黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2026届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案）

这是一份黑龙江省佳木斯市桦南县第一中学2026届高三上学期第三次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=1,m，B=0,1,2,3，则“m=2”是“A⊆B”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
2.已知随机变量X∼N2,σ2，且P(XcB. b>c>aC. a>c>bD. a>b>c
8.已知函数f(x)=x2+2x+2,x≤0lnx,x>0，则方程ff(x)−2=2实数根的个数为( )
A. 6B. 7C. 10D. 11
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数z(i是虚数单位)的结论中正确的是( )
A. z=1+2i的虚部为2i
B. i3=−i
C. z=1−2i在复平面所对应的点位于第四象限
D. 若z+1−i=4，则|z|的最大值为4+ 2
10.在▵ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，如下判断正确的是( )
A. 若a⋅csA=b⋅csB，则▵ABC为等腰三角形
B. 若A>B，则sinA>sinB
C. 若▵ABC为锐角三角形，则sinA>csB
D. 若满足条件A=π6,c=2的▵ABC有两个，则a的取值范围为(1,2)
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E为A1B1的中点，点P满足DP=λDB1(λ>0)，则( )
A. 存在点P使得AP⊥BE
B. 若M为A1D的中点，则三棱锥P−BEM体积为定值
C. 当λ=23时，平面PBC截正方体ABCD−A1B1C1D1所得截面的面积为 52
D. BB1与平面A1C1D所成的角等于60∘
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列an中，a1=2,an+1=an+1n(n+1)，则通项公式an= ．
13.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若AD=DB，∠ABC=120°，且圆台的表面积为42π，则该圆台的高为 ．
14.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列an满足a1=1，an+1=an4an+3．
(1)证明：1an+2为等比数列；
(2)求数列1an的前n项和Tn．
16.(本小题15分)
某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果(“合格”或“优良”)如下表：
(1)根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？
(2)用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品．
(i)求抽出的产品是优良品的概率；
(ii)已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)；
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，ΔABC是边长为2的正三角形，D是AB的中点，AA1=A1C，直线A1B与平面A1ACC1所成的角为45°．
(1)求证：BC1/\!/平面A1CD；
(2)求二面角B−A1C−C1的余弦值．
18.(本小题17分)
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右焦点为F，P(0,− 3)是E上一点．
(1)求E的方程；
(2)过F的直线l交E于A,B两点，求▵OAB(O为坐标原点)的面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=−2alnx+12x2+x(1−2a)(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a=12时，求证：f(x)−12x2+ex−2>0．
参考答案
1.B
2.B
3.B
4.A
5.B
6.B
7.D
8.D
9.BCD
10.BCD
11.BC
12.3−1n
13.2 6
14.6125
15.【详解】(1)因为a1=1，an+1=an3+4an，所以1an+1=3an+4，
所以1an+1+2=31an+2，
又因为1a1+2=3，所以数列1an+2是以3为首项，3为公比的等比数列；
(2)(2)由(1)可知1an+2=3×3n−1=3n，即1an=3n−2，
所以Tn=1a1+1a2+⋅⋅⋅+1an=31+32+⋅⋅⋅+3n−2n=31−3n1−3−2n=12×3n+1−2n−32．

16.【详解】(1)提出零假设H0：产品检测结果与生产线没有关联，
由χ2=500×(20×240−60×180)280×420×200×300=12514≈8.93>6.635，
根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，推断H0不成立，
即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于0.01．
(2)设事件A=“被选出的是甲生产线”，事件B=“取出的产品是优良品”，
(ⅰ)依题意，P(A)=PA=12，
PBA =180200=910,PBA =240300=1215=45，
由全概率公式得：P(B)=P(A)PBA +PAPBA =12×910+12×1215=1720．
(ⅱ)取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为：
PAB =P(AB)P(B)=P(A)PBA P(B)=12×9105160=917．

17.【详解】(1)证明：连接AC1交A1C于点E，连接DE，
因为四边形ACC1A1是平行四边形，所以E是AC1的中点，
又因为D是AB的中点，所以DE/\!/BC1，
因为BC1⊄平面A1CD，DE⊂平面A1CD，所以BC1/\!/面A1CD．
(2)取AC中点O，连接OA1、OB，因为AA1=A1C，所以OA1⊥AC，
因为平面A1ACC1⊥平面ABC，OA1⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以OA1⊥平面ABC，
因为▵ABC是正三角形，O是AC的中点，所以OB⊥AC，
建立空间直角坐标系O−xyz，如图所示，
设OA1=a，
则A(0,−1,0)，B 3,0,0，C(0,1,0)，D 32,−12,0，A1(0,0,a)，C1(0,2,a)，
所以A1B= 3,0,−a，A1C=(0,1,− 3)，BC=(− 3,1,0)，
又平面A1ACC的一个法向量n=1,0,0，
所以csA1B,n=A1B⋅nA1Bn= 3 3+a2=sin45°= 22，
因为a>0，解得a= 3，
设平面BA1C的一个法向量n1=x,y,z，则n1⋅A1C=y− 3z=0n1⋅BC=− 3x+y=0,
取x=1，可得y= 3,z=1，所以n1=1, 3,1，
又平面A1CC1的一个法向量n2=(1,0,0)，所以csn1,n2=n1⋅n2n1n2=1 5= 55，
设二面角B−A1C−C1的平面角为θ，
由图知θ为钝角，则csθ=−cscsn1,n2=− 55，
即二面角B−A1C−C1的余弦值为− 55．

18.【详解】(1)因为P(0,− 3)是E上一点，代入椭圆方程解得b= 3，
又e= a2−3a=12，解得a2=4，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1．
(2)由(1)得半焦距c=1，点F(1,0)，显然l的斜率不为零，
设直线l的方程为x=my+1，A(x1,y1),B(x2,y2)，
由x=my+13x2+4y2=12消去x，得(3m2+4)y2+6my−9=0，显然Δ>0，
则y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
所以|y1−y2|= (y1+y2)2−4y1y2= 36m2(3m2+4)2+363m2+4=12 m2+13m2+4，
则▵OAB的面积S▵OAB=12|OF||y1−y2|=6 m2+13m2+4=63 m2+1+1 m2+1，
令 1+m2=t≥1，函数y=3t+1t在[1,+∞)上单调递增，当t=1时，3t+1t取得最小值4，
则当m=0时，3 m2+1+1 m2+1取得最小值4，(S▵OAB)max=32，
所以▵OAB的面积的最大值为32．


19.【详解】(1)由f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=−2ax+x+1−2a=x2+(1−2a)x−2ax=(x+1)(x−2a)x，
若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)内单调递增，
若a>0，当00时，f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增．
(2)当a=12时，由f(x)−12x2+ex−2>0，得ex−lnx−2>0，
设g(x)=ex−lnx−2，则g′(x)=ex−1x(x>0)，
设h(x)=ex−1x，则h′(x)=ex+1x2>0，则h(x)即g′(x)在(0,+∞)内单调递增，
∵g′13=3e−30，
∴存在x0∈13,1，使得g′x0=0，即ex0−1x0=0，即ex0=1x0，x0=−lnx0，
当00．
生产线
检测结果
合计
合格
优良
甲生产线
20
180
200
乙生产线
60
240
300
合计
80
420
500
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828