2025-2026学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年四川省成都市龙泉驿区八年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.25的算术平方根是( )
A. 5B. 5C. −5D. ±5
2.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. 32，42，52B. 5，12，13C. 0.6，0.8，1D. 1，2，3
3.下列实数中是无理数的为( )
A. πB. 1C. 73D. 0.3
4.方程组x+y=3x−y=−1的解是( )
A. x=1y=2B. x=1y=−2C. x=2y=1D. x=0y=−1
5.下列计算正确的是( )
A. (−5)2=±5B. 3 5− 5=2 5
C. (− 5)2=−5D. 8÷ 2=4
6.下列三角形中，a，b，c分别表示边长，∠A，∠B，∠C表示角，一定是直角三角形的有( )
(1)三边之比为3：4：5的三角形；
(2)三个内角是∠A=12∠B=13∠C的三角形；
(3)∠A：∠B：∠C=3：4：5；
(4)a2−c2=b2.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=16，将此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，则AE的长度为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟，设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意列方程组( )
A. x+y=168060x+20060y=1880B. x=16+y80x+200y=1880
C. x+y=1680x=1880+200yD. x+y=1680x+200y=1880
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.若代数式 x+2有意义，则实数x的取值范围是 .
10.x=3y=−2是方程ax+y=1的解，则a= .
11.大于− 2且小于 5的整数的和是 .
12.如图，长方形ABCD的边AD长为3，AB长为1，点A在数轴上对应的数是0，以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是 .
13.如图，一只蚂蚁从底面为边长4.5cm的正方形，高是12cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它需要爬行的最短路线的长是 cm.
14.当a= 3+1时，代数式a2−2a+1的值为 .
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，若AB=11，则正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和为 .
16.解关于x，y的方程组x+y=4kx−y=5k，当解满足方程4x−6y=21时，k值为 .
17.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，这个矩形色块图的面积是 .
18.如图，15只空油桶(每只油桶底面的直径均为40cm)堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚高度至少为 cm.
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题16分)
(1) 27+3−8− 12；
(2)2 3× 12− 48÷ 3；
(3) 24÷ 3+6 12− 32；
(4)( 3−1)2+( 3+2)( 3−2).
20.(本小题8分)
解下列方程组：
(1){y=2x+3①4x−y=1②；
(2){3x−2y=1①2x+3y=−7②.
21.(本小题6分)
将一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成一个正方形.已知这两个图形的面积相等，请画出示意图进行分析，并求长方形的长和宽分别是多少.
22.(本小题8分)
2025年成都世界运动会(第12届世界运动会)是一项重要的国际综合性体育赛事，于2025年8月7日至17日在中国四川成都成功举办，这也是中国大陆城市首次举办该赛事.随着赛事的举办，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身.小亮坚持每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从A点到D点有两条路线，分别是A→B→D和A→C→D.已知AB=800m，AC=1000m，点C在点B的正东方600m处，点D在点C的正北方200m处.
(1)试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
(2)如果小亮沿着A→C→D的路线跑，爸爸沿着A→B→D的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC.
(1)如图，点D是边BC上一点，作BE⊥AD，CF⊥AD.
①求证：AF=BE；
②连接CE，若AE=2BE，CE=5，求边CF的长；
(2)如图3，O是△ABC内部一点，∠AOB=90∘，连接CO，若∠AOC=∠BOC，AO=2，求点O到BC的距离.
24.(本小题10分)
观察下列式子的化简过程：
1 3+ 2=1×( 3− 2)( 3+ 2)×( 3− 2)= 3− 2( 3)2−( 2)2= 3− 23−2= 3− 2；
1 5+ 3=1×( 5− 3)( 5+ 3)×( 5− 3)= 5− 3( 5)2−( 3)2= 5− 35−3= 5− 32.
(1)按照上述两个式子的化简过程，化简1 7+ 5=______，1 a+ b=______；
(2)计算下列算式：1 3+1+1 5+ 3+1 7+ 5+⋯+1 2025+ 2023；
(3)比较 2025− 2024与 2024− 2023的大小，并说明理由.
