆的半径等于长方形的宽．
26．从不同方向观察物体和几何体
【知识点归纳】
视图定义：
当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图象叫做物体的一个视图．
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图．
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图．
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．
左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图．
人在观察目标时，从眼睛到目标的射线叫做视线，眼睛所在的位置叫做视点，有公共视点的两条视线所称的角叫做视角．
我们把视线不能到达的区域叫做盲区．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个物体的形状如图所示，则此物体从左面看是（ ）
分析：这个几何体是由四个小正方体组成的，根据观察物体的方法，从正面看，是三个正方形，下行二个，上行一个位于右面；从上面看，是三个正方形，上行二个，下行一个位于右面；从左面看是三个正方形，下行二个，上行一个位于左面．由此判断．
解：从左面看到的是三个正方形，左边一列二个正方形，右边一个正方形与左边一列下边的一个成一行；
故选：B．
点评：本题是考查从不同方向观察物体和几何图形．是培养学生的观察能力．
27．圆与组合图形
【知识点归纳】
1．圆知识的相关回顾：
（1）圆的周长C＝2πr＝或C＝πd
（2）圆的面积S＝πr2
（3）扇形弧长L＝圆心角（弧度制）×r=nπr180（n为圆心角）
（4）扇形面积S=nπr2360=Lr2（L为扇形的弧长）
（5）圆的直径d＝2r
2．组合图形的面积计算，可以根据几何图形的特征，通过分割、割补、平移、翻折、对称、旋转等方法，化复杂为简单，变组合图形为基本图形的加减组合．
28．圆、圆环的周长
【知识点归纳】
圆的周长＝πd＝2πr，
半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；
半圆周长＝πr+2r．
圆环的周长等于两个圆的周长，即：
圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（ ）
A、直径 B、周长 C、面积
分析：车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．
解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．
答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．
故选：B．
点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．
例2：如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（ ）
A、2πr×12 B、πr+r C、（π+2）r D、12πr2．
分析：根据半圆的周长公式：C＝πr+2r，可求半圆的周长．
解：πr+2r＝（π+2）r．
答：半圆的周长是（π+2）r．
故选：C．
点评：考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半．
【解题思路点拨】
（1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得．
29．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）
【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（ ）
A、2倍 B、4倍 C、14 D、12
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．
例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．
30．有关圆的应用题
【知识点归纳】
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．
连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r；
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d，直径所在的直线是圆的对称轴．
圆的性质：圆有无数条半径和无数条直径．
圆的周长＝πd＝2πr
圆的面积＝πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：火车主动轮的半径是0.75米，如果每分钟转300周，每小时可行多少米？
分析：先求出主动轮转动一周所行的米数，即主动轮的周长．然后根据每分钟转动的周数求出每分钟行的米数，最后用每分钟行的米数乘60即可．
解：3.14×（0.75×2）×300×60，
＝3.14×1.5×300×60，
＝84780（米）；
答：每小时可行84780米．
点评：解答此题的关键是求主动轮的周长，即主动轮转动一周所行的米数．
例2：为美化校园环境，学校准备在周长是37.68米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，这条小路的面积是多少平方米？如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克？
分析：在周长是37.68米的花坛（如图）外围铺一条2米宽的环形小路，这条小路就是一个圆环，已知里圆的周长是37.68米，根据圆的周长公式c＝2πr，求出半径r，外圆的半径就是r+2米，圆环的面积即可求出π（R2﹣r2）；如果每平方米用水泥15千克，铺这条小路一共需要水泥多少千克，用乘法，面积乘15，即可得解．
解：设花坛的半径为r，外圆的半径R，由圆的周长公式，则有：
2πr＝37.68，
r＝6（米），
R＝r+2＝6+2＝8（米），
这条小路的面积是：
S＝π（R2﹣r2），
＝3.14×（82﹣62），
＝87.92（平方米）；
87.92×15＝1318.8（千克）；
答：这条小路的面积是87.92平方米，铺这条小路一共需要水泥1318.8千克．
