上海市上海大学附属中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份上海市上海大学附属中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知α、β是空间两个不同的平面，则“平面α上存在不共线的三点到平面β的距离相等”是“α//β”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件
2.某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为100分.如图所示的茎叶图为某班20名同学的测试成绩(单茎位：分).则这组数据的极差和众数分别是( )
A. 20，88B. 30，88C. 20，82D. 30，91
3.若函数y= 3sin(x+θ)+cs(x+θ)的图像关于y轴对称，θ∈0,π，则θ=( )．
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.对于定义在R上的函数f(x)，若存在正常数a、b，使得f(x+a)≤f(x)+b对一切x∈R均成立，则称f(x)是“控制增长函数”，在以下四个函数中：①f(x)=x2+x+1；②f(x)= |x|；③f(x)=sinx2；④f(x)=x⋅sinx.是“控制增长函数”的有( )
A. ②③B. ③④C. ②③④D. ①②④
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.a为实数1+2ia+i为实数，则a= ．
6.集合A={x|y= x−2}，B=y|y=−x2+4x，则A∩B= ．
7.(x−2y)5的展开式中x2y3的系数为 ．
8.抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为5，则点M的横坐标是 ．
9.已知sinα−csα= 33，则sin2α= ．
10.从甲､乙､丙､丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲､乙两人都没有被选到的概率为 (用数字作答)．
11.已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱与底面成角为π3，则该棱锥体积为 ．
12.中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边形ABCDEFGH，如图所示，若AB=2，则AC⋅AE= ；
13.已知点A(−3,−2)和圆C：(x−6)2+(y−6)2=2，一束光线从点A发出，射到直线l：y=x−3后反射(入射点为B)，反射光线经过圆周C上一点P，则折线ABP的最短长度是 ；
14.已知定义在(−3,3)上的奇函数y=f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y=f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式f′(x)x>0的解集为 ．
15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(1−x)+f(1+x)=2，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−x2，若f(x)≥x+b对一切x∈R恒成立，则实数b的最大值为 ．
16.已知数列an满足13an≤an+1≤3an，n是正整数，a1=1，若an是公比为q等比数列，且Sn=a1+a2+⋯+an，13Sn≤Sn+1≤3Sn，n是正整数，则q的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
如图，三棱锥P−ABC，侧棱PA=2，底面三角形ABC为正三角形，边长为2，顶点P在平面ABC上的射影为D，有AD⊥DB，且DB=1．
(1)求证：AC//平面PDB；
(2)求二面角P−AB−C的余弦值．
18.(本小题15分)
已知在▵ABC中，∠A﹑∠B﹑∠C所对的边分别为a﹑b﹑c，若csAcsB=ba且sinC=csA．
(Ⅰ)求角A、B、C的大小；
(Ⅱ)设函数f(x)=sin(2x+A)+cs2x−C2，求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．
19.(本小题16分)
某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10，OB=x(00)的焦距为2 3，点P(0,2)关于直线y=−x的对称点在椭圆Γ上．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)如图，过点P的直线l与椭圆Γ交于两个不同的点C,D(点C在点D的上方)，试求▵COD面积的最大值；
(3)若直线m经过点M(1,0)，且与椭圆Γ交于两个不同的点A,B，是否存在直线l0:x=x0(其中x0>2)，使得A,B到直线l0的距离dA,dB满足dAdB=|MA||MB|恒成立？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题17分)
函数f(x)的定义域为R，若f(x)满足对任意x1,x2∈R，当x1−x2∈M时，都有fx1−fx2∈M，则称f(x)是M连续的．
(1)请写出一个函数f(x)是1连续的，并判断f(x)是否是n连续的n∈N∗，说明理由；
(2)证明：若f(x)是[2,3]连续的，则f(x)是2连续且是3连续的；
(3)当x∈−12,12时，f(x)=ax3+12bx+1，其中a,b∈Z，且f(x)是[2,3]连续的，求a,b的值．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.C
5.12
6.[2,4]
7.−80
8.4
9.23
10.16
11.94 3
12.8+4 2
13.13− 2
14.(−3,−1)∪(0,1)
15.−14/−0.25
16.13,2
17.【详解】(1)解：因为AD⊥DB，且DB=1，AB=2，所以AD= 3，
所以∠DBA=60°．
因为▵ABC为正三角形，所以∠CAB=60°，
又由已知可知ACBD为平面四边形，所以DB//AC．
因为AC⊂平面PDB，DB⊂平面PDB，
所以AC//平面PDB．
(2)解：由点P在平面ABC上的射影为D可得PD⊥平面ACBD，
所以PD⊥DA，PD⊥DB．
如图，以D为原点，AD方向直线为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知B(0,1,0)，A(− 3,0,0)，P(0,0,1)，C(− 3,2,0)．
平面ABC的法向量n→=(0,0,1)，所以BA→=(− 3,−1,0),BP→=(0,−1,1)，
设m→=(x,y,z)为平面PAB的一个法向量，则
由m→⋅BA→=0m→⋅BP→=0，得− 3x−y=0−y+z=0，令x=1，则y=− 3，z=− 3，
所以平面PAB的一个法向量m→=(1,− 3,− 3)，所以cs =− 3 7×1=− 217，
由图象知二面角P−AB−C是钝二面角，
所以二面角P−AB−C的余弦值为− 217．

