2025-2026学年安徽省宿州市九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年安徽省宿州市九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ）
A. 轴对称变换B. 平移变换C. 相似变换D. 旋转变换
2.若一元二次方程x2=m的两个实数根分别是2a-6和3a-4，则m的值是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
3.小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏：A，B是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形.同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色.若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看.此规则（ ）
A. 公平B. 对小颖有利C. 对小亮有利D. 公平性不可预测
4.已知x=0是关于x的一元二次方程（m-1）x2+mx+4m2-4=0的一个根，则直线y=mx-2不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现反面朝上的频率
C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
6.小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇•赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为（ ）
A. 10x+（x-3）=（x-3）2B. 10（x+3）+x=x2
C. 10x+（x+3）=（x+3）2D. 10（x+3）+x=（x+3）2
7.如图，在△ABC中，D，E是边AB的三等分点，F，G是边AC的三等分点，若△ADF的面积为m,则四边形EBCG与△AEG的面积差是（ ）
A. 4m
B. 3m
C. 2m
D. m
8.如图，在△ABC中，AB=8，BC=7，AC=5，BD，CE是△ABC的两条高，连接DE，则等于（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，在矩形ABCD中，AD=9，AB=12，点E是CD上一动点，在平面内将矩形沿AE折叠，使点D落在D′位置.若△CD′E为直角三角形，则DE的长为（ ）
A.
B. 9或6
C. 9或
D. 3或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
10.第20届华中图书交易会于2025年10月24日至26日在武汉国际会展中心举办.若小张随机从A，B，C三个入口中选择一个进入，再随机从D，E两个出口中选择一个离开，则小张从B口进入，D口离开的概率是 .
11.在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为a®b=a2-b2，例如，5®2=52-22=25-4=21.根据这个规则，方程（2x-1）®6=0的解为 .
12.如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点.若蜡烛SA的像为S′A′，测量得到OA：OA′=2：1，蜡烛的高为8cm,则像S′A′的长为 .
13.如图，在线段AB上取一点C，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作菱形ACDE和菱形BCFG，使点D在边CF上，连接EG，M是EG的中点，∠A=65°，EG=10cm.
（1）∠F=______.
（2）线段CM的长度为______cm.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解方程：
（1）（3x-1）2-25=0.
（2）2x2-x-6=0.
15.(本小题8分)
如图，点O是△ABC边BC上一点，连接AO，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，连接DE，DF.求证：△ABC∽△DEF.
16.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-4x+2k+3=0有两个不相等的实数根，分别是m和n.
（1）求k的取值范围.
（2）若m2+n2-mn≤13，且k为整数，求k的值.
17.(本小题8分)
△ABC和△DEC均为等腰直角三角形.
（1）如图1，当CE与AC重合时，=______.
（2）如图2，将△DEC绕点C逆时针旋转一定的角度，连接AD，BE，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由.
18.(本小题10分)
如图，在正方形 ABCD中，E是BC上一点，连接AE，以点B为圆心，AE的长为半径画弧，交边CD于点F，求证：AE⊥BF.
19.(本小题10分)
两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP，PB，若，则把这种分割叫作黄金分割，点P叫作线段AB的黄金分割点.如图2，在△ABC中，AB=AC，BC=2，∠A=36°，CD为∠ACB的平分线.
（1）求证：点D为AB的黄金分割点.
（2）求BD的长.
20.(本小题12分)
复兴路中学计划成立五个课外兴趣小组（要求每名学生只能参加一个兴趣小组）：A.音乐；B.美术；C.篮球；D.阅读；E.棋类.为了了解学生对以上兴趣小组活动的参与情况，学校老师随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图、根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）：
②扇形统计图中的圆心角α的度数为______.
（2）若该校有1800名学生，估计该校参加E组（棋类）的学生人数.
（3）该学校从A组中挑选出了成绩优秀的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学参加市里举办的“中学生新年文艺汇演”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率.
21.(本小题12分)
已知方程x2-2x-2=0，求一个关于x的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍.
解：设所求方程的根为y,则y=3x,x=，
把x=代入x2-2x-2=0，得，化简得y2-6y-18=0，
这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”.请按照这种方法解决下列问题.
（1）已知方程x2-x-4=0的两个根分别为x1和x2，求一个关于y的方程，使得它的两个根分别为：y1=x1-1，y2=x2-1，则所求方程为______（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）.
（2）已知方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0），求一个关于x的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数.
（3）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根分别为x1=1和x2=-，求关于y的一元二次方程c（y-2026）2+b（y-2）=2024b-a（c≠0）的两个实数根.
22.(本小题14分)
新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”.如图1.四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且EG⊥FH.则线段GE和FH叫做垂美线段.
某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题：
（1）如图2，E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、AB、CD上的点，CE⊥FG于H，则垂美线段CE与FG之间的数量关系是______（直接写出结论，不证明）；
（2）如图3，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，点E，F，G分别在AB、BC，CD上，且AF⊥GE，请探究垂美线段AF与GE的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图4，学校校园内有一块形如四边形ABCD的场地，测得∠ABC=∠ADC=90°，量得BC=50米，CD=50m,AD=100m,且AE⊥DF，点E、F分别在边BC、AB上，求的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4cm
13.【答案】115°；
5
14.【答案】（1） （2）
15.【答案】见解析过程．
16.【答案】（1） （2）k=-1或k=0
17.【答案】 （2）第（1）问的结论仍然成立；理由如下：
∵∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD=45°，
∴∠ACD=∠BCE，
又∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠EDC，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
∴，
∴△ACD∽△BCE，
∴
18.【答案】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
在Rt△ABE与Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（HL），
∴∠FBC=∠BAE，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴AE⊥BF．
19.【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵CD为∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=36°，
∴∠DCB=∠A=∠DCA，
∴DC=DA，
∵∠CDB=∠A+∠ACD=72°，
∴∠CDB=∠B，
∴CD=CB，
∴AD=CD=BC，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴=，
∴BC2=BA•BD，
∴AD2=BA•BD，
∴点D为AB的黄金分割点 （2）-1
20.【答案】120° （2）约360人 （3）
21.【答案】y2+y-4=0 （2）所求方程为cy2+by+a=0 （3）关于y的一元二次方程的两个实数根为y1=2027，y2=2022
22.【答案】CE=FG （2）；证明：如图3，平移线段DA，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边BA上，则四边形AHGD是矩形，

∴AD=GH，∠GHE=∠DAB=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
∴∠GHE=∠B=90°，
∴∠AFB+∠FAB=90°，
又∵AF⊥GE，
∴∠APE=90°，
∴∠AEP+∠FAB=90°，
∴∠AEP=∠AFB，
∴∠GEH=∠AFB，
∴△GEH∽△AFB，
∴，
∵AB=5，AD=4，
∴ （3）