浙江省四校联考2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题含解析

这是一份浙江省四校联考2025_2026学年高二数学上学期期中联考试题含解析，共12页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 下列方程一定表示圆的是．， 若向量，则， 关于直线的对称点为， 已知空间中向量=， 椭圆与双曲线等内容，欢迎下载使用。
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 在空间直角坐标系中，已知点，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间两点距离公式即可得到答案.
【详解】．
故选：C.
2. 直线和的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解两直线构成的方程组即可.
【详解】由，解得，
所以直线和交点坐标为，
故选：B
3. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果.
【详解】由题意知：，解得：.
故选：D.
4. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据渐近线的斜率列方程即可得解.
【详解】由题知，双曲线焦点在轴上，且其中一条渐近线方程为，
所以，解得.
故选：A
5. 下列方程一定表示圆的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断.
【详解】对于A，方程表示点，A不是；
对于B，方程化为，此方程表示圆，B是；
对于C，当时，方程表示点，C不是；
对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是.
故选：B
6. 若向量，则（ ）
A. 5B. 8C. 10D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，则.
故选：C
7. 关于直线的对称点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解.
【详解】设关于直线的对称点为，
则，解得.
故选：A.
8. 已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点B到直线AC距离为：即可求解.
【详解】设向量的单位向量为，则，，
点B到直线AC的距离为：，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据空间共线向量的判断可知与是否平行，即可求解.
【详解】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确；
B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误；
C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确；
D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确
故选：ACD
10. 椭圆与双曲线（ ）
A. 有相同的焦点B. 有相等的焦距
C. 有相同的对称中心D. 可能存在相同的顶点
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线方程分别写出焦点坐标，求出焦距，对称中心以及可能的顶点坐标，即可得出结论.
【详解】由椭圆方程可知其焦点坐标为，焦距为，关于原点成中心对称，左、右顶点坐标为；
由双曲线方程可知其焦点坐标为，
因此两曲线焦点不同，即A错误；
焦距为，可得B正确；
双曲线也关于原点成中心对称，即C正确；
当时，双曲线的左、右顶点坐标为，即D正确；
故选：BCD
11. 把方程表示的曲线作为函数的图象，则下列结论正确的有（ ）
A. 的图象不经过第三象限
B. 在上单调递增
C. 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D. 函数不存在零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先讨论去绝对值，并画出函数图像，直接判断、，然后数形结合椭圆和双曲线的性质判断、选项.
【详解】当，时，方程是，当，时，方程是，
当，时，方程是，不表示任何曲线，
当，时，方程是，
函数的图象如图所示，
由图知：的图象不经过第三象限，故A 正确；
在上单调递减，故B 不正确；
的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1，故C 正确；
的图象与图象没有交点，故ACD正确，
故选：ACD
【点睛】本题主要考查了曲线与方程，取绝对值很关键，属于中档题.
非选择题部分
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 过、两点的直线的倾斜角为，那么实数__________.
【答案】
【解析】
【分析】由倾斜角得斜率，由斜率公式可得参数值．
【详解】过两点直线的倾斜角为，
则，又.
故答案为：1.
13. 在长方体中，，，，则________．（用向量，，表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据空间向量的加法法则及图形即可求解.
【详解】由题意得，
故答案为：.
14. 直线与直线平行，则实数______．
【答案】或
【解析】
【分析】利用两条直线平行列式计算得解.
【详解】由直线与直线平行，
得，所以或.
故答案为：或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 直线的斜率为3且它在轴上的截距为．
（1）求直线的方程；
（2）求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由斜截式得到直线方程；
（2）令求出直线与轴上的截距，再由面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为直线的斜率为3且它在轴上的截距为，
由斜截式得直线的方程为，即．
【小问2详解】
在中，令，即，解得，即直线与轴上的截距为1，
则直线与坐标轴所围成的三角形面积．
16. 如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，.求：

（1）向量，，的坐标；
（2），的坐标.
【答案】（1），，.
（2），
【解析】
【分析】（1）先明确有关点的坐标，再利用终点坐标减去起点坐标，可得向量坐标.
（2）利用空间向量坐标的线性运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：，，，.
所以，
，
.
【小问2详解】
，
.
17. 已知点，，圆C的方程为，过点B的直线l与圆C相切，点P为圆C上的动点．
（1）求直线l的方程；
（2）求△面积的最小值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）当直线的斜率不存在时，画图即可求出此时的切线方程，当切线的斜率存在时设出直线的方程利用点到直线的距离公式即可求解；
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线AB的距离，则点P到直线AB的距离的最小值为圆心到直线AB的距离减半径，故利用三角形面积公式即可求出△面积的最小值.
【小问1详解】
①圆的圆心，半径，
当直线l的斜率不存在时，l的方程为，易知此直线与圆C相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到直线的距离，
则，解得，
所以直线l的方程为，即．
综上，直线l的方程为或．
【小问2详解】
由题意，得，直线AB的方程为，
则圆心到直线AB的距离，
∴点P到直线AB的距离的最小值为，
∴△的面积的最小值为．
18. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，其中左焦点为，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于不同两点，求弦长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出椭圆方程，结合已知条件建立方程组即可求解；
（2）把直线与椭圆方程进行联立，利用根于系数的关系以及弦长公式求解即可
【小问1详解】
由题意可设，
将代入得，又，
解得 ，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
将直线与椭圆联立，
得，
设，则，
.
19. 如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量及面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出直线与平面所成角的正弦值；
（2）利用向量法可求出点到平面的距离．
【小问1详解】
依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
又分别是棱，，的中点，，．
所以,
所以有：，
设平面的法向量为，则有
所以，令，有，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问2详解】
因为，由（1）有平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：.