第五章 一元一次方程 -同步训练- 2025-2026学年北师大版七年级数学上册(有答案）

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第五章《一元一次方程》一、选择题（本题共10小题,每小题4分，共40分）1．若是关于的一元一次方程，则的值不可能为（   ）A． B． C． D．2．下列一元一次方程的解是的是（　　）A． B． C． D．3．在解方程时，去分母正确的是（    ）A． B．C． D．4．下列各数中，是方程的解的是（    ）A． B． C． D．和5．某次知识竞赛由40道选择题组成，答对一道得5分，答错一道扣3分，全部做完后（不能漏答）才可以提交试题，小明提交试题后显示得分为152分，设小明答对了道题，则可列方程为（　　）A． B．C． D．6．下列解方程的步骤正确的是（    ）A．方程去括号，得B．方程移项，得C．方程去分母，得D．方程，两边都除以，得7．有一列数，，，，，，其中任意三个相邻数的和都是，已知，，，那么的值是（　）A． B． C． D．8．若关于x的一元一次方程的解，比关于x的一元一次方程﹣2（3x﹣4m）＝1﹣5（x﹣m）的解大15，则m＝（　　）A．2 B．1 C．0 D．﹣19．整式（m，n为常数）的值随的取值的不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解为（　　）A． B． C． D．10．如图是2025年1月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和，小明的计算结果不可能有（   ）A．75 B．100 C．115 D．120二、填空题（本题共8小题,每小题4分，共32分）11．已知是方程的解，则 ．12．已知下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次方程的有 （填序号）．13．人住房，若每间住6个人，余8个人；若每间住7个人，则有一间房空3个床位，则住房人数为 ．14．一家商店将某种服装按成本价加价作为标价，又以八折（即按标价的）优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，求这种服装每件的成本价．如果设这种服装的成本价为x元，则得到方程是 ．15．在一个的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的的方格称为一个三阶幻方.如图，方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y的值是 ，的值是 ．  16．已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ．17．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么我们就称这两个方程为“和谐方程”，例如，方程与方程为“和谐方程”．若关于的方程与方程为“和谐方程”，则的值为 ．18．方程的解是 ．三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分）19．利用等式的性质，把下列方程化为的形式：(1)； (2)；(3)； (4)．20．某小学举行了一次数学竞赛，共道题．每做对道题得分，每做错道题倒扣分，小苗把道题全做了共得了分．她做对了多少道题？21．（1）解方程：； （2）．22．小明和小刚从学校出发，去敬老院送水果．小明带着东西先走2.5分钟后，小刚才出发．若小明每分钟行80米，小刚每分钟行120米，(1)设小刚出发经过x分钟后，小刚走了__________米，小明走了__________米，（用含有x的代数式表示）(2)则小刚用几分钟可以追上小明？23．，两种型号的机器生产同一种产品，已知7台型机器一天生产的产品装满8箱后还剩2个，5台型机器一天生产的产品只差4个就能装满6箱．每台型机器比每台型机器一天少生产2个产品，求每箱装多少个产品？24．某种产品形状是长方体，长为，它的表面展开图如图所示．(1)求长方体的体积．(2)请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装2件这种产品，要求设计时不计空隙且要使该纸箱所用材料尽可能少(纸箱表面积尽可能小)，并请求出你设计的纸箱的表面积．25．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”．例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”．(1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”．(2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值．(3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解．26．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点需要2秒．(1)玩具火车的长为________个单位长度；玩具火车的速度为每秒________个单位长度；点所对应的数为_____；(2)在数轴上放置与大小相同的火车，使点与点重合，火车和在数轴上分别从点和点同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度；(3)当火车匀速向右移动，同时点和点分别从，出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点、间的距离用表示，点、间的距离用表示，是否存在有理数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出和这个定值；若不存在，请说明理由．