25.(本小题10分)
(1)如图1，在Rt△ABC中，∠BCA=30∘，AB=3，求BC，AC；
(2)如图2，尺规作图：作三角形ABC，使∠CBA=α，边BC=a，AC=b；
(3)在(2)条件下若∠CBA=30∘，BC=8，AC=5，求AB的长度.
26.(本小题10分)
(1)如图1，在矩形ABCD中，P是边AD中点，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A′BP，射线PA′交边CD于点E，射线BA′分别交线段CD，射线AD于点G，F.求证△PDE≌△PA′F；
(2)在(1)条件下，若DG=4，EG=5，求AB长度；
(3)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，P是边AD上一点，AP=1，将△ABP沿着直线BP翻折得到△A′BP，延长PA′交CD于点E，若E为CD中点，求此时△A′BC的面积.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵5的平方是25，
∴25的算术平方根是5.
故选：A.
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
本题主要考查的是算术平方根的定义，难度不大，比较简单．
2.【答案】B
【解析】解：A、∵(32)2+(42)2≠(52)2，
∴32，42，52不是勾股数，不符合题意；
B、∵52+122=132，
∴正整数5，12，13是勾股数，符合题意；
C、∵0.6、0.8，1不都是正整数，
∴0.6、0.8，1不是勾股数，不符合题意；
D、∵12+22≠32，
∴1，2，3不是勾股数，不符合题意；
故选：B.
根据勾股数的定义判断即可．
本题考查的知识点是勾股数的定义，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
3.【答案】A
【解析】解：A.π是无理数；
B.1是整数，属于有理数；
C.73是分数，属于有理数；
D.0.3是有限小数，属于有理数；
故选：A.
无理数是指无限不循环小数，由此判断即可．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
本题主要考查无理数的概念，掌握无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：{x+y=3①x−y=−1②，
①+②得：2x=2，
x=1，
把x=1代入①得：1+y=3，
y=2，
∴方程组的解为：x=1y=2
故选：A.
解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法消元，①②相加可消去y，得到一个关于x的一元一次方程，解出x的值，再把x的值代入方程组中的任意一个式子，都可以求出y的值
此题主要考查了二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
5.【答案】B
【解析】解：A. (−5)2=5，故此选项不符合题意；
B.3 5− 5=2 5，故此选项符合题意；
C.(− 5)2=5，故此选项不符合题意；
D. 8÷ 2=2，故此选项不符合题意；
故选：B.
根据算术平方根和二次根式的运算法则去判断即可．
此题主要考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：(1)设三边分别为3k，4k，5k，
则(3k)2+(4k)2=9k2+16k2=25k2=(5k)2，是直角三角形，故(1)符合题意；
(2)∵∠A=12∠B=13∠C，
∴∠C=3∠A，∠B=2∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A+2∠A+3∠A=180∘，
解得：∠A=30∘，
∴∠C=90∘，
∴三角形是直角三角形，故(2)符合题意；
(3)∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴最大角∠C=53+4+5×180∘=75∘，不是直角三角形，故(3)不符合题意；
(4)∵a2−c2=b2，
∴b2+c2=a2，是直角三角形，故(4)符合题意；
综上所述，一定是直角三角形的有3个，
故选：C.
(1)根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
(2)根据条件和三角形内角和定理求出∠C=90∘，即可得出结论；
(3)根据条件和三角形内角和定理求出最大角∠C=75∘，即可得出结论；
(4)根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设AE=x，则ED=16−x，
∵此长方形沿EF折叠，使点D与点B重合，
∴EB=DE=16−x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，
∴AB2+AE2=BE2，即82+x2=(16−x)2，
解得x=6.
∴AE的长为6.
故选：C.
设AE=x，根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程即可得到问题答案．
本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理的运用，找出对应线段、对应角是解题的关键．注意方程思想的运用．
8.【答案】D
【解析】解：∵小颖跑步去学校共用了16分钟，
∴x+y=16；
∵小颖家离学校1880米，小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟，
∴80x+200y=1880.
