江苏省淮安市重点高中2025-2026学年高二上学期第一次10月学情调研数学测试（含答案）

这是一份江苏省淮安市重点高中2025-2026学年高二上学期第一次10月学情调研数学测试（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线经过点和两点，则直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
2．已知圆的一条直径的端点分别是，则该圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．3D．
4．设为实数，已知直线，，若，则（ ）
A．6B．C．6或D．或3
5．若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．“”是“直线与曲线恰有1个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）

A． B．C．D．
10．已知圆与圆，则（ ）
A．两圆的圆心距为
B．两圆的公切线有2条
C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为
D．两圆相交，且公共弦的长度为
11．椭圆的左右焦点分别为，是坐标原点，是椭圆上一点，则 （ ）
A．的周长是14B．当时，面积最大
C．的最大值是D．当时，面积为1
三、填空题
12．设是椭圆上的点,到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为 .
13．若方程表示圆，则实数的取值范围为 ．
14．已知某公园的一座半圆形拱桥的水面宽为6m，在一场暴雨后水面上涨了1m，宽变为4m（如图）.根据以上数据，计算暴雨后圆拱顶距水面的距离是 米.
四、解答题
15．已知的顶点坐标是，为的中点.
(1)求中线的方程；（用一般式表示）
(2)求经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.（用一般式表示）
16．求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
（2）经过两点.
17．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程；
(3)圆上有两个点到直线上的距离等于2，求的范围.
18．已知直线.
(1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值.
19．已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切.
(1)求圆的标准方程；
(2)若是圆上任意一点，求的取值范围；
(3)求的范围.
1．C
直接计算斜率即可得所求.
【详解】因为，故所求为.
故选：C.
2．A
根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解.
【详解】因为，则的中点坐标为，
且，则，
所以所求圆的方程为，
故选：A.
3．D
求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值.
【详解】取点关于直线对称点，设，
则，解得，即，
则，
当且仅当、、三点共线时取等.

故选：D.
4．A
根据直线一般形式下的平行条件计算即可.
【详解】因为，所以，解得或．
当时，，满足与平行；
当时，，可判断此时与重合，舍去；
所以.
故选：A．
5．C
求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值.
【详解】圆的圆心，半径为，
点到直线的距离，
即直线与圆相离，又点在圆上，
故点到直线的最小值为，
故选：.
6．C
求出圆心，根据斜率关系求出，再利用点斜式即可.
【详解】圆心，则，则，
则弦所在直线的方程为，即.
故选：C
7．B
根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.
【详解】由，得，
所以直线的方程恒过定点，斜率为．
因为，
所以．
由题意可知，作出图形如图所示，

由图象可知，或，
所以实数的取值范围为．
故选：B．
8．A
先分析曲线的图形，再结合直线与该曲线的位置关系，再判断 “” 与 “直线与曲线恰有1个公共点” 之间的条件关系.
【详解】曲线表示圆心，半径为的圆的上半部分（包括与轴的交点），
直线的斜率为1，在轴上的截距为，
当直线与曲线恰有1个公共点时，该直线与曲线相切或有一个交点，
如图所示：
相切时，圆心到直线距离等于2，则，
即或（舍去，因为当时与下半部分相切，不符合题意）.
由图象可知，有一个交点时，.
综上可知，当直线与曲线恰有1个公共点时，或.
于是，当“”时，直线“与曲线恰有1个公共点”，则充分性成立；
当直线与曲线恰有1个公共点时，或，则必要性不成立.
所以， “”是“直线与曲线恰有1个公共点”的充分不必要条件.
故选：A
9．AD
根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项.
【详解】由图像可知，
则，
故选：AD.
10．AB
求出两圆圆心坐标后借助两点间距离公式计算即可得A；求出两圆半径判断圆与圆的位置关系即可得B；结合两圆位置关系，将两圆方程相减即可得其公共弦所在的直线方程，即可得C；结合垂径定理计算即可得D.
【详解】由可得，
则圆心，半径；
由可得，
则圆心，半径；
对A：，即两圆的圆心距为，故A正确；
对B：由，，则，
故两圆相交，故两圆的公切线有条，故B正确；
对C：，
则公共弦所在的直线方程为，故C错误；
对D：公共弦的长度为，故D错误.
故选：AB.
11．CD
根据判断A选项；根据点在椭圆的短轴端点时，面积最大判断B选项；根据椭圆的性质判断C选项；联立方程得，进而计算面积公式即可.
【详解】由题知：椭圆的长半轴长，，，，
因为是椭圆上一点，所以根据椭圆的定义，，
对于A， 的周长是，故A错误；
对于B，当面积最大时，点在椭圆的短轴端点，即点的坐标为，
此时，故不成立，故B错误；
对于C，由椭圆的性质可知，的最大值是长半轴长，即为，故C正确；
对于D，根据题意，联立方程得，，
此时，面积为，故D正确.
故选：CD
12．
【详解】依题意，而到该椭圆左焦点的距离为,则到右焦点的距离为.
故答案为：
13．
方程表示圆，需要 计算得到答案.
【详解】方程表示圆
则
14．
以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆的标准方程，根据两点坐标求距离公式和列出关于b的方程，解方程即可得出结果.
【详解】如图，以拱顶为原点，圆心与原点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
设拱桥所在圆的方程为，
得：，
由题意，即，
解得，则圆的方程为，
可得暴雨后圆拱顶距水面的距离为(m).
故答案为：
15．(1)
(2)或
（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解；
（2）根据截距相等分类讨论，设出直线方程，代入点即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
故的方程是，即；
（2）由直线在坐标轴上截距相等，
若直线过原点，设直线方程为，
代入，可得，所以直线方程为，即；
若直线不过原点，设直线方程为，
代入，可得，
所以直线方程为，即.
综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或.
16．（1）；（2）
【解析】（1）利用已知椭圆可得焦点的坐标，结合椭圆的定义可求，从而可得椭圆标准方程：
（2）利用待定系数法，设出方程，代入两点的坐标，解方程可求.
【详解】（1）椭圆的焦点坐标为，
∵椭圆过点，
∴，
∴，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设所求的椭圆方程为．
把两点代入，
得：，解得，
∴椭圆方程为．
17．(1)；
(2)或；
(3).
【详解】（1）设圆心，因为圆经过点和，且圆心在直线上，
所以，
整理得，解得：
所以，圆心为，半径为，
所以，圆的标准方程.
（2）因为，所以不在圆上，
当所求切线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，等于圆的半径，
所以，切线方程为.
当直线的斜率存在时，设切线方程为，即
根据圆心到切线的距离等于半径，可得，即，
两边平方得，解得，
所以切线方程为，即.
所以，过点作圆的切线，切线方程为或.
（3）由（1）知圆的圆心为，半径为，
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，
因为圆上有两个点到直线上的距离等于2，
所以，即，即，
所以，
解得：或.
所以，的范围为
18．(1)
(2)证明见解析
(3)6
【详解】（1）时，，
设点关于直线的对称点，则，，
得，即，
则直线的斜率为，则直线的方程为，
故反射光线所在直线的方程为；
（2）直线的方程可化为，
，得，则直线恒过定点；
（3），
令，得，令，得，
因直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，
则，，，，得或，
则
利用可得，，等号成立时，
则，
故的最小值为.

19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设圆心为，由题有，解得，
所以圆的标准方程为.
（2）因为表示与距离的平方，
由（1）知，则，
所以，则，
所以的取值范围为.
（3）令，
则，其中，
所以.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
A
C
C
B
A
AD
AB
题号
11









答案
CD