湖北省荆州市2026届高三上学期9月起点考试数学试题

这是一份湖北省荆州市2026届高三上学期9月起点考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z满足z(2+i)=i，则|z|=( )
A. 3B. 5C. 33D. 55
2.已知集合A={1,m}，B={0,1,2,3}，则“A⊆B”是“m=2”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知正方形ABCD的边长为1，E是CD的中点，则AE⋅BD=( )
A. 12B. −12C. 32D. −32
4.已知等比数列{an}中，a1=2，a3=8，则a4=( )
A. 16B. 16或−16C. 32D. 32或−32
5.已知tanα=2，则sin(2α+π4)=( )
A. 210B. − 210C. 7 210D. −7 210
6.已知a=ln25，b=−32，c=− e，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. a>c>b
7.一个锐角三角形的三边长成等差数列，则该三角形的最小内角余弦值的取值范围是( )
A. (0,12]B. [12,35)C. (12,45)D. [12,45)
8.若过圆C:x2+y2−6x=0内不同于圆心的点P恰好可以作5条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为( )
A. 5π4B. 7π4C. 9π4D. 27π4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某班10名同学的某次测验成绩为：55，62，65，68，69，70，70，75，80，100.则下列说法正确的有( )
A. 这组数据的众数是70B. 这组数据的中位数是70
C. 这组数据的平均数小于70D. 这组数据的平均数大于70
10.已知连续型随机变量ξ∼N(1,σ2)，设函数f(x)=P(ξ≤x)，则下列说法正确的有( )
A. f(x)是在定义域R上的增函数
B. f(x)的图象关于直线x=1对称
C. f(x)的图象关于点(1,12)对称
D. f(x)的图象位于两条直线y=0，y=1之间
11.圆柱的底面在水平面上，底面半径为1，高为4.与圆柱底面成45∘角的平面截圆柱所得的截面为椭圆，截面上的最低点到下底面的距离为1，则下列说法正确的有( )
A. 圆柱体的表面积为8π
B. 圆柱体夹在截面与下底面之间部分的体积为2π
C. 圆柱侧面夹在截面与下底面之间部分的面积为4π
D. 截面椭圆的离心率为 22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)= x+1,x>0x,x≤0，则f(4)= .
13.双曲线x2−y24=1的两条渐近线与抛物线y2=4x的准线围成三角形的面积为 .
14.在正方体的8个顶点和6个面的中心(共14个点)中任取4个点，以这4个点为顶点可构成四面体的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}满足an+1=2an+2n+1，且a1=2.
(1)求证：数列{an2n}是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
16.(本小题15分)
在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=5，点Q，R分别在棱CC1，BB1上，且CQ=BR=2.
(1)证明：AR//平面B1DQ;
(2)求直线AB1与平面B1DQ所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−12ax2+sin2x，a∈R.
(1)若a=1，讨论函数f(x)在[0,+∞)上的单调性;
(2)若a∈N，当x≥1时f(x)≥a(x−12x2)恒成立，求a的最大值.
18.(本小题17分)
在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分.现组织A，B，C，D共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下：
第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组.第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者(记为W)进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名.第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者(记为L)进入决赛，败者被淘汰并获得第3名.第四轮：决赛，若W获胜则比赛结束，W获得冠军，L获得第2名;若L获胜，则需加赛一场，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名.
已知A队战胜其他3支队伍的概率均为23.
(1)求A队全胜夺冠的概率;
(2)设A队在整个赛事中参赛场次为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X).
19.(本小题17分)
已知焦点在x轴上的椭圆C:x24+y2b2=1(b>0)，点P，Q是椭圆C上的两点，且位于x轴上方，T(t,0)为x轴上一点，O为坐标原点.
(1)当点Q在y轴上，t=1，且△QOT的面积为 32时，求椭圆C的离心率;
(2)若点P在第一象限，A，B分别为椭圆的上顶点和右顶点，直线PA，PB分别与x轴和y轴交于点M，N.记△PMN，△PAB的面积分别为S1，S2，若S1−S2为定值2，求椭圆C的标准方程;
(3)对于(2)所求的椭圆C，是否存在实数t，使得△TPQ是以T为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，求t的取值范围;若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵z=i2+i=i(2−i)(2+i)(2−i)=1+2i5，
∴z=1−2i5，
∴|z|= 125+425= 55.
故选：D.
2.【答案】C
【解析】解：由题意得A⊆B，则集合A中的元素都在集合B中，且集合元素互异，
因此m需满足m∈B且m≠1，即m=0、2或3，此时“m=2”不一定成立，故“A⊆B”不是“m=2”的充分条件，
若m=2，则A=1,2，即A⊆B，故“A⊆B”是“m=2”的必要条件，
综上，“A⊆B”是“m=2”的必要不充分条件.
故答案为：C.
3.【答案】A
【解析】解：以直线AB为x轴，直线AD为y轴，建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，E(12,1)，
AE=(12,1)，BD=(−1,1).
∴AE⋅BD=12×(−1)+1×1=−12+1=12.
故选：A.
4.【答案】B
【解析】解：由等比数列通项公式an=a1qn−1，已知a1=2，a3=8，则：
a3=a1q2，代入得8=2q2，解得q2=4，即q=2或q=−2，
当q=2时，a4=a1q3=2×23=16；
当q=−2时，a4=a1q3=2×(−2)3=−16，
因此，a4=16或−16.
故选：B.
5.【答案】A
【解析】解：sin(2α+π4)= 22sin2α+ 22cs2α
= 22⋅2sinαcsα+cs2α−sin2αsin2α+cs2α
= 22⋅2tanα+1−tan2αtan2α+1
= 22⋅4+1−44+1
= 210，
故选：A.
6.【答案】A
【解析】因为 −322=94=2.25 ， − e2=e≈2.7 ， 2.251 时， 0d)，
最小内角θ对应最小边a−d，
根据余弦定理：cs θ=a2+(a+d)2−(a−d)22⋅a⋅(a+d)=a2+4ad2a(a+d)=a+4d2(a+d)，
最大边为a+d，对应最大角为锐角，
故最大边平方小于另外两边平方和：(a+d)24，则csθ=k+42(k+1)=12+32(k+1)，
因k>4，故k+1>5，则0