∴根据题意可列方程组x+y=1680x+200y=1880.
故选：D.
根据小颖跑步去学校所用时间及小颖家到学校的路程，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】x≥−2
【解析】解：由题意可知：x+2≥0，
∴x≥−2.
故答案为：x≥−2.
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
10.【答案】1
【解析】解：根据题意得把x=3y=−2代入方程ax+y=1中，得3a−2=1，
解得a=1，
故答案为：1.
根据二元一次方程的解的定义把x=3y=−2代入方程ax+y=1中即可求出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：大于− 2且小于 5的整数有：−1，0，1，2，
∴这些整数的和为：−1+0+1+2=2.
故答案为：2.
先找出大于− 2且小于 5的整数，然后再根据有理数的加法运算法则计算即可．
本题考查了实数的大小比较，有理数的加法，掌握实数的大小比较方法，有理数的加法运算法则是解题的关键．
12.【答案】± 10
【解析】解：在长方形ABCD中，AB=CD=3，
在Rt△ACD中，据勾股定理锝：AC= AD2+CD2= 32+12= 10.
∴以点A为圆心，对角线AC长为半径画弧，与数轴的正半轴和负半轴相交，有两个交点，
∴点E表示的实数为± 10.
故答案为：± 10.
根据勾股定理求出半径AC的长，再由点A对应的数是0，即可得出点E对应的数．
此题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练用勾股定理求半径是关键．
13.【答案】15
【解析】解：如图1所示展开时：
，
此时AB= 92+122=15；
如图2所示展开时：
，
此时AB= 16.52+4.52= 292.5>15
∴它需要爬行的最短路线的长是15cm，
故答案为：15.
先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用、平面展开图-最短路径问题正确找到最短路径是解题关键．
14.【答案】3
【解析】解：当a= 3+1时，
a2−2a+1
=(a−1)2
=( 3+1−1)2
=( 3)2
=3，
故答案为：3.
将原式变形后代入数值计算即可．
本题考查二次根式的化简求值，将原式进行正确地变形是解题的关键．
15.【答案】121
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=11，
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=112=121，
∴正方形AEDC和正方形BCGF的面积之和=AC2+BC2=121，
故答案为：121.
由勾股定理得AB2=AC2+BC2=112=121，再由正方形的面积公式即可得出结论．
本题考查了勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】1
【解析】解：解关于x，y的方程组x+y=4kx−y=5k，得x=9k2y=−k2，
∵此方程组的解满足方程4x−6y=21，
∴4×9k2−6×(−k2)=21，
解得k=1，
故答案为：1.
先求出方程组的解，再代入方程4x−6y=21中即可求出k的值．
本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
17.【答案】143
【解析】解：设正方形a的边长为x，则正方形b的边长为x，正方形c的边长为(x+1)，正方形d的边长为(x+2)，正方形e的边长为(x+3)，
根据题意得：x+x+x+1=x+2+x+3，
解得：x=4，
∴(x+x+x+1)(x+1+x+2)=(4+4+4+1)×(4+1+4+2)=143，
∴这个矩形色块图的面积是143.
故答案为：143.
设正方形a的边长为x，则正方形b的边长为x，正方形c的边长为(x+1)，正方形d的边长为(x+2)，正方形e的边长为(x+3)，根据大长方形的对边相等，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入(x+x+x+1)(x+1+x+2)中，即可求出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
18.【答案】(80 3+40)
【解析】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形ABC，
∴AB=BC=AC=4×40=160(cm)，
过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD=CD=80cm，
∴AD= AB2−BD2= 1602−802=80 3(cm)，
∴遮雨棚高度至少为：(80 3+40)cm.
故答案为：(80 3+40).
由题意可得15只油桶底面如图所示，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×40=160，遮雨棚起码的高度是该三角形的高加一只油桶的高．
本题考查了勾股定理的应用，关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为4个油桶的直径．
19.【答案】(1) 3−2 (2)8 (3) 2 (4)3−2 3
【解析】解：(1)原式=3 3−2−2 3
= 3−2；
(2)原式=2 36− 16
=12−4
=8；
(3)原式= 8+6× 22−4 2
=2 2+3 2−4 2
= 2；
(4)原式=3−2 3+1+3−4
=3−2 3.
