安徽省皖江名校联盟2026届高三上学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的除法法则计算即可．
【详解】由已知，，
故选：B.
2. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求解一元二次不等式得出等价条件，再应用充分必要条件定义判断.
【详解】等价于或，
则可以推出，不能推出，
则是的充分不必要条件；
故选：A.
3. 已知等比数列满足，若将除以5所得余数记为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出的通项公式，列出的前几项，即可得到为周期为的周期数列
【详解】设等比数列的公比为，因为，即，所以，
则，所以，，，，，，，，，
所以为周期为的周期数列，所以.
故选：A.
4. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集概念求解即可.
【详解】因为，
所以，即.
故选：C.
5. 已知，使为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由求解即可.
【详解】由题意可得：
解得：，
故选：B.
6. 已知函数，则的图象（ ）
A. 关于对称B. 关于对称
C. 关于对称D. 关于对称
【答案】D
【解析】
【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确.
【详解】由，得，解得，
所以的定义域为，故A，C不正确；
又，
所以为奇函数，图像关于原点对称，
则的图象关于对称，故B不正确，D正确
故选：D.
7. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 的图象关于对称
D. 的图象关于对称
【答案】D
【解析】
【分析】计算即可判断AB，计算即可判断C，计算即可判断D.
【详解】因为既不是奇函数也不是偶函数，故A错误，B错误；
又，故的图象不关于对称，故C错误；
因为，故的图象关于对称，故D正确；
故选：D.
8. 已知且，则的最小值为（ ）
A. 10B. 9C. 8D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知的部分图象如图，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】结合图象求出函数解析式，依次判断选项即可
【详解】由题可得，其中，
设其周期为，结合题中的图可知，，则，故A正确；
所以，把点的坐标代入，
得，则，
所以，
则
所以，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
故选：AD
10. 已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（ ）
A. 单调递减B. 单调递增C. 有最小值D. 有最大值
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，求得，得到，分，和，三种情况讨论，得到函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】由函数，可得其图象开口向上，且对称轴为，
因为函数在上有最小值，可得，
又由函数，
当时，可得，在上单调递增，有最小值，无最大值；
当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值；
当时，函数在上单调递增，有最小值，无最大值，
综上可得，函数在上单调递增，有最小值，无最大值.
故选：BC.
11. 已知数列前项和为，且，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由，根据等比数列有关概念计算可判断A；由，根据等比数列有关概念计算可判断B；由与的关系可得，计算可判断CD.
【详解】对于A，由，得，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以，故A正确；
对于B，由题意可得，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，故B正确；
对于C，由得，
即时，，又，
所以，
所以的奇数项均为0，偶数项均为1.
故，故C错误；
对于D，因为即，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量满足，且，则向量的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】由向量的夹角公式即可求解.
【详解】由已知得，
又，
所以，
所以向量夹角为.
故答案为：
13. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出,两边平方即可求解.
【详解】由已知，所以，
即.
故答案为：
14. 已知曲线且.当实数变化时，函数的图象公共点个数最多有__________个，此时实数的取值范围是______.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】原题等价于与的图象公共点最多有几个，根据的情况，分和以及三种情况分类讨论，即可求解.
【详解】原题等价于与的图象公共点最多有几个，且此时的取值范围问题.
（1）当时，与有2个公共点；
（2）当时，令，
①当时，和在上单调递增， 在上单调递增，
且，
所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点，
②当时解方程，
令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
因此的最大值为，又时，，时，，
则与在上最多有2个公共点，此时需满足，即的范围是，
所以当范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点；
（3）当时，
③当时，在单调递减，且，
所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点，
④当时，，令，
解方程，
由②知，与在上最多有2个公共点，
此时需满足，解得，
所以当的范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点；
综上所述，与最多3个公共点，.
故答案为：；.
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求取得最大值时自变量的集合，并求出最大值.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用向量数量积运算法则和三角恒等变换得到，根据求出最小正周期；
（2）在（1）的基础上，利用正弦函数的图象与性质，求出及此时自变量的集合.
【小问1详解】
∴
所以函数的最小正周期为.
【小问2详解】
由（1）知函数取得最大值时，，
解得
故取得最大值时自变量的集合为
此时，.
16. 已知函数，且的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）过原点作曲线的两条切线，切点分别为.
①求切线的方程；
②求的面积.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）将所给点代入函数解析式，解得即得；
（2）①先求出时，过原点的曲线的切线方程，再根据是偶函数，由对称性求得另一条切线；
②求得切点坐标，根据形状利用面积公式求解.
【小问1详解】
由已知得，即，
所以.
故.
小问2详解】
①当时，.
不妨设切点.
所以.故切线的方程为.
因为过原点，故，解得.
所以切线的方程为.
又为偶函数，其图象关于轴对称，
故切线的方程为.
所以切线的方程为.
②由①可知，，由对称性可知，
为等腰三角形，其面积为
17. 已知数列的首项.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求满足的的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）11
【解析】
【分析】（1）根据已知递推关系计算，根据等差数列的定义，即可得证；
（2）由（1）求得，继而得到，通过裂项相消求，进而得不等式，求解即得.
【小问1详解】
由得
，
又，所以数列是首项为1公差为1的等差数列.
【小问2详解】
由（1）知：，所以
所以
由已知得，即.
因为，当时，显然，不满足条件；
当时，记，显然在时单调递增，
且，所以.
故的最小值为11.
18. 如图，四边形的对角线相交于点.

（1）求证：；
（2）已知.
①求四边形的面积；
②若与面积相等，求证：.
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明；
（2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积；
②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可
【小问1详解】
由余弦定理得
在中，①
在中，②
在中，③
在中，④
由③+④-①-②得：
.
故
【小问2详解】
①由（1）得，
又
可求得.
又四边形的面积为
.
②由若与面积相等，因为为公共底边，
故两个三角形上的高相等，即，所以.
设.
在中得：，即
在中得：.两式相加得：，两式相减得：，
所以，故.
故，所以.
又，所以，
由勾股定理得：.
19. 已知函数，当时取得最值.
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个极值点，
①求实数的取值范围；
②证明：.（参考数据：）
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由求解即可（2）由题可得，由有三个极值点，
可得方程需有两个不等于1正根，
①令，结合导数研究的单调性以及最值，即可得到实数的取值范围；
②由①可得，且，
从而将问题转化为证明
，令，结合导数研究的单调性和最值即可证明.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得,
因为时取得最值，所以，即：，解得：；
经检验，符合题意.
【小问2详解】
函数有三个极值点，由（1）知，
因此：，
，
令，得或（即），
因为有三个极值点，
所以方程需有两个不等于1的正根；
①求实数的取值范围，令，
当时，单调递减；当时，单调递增，
因此，在处取得极小值，
要使有两个不等于1的正根，需，
故实数取值范围为，
②证明，
由的根可知：，且是方程的两个根，
即，
注意到，
所以等价于，
，
令，
由知在上单调递增，所以，
所以