点评：此题考查了有关圆的应用题，理清思路，灵活应用圆的周长公式和面积公式是解决此题的关键．
31．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．
【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）
分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个14圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去14圆的面积再加上14圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷2-14×3.14×52]+（14×3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
32．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
33．扇形统计图
【知识点归纳】
1．扇形统计图的特点：扇形统计图是用整个圆的面积表示总数，用圆内的扇形面积表示各部分数量占总数的百分比．
2．读懂扇形统计图：
（1）获取信息的方法：运用综合、对比等多种观察方法，可以从扇形统计图中获取信息，还可以利用这些信息提出相应的问题．
（2）扇形统计图的优点：它可以清楚地表示出部分数量与总数、部分数量与部分数量之间的关系．
3．利用扇形统计图解决问题，就是解决有关不同类型的百分数应用题，按照百分数应用题的解题思路和解题方法进行解答．
【命题方向】
常考题型：
例1：如图是某小学六年级学生视力情况统计图．
①视力正常的有76人，视力近视的有 60 人；
②假性近视的同学比视力正常的人少 15.8 %；（百分号前保留一位小数）
③视力正常的学生与视力非正常学生人数的比是 19：31 ．
分析：由图可知：把总人数看成单位“1”，视力正常的人数占总人数的38%，近视的人数占总人数的30%，假性近视的人数占总人数的32%；
①视力正常的有76人，它对应的百分数是38%，由此用除法求出总人数，再求出总人数的30%就是近似的人数；
②用视力正常占的百分数减去假性近视人数占的百分数，然后用求得的差除以视力正常占的百分数即可；
③先求出视力非正常学生人数占总人数的百分数，然后作比．
解：①76÷38%×30%，
＝200×30%，
＝60（人）；
答：视力近视的有60人．
②（38%﹣32%）÷38%，
＝6%÷38%，
≈15.8%；
答：假性近视的同学比视力正常的人少15.8%．
③38%：（32%+30%），
＝38%：62%，
＝38：62，
＝19：31；
答：视力正常的学生与视力非正常学生人数的比是19：31．
故答案为：60，15.8%，19：31．
点评：解决本题关键是从图中读出数据，找出单位“1”，再根据基本的数量关系求解．
34．统计图的选择
【知识点归纳】
理解三种统计图各自的特点，并能根据不同问题选择适当的统计图描述数据．
（1）条形统计图的特点：
条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
（2）折线统计图的特点：
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况．
（3）扇形统计图的特点：
扇形统计图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比．
注意：1．这三种统计图最后都要写标题．
2．条形统计图、折线统计图都会出现复式统计图，需用不同种类的条形和折线来表示，如﹣﹣与﹣﹣﹣﹣等．
3．制作统计图的目的．
尽可能清楚、有效地描述数据，以利于对数据作出正确的分析，以便进行合理地做出决策．
4．统计图与统计表的区别
统计表所反映的数据准确、易找，但不易看出数据之间的关系或变化情况，而统计图能很直观地表示出变化的情况，但往往不能看出准确的数据．
【命题方向】
常考题型：
例1：三洋电视机厂为了能清楚地表示出上半年月产量的多少与增减变化的情况，应绘制（ ）
A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图
【分析】根据题意，即能表示数量的多少，又能表示数量的增减变化情况，根据折线统计图的特点和作用，即可做出判断．
解：折线统计图不仅表示数量的多少，而且表示数量的增减变化情况，由此，三洋电视机厂为了能清楚地表示出上半年月产量的多少与增减变化的情况，应绘制折线统计图．
故选B．
【点评】此题考查的目的是理解和掌握折线统计图的特点和作用，并且能够根据其特点和作用解决有关的实际问题．
35．统计图表的填补
【知识点归纳】
1．读懂统计图或者表．
2．将文字和统计量结合起来，根据问题进行计算，一般都是总和是100%，已知几个分量求剩下一个量的值或者已知数量算所占百分比或者根据百分比算数量．
【命题方向】
常考题型：
例1：乐乐记录了爸爸妈妈两个月的电话费支出情况．
【分析】（1）运用爸爸1、2月份的总钱数减去1月份的话费即可得到2月份的话费．把妈妈1、2月份的钱数相加即可得到总钱数．
（2）把爸爸、妈妈1月份的话费相加即可得到合计，把爸爸、妈妈2月份的话费相加即可得到合计，然后再把两次的合计加在一起即可得到总合计．
解：（1）61.0﹣30.2＝30.8（元）
26.7+20.4＝47.1（元）
（2）30.2+26.7＝56.9（元）
30.8+20.4＝51.2（元）
56.9+51.2＝108.1（元）
【点评】此题主要依据加法及减法的意义解决实际问题．
36．从统计图表中获取信息
【知识点归纳】
图象信息题是指由图形、图象（表）及易懂的文字说明来提供问题情景的一类问题，它是近几年所展示的一种新的题型．这类问题题型多样，取材广泛，形式灵活，突出对考生收集、整理和加工信息能力的考查．是近几年中考的热点．解图象信息题的关键是“识图”和“用图”．解这类题的一般步骤是：
（1）观察图象，获取有效信息；
（2）对已获信息进行加工、整理，理清各变量之间的关系；
（3）选择适当的数学工具，通过建模解决问题．
【命题方向】
常考题型：
例1：在一个圆形花坛内种了三种花（如图所示），用条形统计图表示各种花的占地面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
【分析】有扇形统计图可知：
水仙占25%，丁香占25%，而菊花占50%，即水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍．