18.【详解】(Ⅰ)由题设及正弦定理知：csAcsB=sinBsinA，得sin2A=sin2B，
∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2．
当A=B时，有sin(π−2A)=csA，即sinA=12，得A=B=π6，C=2π3;
当A+B=π2时，有sin(π−π2)=csA，即csA=1，不符题设，
∴A=B=π6，C=2π3．
(Ⅱ)由(Ⅰ)及题设知：f(x)=sin(2x+π6)+cs(2x−π3)=2sin(2x+π6)；
当2x+π6∈[2kπ−π2,2kπ+π2](k∈Z)时，f(x)=2sin(2x+π6)为增函数，
即f(x)=2sin(2x+π6)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)．
它的相邻两对称轴间的距离为π2．

19.【详解】(1)解：根据题意，可算得BC⌢=θxm，AD⌢=10θm．
因为AB+CD+BC⌢+AD⌢=30，所以2(10−x)+θx+10θ=30，
所以，θ=2x+10x+10(03.
设C(xC , yC)，D(xD , yD)，则xC+xD=−16k4k2+1，xCxD=124k2+1，且xD>xC，
S▵COD=S▵ POD−S▵POC=12⋅|PO|⋅xD−12⋅|PO|⋅xC|=|xD|−|xC|=|xD−xC，
所以，S▵COD2=(xD−xC)2=(xC+xD)2−4xCxD=−16k4k2+12−484k2+1
=64k2−48(4k2+1)2=16(4k2−3)(4k2+1)2.
令4k2−3=t，则t>0，所以，S▵COD2=16t(t+4)2=16tt2+8t+16=16t+16t+8，
因为t+16t≥8(当且仅当t=4时等号成立)，此时S▵COD2≤1．
所以，当且仅当t=4，即k2=74时，△COD的面积取最大值1．
(3)当直线m的斜率不存在时，m的方程为x=1，此时dA=dB，|MA|=|MB|，
等式dAdB=|MA||MB|成立；
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k(x−1)，
由y=k(x−1) ,x24+y2=1 ,得(4k2+1)x2−8k2x+4k2−4=0，
设A(x1 , y1)，B(x2 , y2)，则x1+x2=8k24k2+1，x1x2=4k2−44k2+1，
由题意，x1与x2一个小于1，另一个大于1，不妨设x1>1>x2，
则dA⋅|MB|−dB⋅|MA|=x0−x1⋅ (x2−1)2+y22−x0−x2⋅ (x1−1)2+y12
=x0−x1⋅ (1+k2)(x2−1)2−x0−x2⋅ (1+k2)(x1−1)2
= 1+k2⋅[x0−x1|⋅|x2−1|−|x0−x2|⋅|x1−1]
= 1+k2⋅[(x0−x1)(1−x2)−(x0−x2)(x1−1)]
= 1+k2⋅2x0−(x0+1)(x1+x2)+2x1x2=0，
所以，2x0−(x0+1)(x1+x2)+2x1x2=0，
即2x0−8(x0+1)k24k2+1+8(k2−1)4k2+1=0，解得x0=4．
综上，存在满足条件的直线x=4，使得dAdB=|MA||MB|恒成立．

21.【详解】(1)函数f(x)=x是1连续的，也是n连续的．理由如下：
由x1−x2=1，有fx1−fx2=x1−x2=1，
同理当x1−x2=n，有fx1−fx2=x1−x2=n，
所以f(x)=x是1连续的，也是n连续的．
(2)因为f(x)是[2,3]连续的，由定义可得对任意x1,x2∈R，
当2≤x1−x2≤3时，有2≤fx1−fx2≤3，
所以有
f(x+6)−f(x)=f(x+6)−f(x+4)+f(x+4)−f(x+2)+f(x+2)−f(x)≥6，
且f(x+6)−f(x)=f(x+6)−f(x+3)+f(x+3)−f(x)≤6，
所以f(x+6)−f(x)=6，
所以f(x+6)−f(x+4)=f(x+4)−f(x+2)=f(x+2)−f(x)=2，
即f(x)是2连续的，
又同理可得f(x+6)−f(x+3)=f(x+3)−f(x)=3，即f(x)是3连续的．
(3)已知f(x)是[2,3]连续的，
则由(2)可得f(x+2)−f(x)=2,f(x+3)−f(x)=3，
两式相减可得f(x+3)−f(x+2)=1，
即f(x+1)−f(x)=1,f(x)是1连续的，
进一步有f(x+n)−f(x)=n，n∈N∗，f(x)是n连续的．
由已知x∈−12,12时，f(x)=ax3+12bx+1，
若a=b=0时，f(x)=1，
则f12=f−12=1，不满足f(x+1)−f(x)=1．
又对任意x1,x2∈R，当0≤x1−x2≤1时，有2≤x1+2−x2≤3，
因为f(x)是[2,3]连续的，所以2≤fx1+2−fx2≤3，
又fx1+2=fx1+2，所以2≤fx1+2−fx2≤3，
所以0≤fx1−fx2≤1，
即对任意x1,x2∈R，当0≤x1−x2≤1时，都有0≤fx1−fx2≤1，
故f(x)是[0,1]连续的．
由上述分析可得f−12+1=f12f′(x)≥0,
则当x∈−12,12，f(x)=ax3+12bx+1，其中a,b∈Z，
有a4+b2=13ax2+12b≥0,
所以3ax2−a4+1≥0,x∈−12,12恒成立．
设φ(x)=3ax2−a4+1，对称轴为x=0．
当a=0时，b=2，不等式1≥0恒成立，满足题意；
当a>0时，由3ax2−a4+1≥0恒成立，x∈−12,12，
则φ(x)min=φ(0)≥0，即a≤4，则0