0120参考答案1．A【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答．【详解】解：是关于的一元一次方程，，解得：，的值不可能为，故选：A．2．C【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程是解题关键．根据解一元一次方程的方法，分别解每个方程，得到每个方程的解，再来与比较求解．【详解】解：A．，解得，故此项错误；B．，解得，故此项错误；C．，解得，故此项正确；D．，解得，故此项错误．故选：C．3．D【分析】本题考查一元一次方程去分母．根据题意等式两边同时乘以6，再整理即可得到本题答案．【详解】解：∵，∴等式两边同时乘以6得：，整理得：，即：，故选：D．4．B【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．依次移项、合并同类项、系数化1解方程即可．【详解】解：，移项得：，合并同类项得：，系数化1，得，故选：B．5．C【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意中数量关系，掌握一元一次方程列式解实际问题是解题的关键．设小明答对了道题，则答错了道题，根据题意列出方程即可．【详解】解：设小明答对了道题，则答错了道题，根据题意得，．故选：C．6．B【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则，等式的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：A、方程去括号，得，原步骤错误，不符合题意；B、方程移项，得，正确，符合题意；C、方程去分母，得，原步骤错误，不符合题意；D、方程，两边都除以，得，原步骤错误，不符合题意；故选B．7．B【分析】本题考查数字的变化规律，一元一次方程的应用，首先根据任意三个相邻数之和都是，推出，，，总结规律为，，，即可推出，，求出，即可推出，即可得出答案．掌握数字之间的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键．【详解】解：∵任意三个相邻数的和都是，∴，，，∴，，，∴，，∴，∴，∴，∴．故选：B．8．A【分析】分别求出方程的解为，方程的解为，然后根据题意得到，由此求解即可．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并得：，系数化为1得：；去括号得：，移项得：，合并得：，系数化为1得：；∵关于x的一元一次方程的解，比关于x的一元一次方程的解大15，∴，∴，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法．9．A【分析】本题考查了方程的解得概念，将方程变形后与整式对应来解题是关键．将方程变形为，再根据表格中的数据，，即可判断答案．【详解】解：，，由表格知，当时，，是方程的解，即也是方程的解．故选：A．10．【分析】本题考查了一元一次方程的应用——日历问题，列代数式，整式加减运算，根据图中5个数的位置及各个数之间的数量关系正确设出5个代数式表示的数是解题的关键．日历中，同行相邻两数右边的数比左边的数大1，同列相邻两数下面的数比上面的数大7．设图中框选的5个数分别为，通过列方程求解判断即可．【详解】解：设图中框选的5个数分别为（为正整数），则，A.由得，，，五个数字之和可能为75，此选项不符合题意；B.由得，，，五个数字之和可能为100，此选项不符合题意；C..由得，，，五个数字之和可能为115，此选项不符合题意；D..由得，，，而，日历表中无32，五个数字之和不可能为120，此选项符合题意；故选：D．11．【分析】把x=-2代入方程即可得到一个关于a的方程，解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入方程得-2a+5a=-10+2，解得a=．故答案是：．【点睛】本题考查了方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．12．②③⑤【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①不是一元一次方程，故①不符合题意；②，符合一元一次方程的定义．故②符合题意；③，符合一元一次方程的定义．故③符合题意；④的未知数的最高次数是2，不是一元一次方程．故④不符合题意；⑤，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意；⑥中含有2个未知数，不是一元一次方程．故⑥不符合题意．综上所述，一元一次方程的个数是3个．故答案为：②③⑤．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，一次项系数不为0．13．74【分析】根据房间数相等可列出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：根据题意可得，，解得．故答案为：74．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找到等量关系列出方程．根据题意可得每件衣服的标价、售价、利润关于x的代数式，根据售价标价利润列出方程求解即可．【详解】解：设这种服装每件的成本价为元，由题意得方程，，故答案为：．15． 5 27【分析】根据三阶幻方的定义可得，求出的值，同理求出的值，然后代入计算即可．【详解】解：由每行每列每条对角线上的三个数之和相等可得，∴，又∵，即，∴，∴，故答案为：5，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解三阶幻方的定义是解题的关键．16．