解：由图可知：水仙的数量与丁香的数量相等，菊花的数量是水仙的2倍；
在条形统计图上，有2根直条相等，另一根是这两根的2倍；
只有D选项符合这一形状．
故选：D．
【点评】本题关键是先读懂扇形统计图，找出各个量之间的关系，再把这一关系在条形统计图上表示出来．
37．握手问题
【知识点归纳】
假设有N个人，则每个人都要和除自己之外的（N﹣1）个人握手，
则总握手的次数是N（N﹣1），但是在这N（N﹣1）次的握手中，每一次的握手都重复计算了，例如我和你握手，你和我握手是一样的．所以，要把它除以2，
则N个人握手的次数是12N（N﹣1）．
【命题方向】
经典题型：
例1：甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘．
A、1 B、2 C、3 D、4
分析：五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了4盘为突破口，找出小明下的盘数
解：甲下了4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明；
而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下；
乙下了3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了；
丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；
由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了2盘．
故选：B
点评：本题根据循环比赛，得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算．
38．排列组合
【知识点归纳】
排列组合的综合应用具有一定难度．突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石．其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析．有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握．
【命题方向】
经典题型：
例1：教务处编排某班某日上午的课程表（上午只上5节课）．该班拟安排语文、数学、英语、科学和体育（每科只上一节课），但规定体育不安排在第一节课．问安排的课程表可能有几种？
分析：第一节课是从除体育外的4科中选择一科，有4种不同的选择方法；第二节从剩下的4科中选择1科，也有4种选择方法，第三节从剩下的3科中选择1科，有3种选法；第四节从剩下的2科中选择1科，有1种选法；第五节就是剩下的1科，有1种选法；根据乘法原理它们的积就是全部的选择方法．
解：4×4×3×2×1，
＝16×3×2×1，
＝96（种）；
答：安排的课程表可能有96种．
点评：分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成．用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”．
例2：如图中 A、B、C、D、E 五个区域，以红、黄、蓝三色去涂，相邻区域涂上不同颜色，共有多少种涂法？
分析：首先，可以将红、黄、蓝任一颜色去涂A区．由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A＝3，B＝2，C＝1，D＝1，E＝1，运用乘法原理即可解决问题．
解：将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，由于B、C区与A相连，而B、C两区也相连，所以可选的颜色B区有2种，C区有1种，虽然E区并不与B区相连，理论上可选的颜色有2种，但这样的话，D区将无法着色，所以，可涂上的颜色数目如下：A＝3，B＝2，C＝1，D＝1，E＝1．
共有涂法：3×2×1×1×1＝6（种）．
答：共有6种涂法．
点评：解答此题的关键是通过题意，进行分析，首先将红、黄、蓝任一颜色去涂A区，然后逐步推出A、B、C、D、E可涂上的颜色数目，解决问题．

m
m+1
m+7
m+8
m﹣7
m﹣8
m
m+1
m﹣8
m﹣7
m﹣1
m
m﹣1
m
m+6
m+7
存期
三个月
半年
一年
二年
三年
年利率/%
1.35
1.55
1.75
2.25
2.75
①12-13=
②725÷75=
③0.875÷18=
④10×10%＝
⑤1﹣95%＝
⑥619×3.14×196=
⑦56+16×12=
⑧14+12-12=
项目
感兴趣人数
A（毛细效应试验）
80
B（小球变“懒”试验）
140
C（天空趣味饮水）
D（会调头的扳手）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
D
A
D
C
C
A
m
m+1
m+7
m+8
m﹣7
m﹣8
m
m+1
m﹣8
m﹣7
m﹣1
m
m﹣1
m
m+6
m+7
存期
三个月
半年
一年
二年
三年
年利率/%
1.35
1.55
1.75
2.25
2.75
①12-13=
②725÷75=
③0.875÷18=
④10×10%＝
⑤1﹣95%＝
⑥619×3.14×196=
⑦56+16×12=
⑧14+12-12=
①12-13=16
②725÷75=15
③0.875÷18=7
④10×10%＝1
⑤1﹣95%＝0.05
⑥619×3.14×196=3.14
⑦56+16×12=256
⑧14+12-12=14
项目
感兴趣人数
A（毛细效应试验）
80
B（小球变“懒”试验）
140
C（天空趣味饮水）
D（会调头的扳手）
项目
感兴趣人数
A（毛细效应试验）
80
B（小球变“懒”试验）
140
C（天空趣味饮水）
60
D（会调头的扳手）
120
项目
感兴趣人数
A（毛细效应试验）
80
B（小球变“懒”试验）
140
C（天空趣味饮水）
60
D（会调头的扳手）
120
5x×30%＝15
3.6x+120%x＝96
100%x+2/3＝7/6
130%x﹣0.8×4＝3.3
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
合计
1月
2月
合计
爸爸
30.2元
30.8
61.0元
妈妈
26.7元
20.4元
47.1
合计
56.9元
51.2元
108.1元