广东省湛江市重点高中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份广东省湛江市重点高中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（ ）
A．1B．6C．5或6D．1或6
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．如果且，那么直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．下列命题正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为
6．已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数是R上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．设点，点是轴上的动点，点是直线上的动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知实数满足，复数，则（ ）
A．为纯虚数B．的虚部为
C．D．
10．已知直线，且直线与间的距离为，若直线的方程为，则直线的方程可以是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，则（ ）
A．
B．
C．异面直线与夹角的余弦值为
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．已知，则 ．
13．在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ．
14．已知圆的面积为，则 ．
四、解答题
15．为了迎接某项活动，某市积极开展网上竞赛，先采取甲、乙两套方案进行培训，并对分别采取两套方案培训的单位的7次线上测试成绩进行统计如图所示：

(1)求甲和乙的测试成绩的平均数和方差；
(2)从下列两个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析：
①从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）；
②从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）.
16．已知是棱长为2的正方体，点为的中点，点为的中点.

(1)求证：；
(2)求点到直线的距离.
17．在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
18．在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，
(1)求边所在直线方程；
(2)求边上高线所在直线方程；
(3)求的外接圆方程．
19．如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点.
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由.
1．B
化简两个集合，结合交集的概念即可求解.
【详解】已知集合，
则，则.
故选：B.
2．C
将数据从小到大排列，由中位数的定义即可求解.
【详解】将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6，
则原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6.
故选：C.
3．A
根据向量平行的性质，即若两向量平行，则对应坐标成比例，列出关于的方程组，解方程组即可求得的取值，进而可求得的值.
【详解】因为，所以，
所以，解得，，，
所以．
故选：A
4．C
根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.
【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；
令，得；令，得；
所以直线不经过第三象限.
故选：C
5．C
A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案.
B注意到当时不满足题目描述；
C由投影向量计算公式可判断选项正误；
D两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，据此可判断选项正误.
【详解】A选项，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误；
B选项，注意到当时，若，则不存在，使，故B错误；
C选项，在上的投影向量为，
故C正确；
D选项，向量，的夹角为钝角，则且不共线，
得，故D错误.
故选：C
6．A
先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出.
【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径.
侧面积是，得，得，在直角三角形中，
，高，
所以.
故选：A.
7．D
【解析】由题意知在R上为减函数有，即可求的取值范围.
【详解】由题意，要使在R上的减函数，故需要满足：
，解得，
故选：D
8．A
【详解】如图，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，

易得的坐标为，
设点的坐标为，则，解得，
所以，
因为，，
所以的周长为，
所以当、、、四点共线时，的周长最小，
最小值为．
故选：A
9．BC
根据复数的乘法运算求出a，即可写出z从而判断A选项，将z的虚部变为相反数可写出从而判断B选项，代入公式求出复数的模判断C选项，利用复数的乘法公式求出判断D选项.
【详解】因为，所以，则，A错误；
，的虚部为，B正确；，C正确；
，D错误.
故选：BC
10．BC
【详解】因为，且直线的方程为，
设直线的方程为，，
根据题意得，解得或，
所以直线的方程为或．
故选：BC．
11．ACD
【详解】因为平面平面，所以，
在正方形中，有，所以两两互相垂直，
以A为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
而，，故为的中点，
从而，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，
则直线与夹角的余弦值为，故C正确；
对于D，因为平面，则点到平面的距离为，
故点到平面的距离为，所以D正确.
故选：ACD.
12．/
由同角三角函数商的关系及余弦二倍角公式即可求解.
【详解】由，
可得：，
，
故答案为：
13．/
在坐标系中描点连线判断出为等腰三角形，得出角平分线所在直线的斜率即为中线的斜率，即可求解．
【详解】如下图：在平面直角坐标系中，描出，
，，
所以为等腰三角形，则的角平分线也为中线，
边的中点为，所以角平分线所在直线斜率为：，
故答案为：．
14．
根据方程可得圆的半径，结合圆的面积运算求解即可.
【详解】因为圆，即，
则，解得或，
可知圆的半径，
由题意可得：，解得．
故答案为：.
15．(1)甲平均数为115，方差为16，乙平均数为115；方差为；
(2)①乙方案更好，更稳定，理由见解析；②甲方案更有潜力，理由见解析
（1）利用平均数和方差的公式进行求解；
（2）①比较平均数，两者相等，比较方差，，得到结论；
②数形结合得到甲成绩在稳步提高，得到结论
【详解】（1）由表格中的数据可得
甲的平均数为，
乙的平均数为，
甲的方差为，
乙的方差为，
（2）①甲，乙两种方案的平均数相等，且，乙方案更稳定，更好；
②从折线图的走势上看甲更有潜力，使用甲方案成绩稳步提高，
而使用乙方案成绩不稳定，忽上忽下.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）建系，由即可求证；
（2）由点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为正方体棱长为2，所以，
故，故，
所以；

（2），，，
点到直线的距离为
.
17．(1)
(2)
（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，进而可求；
（2）由向量数量积及（1）可求得的值，进而计算可求三角形面积.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
即，所以，
又，所以，所以，所以；
（2）由，可得，即，
由（1），，所以，
所以.
18．(1)；
(2)；
(3).
（1）利用直线的两点式方程求解即可；
（2）求出边所在直线方程，利用直线垂直的斜率关系，结合点斜式可得；
（3）设出圆的一般式方程，将三点坐标代入求解可得.
【详解】（1）因为，，
所以，由两点式方程可得边所在直线方程为：，即.
（2）因为，，所以，
记边上高线所在直线方程的斜率为，则，得，
又边上高线所在直线过点，
所以所求方程为，即.
（3）设的外接圆方程为，（），
则，即，
解得，满足，
所以的外接圆方程为.
19．(1)证明见解析
(2)存在，
（l）由线线平行或面面平行证明线面平行；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，或利用几何法解决.
【详解】（1）.
解法一
证明：取中点E，连接和.
C为中点，且，
且，且，
四边形为平行四边形，则，
面，面，面.
解法二：
如图所示，取的中点Q，连接，，
在，C为中点，Q为中点，，
平面， 平面，平面，
在四边形中，，，Q为中点，
，，
四边形为平行四边形，，
平面， 平面，平面
又，平面，平面平面，
由平面，平面
（2）解法一：
取中点O，连接，则等边中.
面面，面面，面，
面，面，可得.
又，，面，面，
以N为坐标原点，，为x，y轴，过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
设，则，
，
依题意可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
即，
二面角为，则，
，（舍），
，则.
解法二：
取中点O，连接，则等边中.
面面，面面，面，
面，面，可得.
又，，面，面
取的中点E，以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
由已知是平面的一个法向量，记为，
假设线段上存在点F满足已知条件，则有，且，
设，有，，
，，，即，，
设平面的一个法向量为，
则， 取，
由已知得，
整理得，即化简得，
解得，（舍去），
线段上存在点F，当时，已知条件成立，
则有， ，.
求平面的一个法向量的另一种解法：
，
平面的一个法向量可取
解法三：几何法
作，
，，，平面，平面，
平面，，
为二面角的平面角,
设，在中，，，
在中，由得，
由已知得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以在中，由,得.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
C
A
D
A
BC
BC
题号
11









答案
ACD