(1)利用二次根式的性质及立方根的定义计算后再算加减即可；
(2)利用二次根式的乘除法则计算后再算减法即可；
(3)利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可；
(4)利用平方差及完全平方公式计算后再算加减即可．
本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】(1)x=2y=7 (2)x=−1113y=−2313
【解析】解：(1){y=2x+3①4x−y=1②，
把①代入②得：4x−(2x+3)=1，
解得x=2，
把x=2代入①得：y=2×2+3=7，
∴方程组的解为x=2y=7；
(2){3x−2y=1①2x+3y=−7②，
①×3，得9x−6y=3③，
②×2，得4x+6y=−14④，
③+④，得13x=−11，
解得x=−1113，
把x=−1113代入①得：3×(−1113)−2y=1，
解得y=−2313，
∴方程组的解为x=−1113y=−2313.
(1)用代入消元法消去y，求出x的值，再代入求出y的值；
(2)利用加减消元法求解即可．
本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法．
21.【答案】，长是253cm，宽是43cm.
【解析】解：如图：
设长方形的长为x cm，宽为y cm，得：
x−5=y+2,xy=(x−5)(y+2),
解方程组得x=253,y=43.
答：长方形的长是253cm，宽是43cm.
第一步：根据“长减少5cm，宽增加2cm后为正方形”列方程，设长方形的长、宽分别为xcm，ycm，因为长方形长减少5cm，宽增加2cm后成为正方形，正方形的长和宽相等，所以有x−5=y+2，第二步：根据“面积相等”列方程，长方形面积为xy，正方形面积为(x−5)(y+2)，且面积相等，所以有xy=(x−5)(y+2)，求出未知数即可．
通过设长方形的长和宽为未知数，根据“长减少5cm，宽增加2cm后为正方形”及“面积相等”列方程组求解．
22.【答案】(1)AB⊥BC；理由如下：
∵AB=800m，AC=1000m，BC=600m，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90∘，
∴AB⊥BC (2)小亮的路线更短
【解析】解：(1)AB⊥BC，理由如下：
∵AB=800m，AC=1000m，BC=600m，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90∘，
∴AB⊥BC；
(2)点D在点C的正北方，点A在B的正南方，AB⊥BC，
∴DC⊥BC，
∵BC=600m，CD=200m，
∴BD= BC2+CD2= 6002+2002=200 10，
∴A→C→D路线的长为：AC+CD=1000+200=1200(m)，
A→B→D路线的长为：AB+BD=800+200 10(m)，
∵800+200 10>1200，
∴小亮的路线更短．
(1)根据AB=800m，AC=1000m，BC=600m可得AB2+BC2=AC2，进而可得AB⊥BC；
(2)根据AB⊥BC可得DC⊥BC，根据勾股定理计算BD的长，然后比较即可．
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是熟练运用勾股定理进行计算．
23.【答案】(1)①证明：∵∠BAC=∠BEA=90∘，
∴∠BAE+∠FAC=90∘，∠BAE+∠ABE=90∘.
∴∠FAC=∠ABE.
又∵AB=AC，∠BEA=∠AFC=90∘，
∴△CAF≌△ABE(AAS)，
∴AF=BE；②2 5 (2)点O到BC的距离为25 10
【解析】(1)①证明：∵∠BAC=∠BEA=90∘，
∴∠BAE+∠FAC=90∘，∠BAE+∠ABE=90∘.
∴∠FAC=∠ABE.