【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：，，，∴∵关于的方程的解为偶数，∴为偶数，∵为整数，∴或，∴或或或，∴所有可能的取值的和为，故答案为：．17．【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及相反数的定义，先分别求解出，的解，然后根据相反数的定义得出，解方程即可得出n的值．【详解】解：解方程，解得：，∵关于的方程与方程为“和谐方程”，∴，解得：故答案为：18．【分析】本题考查了解一元一次方程，将方程变形为，即可得到答案，正确的运算是解题的关键．【详解】解：，，故答案为： ．19．(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】本题主要考查了等式的性质，解题关键是正确应用性质．利用等式的性质，把方程化为的形式即可．【详解】（1）解：由，得，即；（2）解：由，得，即；（3）解：由，得，即；（4）解：由，得，即．20．她做对了道题【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，根据题意，设对了题，则错了题，由此列方程即可求解．【详解】解：根据题意，设对了题，则错了题，∴，解得，，∴她做对了道题．21．（1）；（2）【分析】本题考查解一元一次方程，正确计算是解题的关键：（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得出答案；（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得出答案．【详解】解：（1），去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：；（2），去分母，得：，去括号，得：，移项，得：，合并同类项，得：，系数化为1，得：．22．(1)，(2)小刚用5分钟可以追上小明．【分析】（1）根据路程速度时间可解决问题；（2）设小刚x分钟可以追上小明，根据路程速度×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：小刚出发经过x分钟后，小刚走了米，小明走了米，故答案为：，；（2）解：设小刚用x分钟可以追上小明，根据题意得：，解得：．答：小刚用5分钟可以追上小明．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据数量关系路程速度时间列出关于x的一元一次方程是解题的关键．23．50【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键．设，根据线段的和差关系，中点的概念，结合，列出方程进行求解即可．【详解】解：设，则．因为N是的中点，所以．因为，所以，解得，所以．24．(1)该长方体的体积为(2)将的面重叠在一起所用材料最少，此时纸箱的表面积为【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，一元一次方程的应用；（1）设该长方体的高为，则根据题意得，，再解方程进一步求解即可；（2）分三种情况求解表面积：方案一：的面重叠在一起：方案二：的面重叠在一起：方案三：的面重叠在一起：再比较即可．【详解】（1）解：设该长方体的高为，则根据题意得，，解得：，宽为：，∴该长方体的体积为：，答：该长方体的体积为．（2）解：方案一：的面重叠在一起：表面积为：，方案二：的面重叠在一起：表面积为：，方案三：的面重叠在一起：表面积为：；∵，∴方案一所用材料最少，此时纸箱的表面积为．答：将的面重叠在一起所用材料最少，此时纸箱的表面积为．25．(1)方程与方程互为“美好方程”(2)(3)【分析】（1）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义进行判断即可；（2）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义列出关于的方程求解即可；（3）根据“美好方程”的定义求出的值，再求解关于的方程即可．【详解】（1）解：解方程，得．解方程，得．∵，∴方程与方程互为“美好方程”．（2）解：解关于的方程，得．解方程，得．∵关于的方程与方程互为“美好方程”，∴，解得．（3）解：解方程，得．解关于的方程，得．∵方程与关于的方程互为“美好方程”，，解得．将代入，得，解得．【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的求解方法，理解“美好方程”的定义是正确解答的关键．26．(1)；(2)秒后两火车的处与处相距7个单位长度(3)存在有理数使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上点的平移，数轴上两点之间的距离，解方程，整式计算中的无关问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）设初始位置处表示的数为，初始位置处表示的数为，火车的长度为，根据题意得，，求出，即可得到答案；（2）设处表示的数为，处表示的数为，秒后两火车的处与处相距7个单位长度，则，，根据题意得，求解即可；（3）设火车匀速向右移秒，则，，火车匀速向右移动个单位长度，则，得到，继而得到根据已知表示，令的系数为，求解即可．【详解】（1）解：设初始位置处表示的数为，初始位置处表示的数为，火车的长度为，根据题意得，，，；小火车的速度为个单位长度；，；故答案为：；（2）解：设处表示的数为，处表示的数为，秒后两火车的处与处相距7个单位长度，则，，根据题意得，，解得，秒后两火车的处与处相距7个单位长度；（3）解：设火车匀速向右移秒，则，，火车匀速向右移动个单位长度，则，解得，，，，，的值与它们的运动时间无关，，，，故存在有理数使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为．题号12345678910答案ACDBCBBAA