2025-2026学年江苏省无锡市锡东高级中学高二（上）期中数学试卷（有答案和解析）

这是一份2025-2026学年江苏省无锡市锡东高级中学高二（上）期中数学试卷（有答案和解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A(3,1,0)，点B(5,−4,−3)，则向量AB的坐标是( )
A. (−2,3,3)B. (−2,−5,3)C. (2,−5,−3)D. (2,5,−3)
2.若倾斜角为45∘的直线l经过两点A(−8,m)，B(m,4)，则m的值为( )
A. −2B. 1C. 2D. 3
3.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为 23，焦距为2 2，则该椭圆的方程为( )
A. x2+y23=1B. x29+y27=1C. x236+y228=1D. x27+y29=1
4.已知圆C：(x+1)2+y2=r2(r>0)上仅有两个点到直线l：3x−4y−12=0的距离为1，则r的取值范围为( )
A. (2,4)B. (3,5)C. (4,6)D. (5,7)
5.已知直线x−4y+9=0与椭圆x216+y2b2=1(00)的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足|PF1|=2c，|F2P|=a，线段F2P与双曲线C交于点Q，若F2P=5F2Q，则双曲线C的离心率为( )
A. 3B. 2 33C. 52D. 102
8.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90∘，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为( )
A. 15B. 25C. 55D. 2 55
9.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)、B(4,0)，点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C，则下列说法错误的是( )
A. 轨迹C的方程为(x+4)2+y2=16B. △ABP面积最大值为12
C. 若P(x,y)，则yx−4的最大值为 33D. 在C上存在点M，使得|MO|=2|MA|
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.已知曲线C：mx2+ny2=1.( )
A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 n
C. 若mn0，则C是两条直线
11.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60∘，下列说法中正确的是( )
A. |AC1|=6 6
B. AC1⊥BD
C. 向量B1C与AA1的夹角是60∘
D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 63
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为棱A1B1的中点，AC=2，CC1=BC=1，AC⊥BC，则异面直线CD与BC1所成角的余弦值为 .
13.过点P(1,2)的直线l与曲线y= 4−x2有且仅有两个不同的交点，则l斜率的取值范围为______.
14.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”.若椭圆方程为x23+y22=1，则其蒙日圆方程为 ；点A，B为椭圆x23+y2b2=1(00,b>0)的虚轴长为4，直线2x−y=0为双曲线C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求证：k1k2为定值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵点A(3,1,0)，点B(5,−4,−3)，
∴由向量坐标运算法则得AB=(2,−5,−3).
故选：C.
根据给定条件，求出向量的坐标运算求解．
本题考查空间直角坐标系中向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为A(−8,m)，B(m,4)，
计算kAB=m−4−8−m=tan45∘=1，解得m=−2.
故选：A.
根据倾斜角求得斜率，由两点斜率公式得到方程，求解即可．
本题考查了直线的斜率计算问题，是基础题．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质与标准方程，属于基础题．
由焦距求c，利用离心率求a，根据a，b，c的关系求b2，即可得到椭圆的方程．
【解答】
解：已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为 23，焦距为2 2，
设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，
由2c=2 2得c= 2，
由e=ca= 23得a=3，故b2=a2−c2=7，
所以该椭圆的方程为y29+x27=1.
故选：D.
4.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，圆C：(x+1)2+y2=r2(r>0)，
则C(−1,0)，C到l的距离d=|3×(−1)−4×0−12| 32+(−4)2=3，
要使圆C上仅有2个点到l的距离为1，则3−1