又∵AB=AC，∠BEA=∠AFC=90∘，
∴△CAF≌△ABE(AAS)，
∴AF=BE；
②解：∵△CAF≌△ABE，
∴BE=AF，AE=CF，
∵AE=AF+EF，AE=2BE，
∴2AF=FA+EF，
∴AF=EF，
设EF=x，则CF=2x，
∵FE2+CF2=CE2，
∴x2+(2x)2=52，
∴x= 5，
∴CF=2 5；
(2)解：过点C作CE⊥AO，交AO的延长线于点E，
由(1)知△ABO≌△CAE，
∴OA=CE，OB=AE，
∵∠AOC=∠BOC，∠AOB=90∘，
∴∠AOC=∠BOC=360∘−90∘2=135∘，
∴∠EOC=45∘，
∴∠EOC=∠ECO，
∴OE=CE=OA=2，
∴OB=4，
∴AB= OA2+OB2=2 5，
∴BC= 2AB=2 10，
∴S△AOB=12OB⋅OA=12×4×2=2，S△AOC=12OA⋅CE=12×2×2=2，S△ABC=12AB⋅AC=10，
设点O到BC的距离为h，
∵S△AOB+S△AOC+S△BOC=S△ABC，
∴4+2+12×2 10⋅h=10，
∴h=25 10，
即点O到BC的距离为25 10.
(1)①证明△CAF≌△ABE(AAS)，得出AF=BE；
②由全等三角形的性质得出BE=AF，AE=CF，证出AF=EF，设EF=x，则CF=2x，由勾股定理得出x2+(2x)2=52，解方程可得出答案；
(2)过点C作CE⊥AO，交AO的延长线于点E，求出OB=4，由勾股定理得出AB= OA2+OB2=2 5，BC= 2AB=2 10，由面积法可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
24.【答案】 7− 52; a− ba−b (2) 2025−12 (3) 2024− 2023> 2025− 2024，
理由如下：
∵1 2025+ 2024= 2025− 2024，1 2024+ 2023= 2024− 2023，
而1 2025+ 2024 2025− 2024
【解析】解：(1)1 7+ 5= 7− 5( 7+ 5)( 7− 5)= 7− 5( 7)2−( 5)2= 7− 52，
1 a+ b= a− b( a+ b)( a− b)= a− b( a)2−( b)2= a− ba−b，
故答案为： 7− 52， a− ba−b；
(2)原式= 3−12+ 5− 32+ 7− 52+...+ 2025− 20232
=−12+ 20252
= 2025−12；
(3) 2024− 2023> 2025− 2024，
理由如下：
∵1 2025+ 2024= 2025− 2024，1 2024+ 2023= 2024− 2023，
而1 2025+ 2024 2025− 2024.
(1)把分子分母分别乘以( 7− 5)，( a− b)，然后利用平方差公式计算；
(2)先分母有理化，然后合并即可；
(3)利用(1)中的方法得到1 2025+ 2024= 2025− 2024，1 2024+ 2023= 2024− 2023，然后比较1 2025+ 2024和1 2024+ 2023的大小即可．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
25.【答案】(1)BC=3 3，AC=6 (2)作∠MBN=α，在BM上截取BC=a，以C为圆心，b为半径作弧交射线BN于A和A′，连接AC，A′C，如图：
△ABC，△A′BC都是满足条件的三角形 (3)AB的长度为4 3−3或4 3+3
【解析】解：(1)∵∠B=90∘，∠BCA=30∘，
∴AC=2AB=2×3=6，
∴BC= AC2−AB2= 62−32=3 3；
∴BC=3 3，AC=6；
(2)作∠MBN=α，在BM上截取BC=a，以C为圆心，b为半径作弧交射线BN于A和A′，连接AC，A′C，如图：
△ABC，△A′BC都是满足条件的三角形；
(3)过C作CH⊥直线AB于H，如上图：
∵∠CBA=30∘，∠BHC=90∘，
∴CH=12BC=12×8=4，
∴BH= BC2−CH2= 82−42=4 3，
∵AC=5，
∴AH= AC2−CH2= 52−42=3，
∴AB=BH−AH=4 3−3；
同理可得A′B=4 3+3；
∴AB的长度为4 3−3或4 3+3.
(1)求出AC=2AB=6，再由勾股定理可得BC=3 3；
(2)作∠MBN=α，在BM上截取BC=a，以C为圆心，b为半径作弧交射线BN于A和A′，连接AC，A′C，△ABC，△A′BC都是满足条件的三角形；
(3)过C作CH⊥直线AB于H，求出CH=12BC=12×8=4，BH= BC2−CH2= 82−42=4 3，AH= AC2−CH2= 52−42=3，故AB=BH−AH=4 3−3；同理可得A′B=4 3+3.
本题考查作图-复杂作图，解题的关键是分类讨论思想的应用．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90∘，
∵P是边AD中点，
∴PA=PD，
∵将△ABP沿着直线BP翻折得到△A′BP，
∴∠PA′B=∠A=90∘，PA=PA，
∴∠PA′F=∠PDE=90∘，PA′=PD，
在△PDE和△PA′F中，
∠DPE=∠A′PFPD=PA′∠PDE=∠PA′F=90∘，
∴△PDE≌△PA′F(ASA) (2)36 (3)△A′BC的面积=21013
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90∘，
∵P是边AD中点，
∴PA=PD，
∵将△ABP沿着直线BP翻折得到△A′BP，
∴∠PA′B=∠A=90∘，PA=PA，
∴∠PA′F=∠PDE=90∘，PA′=PD，
在△PDE和△PA′F中，
∠DPE=∠A′PFPD=PA′∠PDE=∠PA′F=90∘，
∴△PDE≌△PA′F(ASA)；
(2)解：连接PG，如图，
在Rt△PDG和Rt△PA′G中，
PD=PA′PG=PG，
∴Rt△PDG≌Rt△PA′G(HL)，
∴DG=A′G=4，
∴A′E= EG2−A′G2=3，
设PA′=PD=x，则PE=x+3，
∵PD2+DE2=PE2，
∴x2+(5+4)2=(x+3)2，
∴x=12，
∴AD=PD=12，PE=15，
∵△PDE≌△PA′F，
∴PE=PF=15，DE=A′F=9，
∴AF=AP+PF=27，
设BA=BA′=y，则BF=BA′+A′F=y+9，
∵AB2+AF2=BF2，
∴y2+272=(y+9)2，
∴y=36.
∴AB长度为36.
(3)解：连接BE，延长PE.交BC的延长线于点F，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=∠ECF=90∘，AB=CD=5，AD=BC，
∵将△ABP沿着直线BP翻折得到△A′BP，
∴BA=BA′=5，∠A=∠BA′P=∠BA′F=90∘，PA=PA′=1，
∵E为CD中点，
∴DE=CE=2.5，
在△PDE和△FCE中，
∠D=∠ECF=90∘DE=CE∠DEP=∠CEF，
∴△PDE≌△FCE(ASA)，
∴PD=CF，PE=EF，
设PD=x，则BC=AD=x+1，
∴PE= PD2+DE2= x2+2.52，
∴A′E= x2+2.52−1，
∵A′B2+A′E2=BE2=BC2+EC2，
∴52+( x2+2.52−1)2=(x+1)2+2.52，
∴x=6，
∴CF=PD=6，BC=7，
∴BF=BC+CF=13，
∴A′F= BF2−BA′2=12，
∴S△BA′F=12BA′⋅A′F=12×5×12=30，
∴△A′BC的面积=713S△BA′F=21013.
(1)利用矩形的性质，折叠的性质和全等三角形的判定定理解答即可；
(2)连接PG，利用全等三角形的判定与性质求得A′E，设PA′=PD=x，则PE=x+3，利用勾股定理列出方程求得AD，PF，设BA=BA′=y，则BF=BA′+A′F=y+9，利用勾股定理列出方程解答即可；
(3)连接BE，延长PE.交BC的延长线于点F，利用全等三角形的判定与性质，矩形的性质得到PD=CF，PE=EF，设PD=x，则BC=AD=x+1，利用勾股定理求得CF，BC，BF，利用直角三角形的面积公式求得△BA′F的面积，再利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段的中点的性质，熟练利用勾股定理列出方程是解题的关键．