2025~2026学年河北省保定市易县九年级上学期期末考试数学【含解析】

这是一份2025~2026学年河北省保定市易县九年级上学期期末考试数学【含解析】，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.．

2.抛物线y=−(x+3)2−1的顶点坐标是（ ）
A.(3,−1)B.(−3,1)C.(3,1)D.(−3,−1)

3.已知⊙O与直线l无公共点，若⊙O直径为10cm，则圆心O到直线l的距离可以是（ ）
A.6B.5C.4D.3

4.用配方法解方程x2+1=8x，变形后的结果正确的是（ ）
A.(x+4)2=15B.(x+4)2=17C.(x−4)2=15D.(x−4)2=17

5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（ ）
A.y=3(x+1)2+2B.y=3(x+1)2−2C.y=3(x−1)2+2D.y=3(x−1)2−2

6.若方程x2−2x−4=0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）
A.12B.10C.4D.−4

7.如图，AD是半圆O的直径，C是BD⌢的中点．若∠ADC=50∘，则∠BAD等于（ ）
A.85∘B.80∘C.70∘D.65∘

8.若A2,y1，B−3,y2，C−2,y3三点在抛物线y=x2−4x−m上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3C.y2>y3>y1D.y3>y1>y2

9.如图，∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A.∠C=∠EB.∠B=∠ADEC.ABAD=ACAED.ABAD=BCDE

10.2023年以来，某厂生产电子产品的技术处于高速增长上升期．起初该厂生产一件产品的成本为115元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了19.2元．设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（ ）
A.115(1−2x)=115−19.2B.115(1−x)2=115−19.2
C.19.2(1+x)2=115D.115(1−x)2=19.2

11.某小区一处圆柱形输水管道的圆形截面如图所示．若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面离最深处的距离CD=4cm，则这个圆形截面的半径是（ ）
A.20cmB.18cmC.12cmD.10cm

12.如图，若抛物线y=−x2+2.5与x轴围成的封闭区域（包括边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=kx(x>0)的图象是（ ）
A.B.
C.D.
二、填空题

13.在平面直角坐标系中，点P(−1,4)关于原点的对称点的坐标为____________．

14.某中学开展劳动教育，学生到教具加工厂参观制作圆锥．加工厂制作的圆锥的母线长为60cm，底面圆的半径为20cm，则这种圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是____________．

15.已知二次函数y=(x−3a)2+(a−1)（a为常数）．当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图，这些分别是当a=−1，a=0，a=1，a=2时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是____________．

16.如图，在反比例函数y=40x(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，它们的横坐标依次为2，4，6，8，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线．图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，…，则S1+S2+S3为____________．
三、解答题

17.用适当的方法解下列方程．
（1）x2+2x−3=0；
（2）x−7−x(x−7)=0．

18.图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和点O都在正方形的顶点上．
（1）以点O为位似中心，在方格图中作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的相似比为1:2；
（2）画出△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90∘后得到的△A2B1C2，并求点A1在旋转过程中经过路线的长度．（结果保留π）

19.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(2,6)，B(−3,n)两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b>mx的解集；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．

20.发石车是古代远程攻击的武器．现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运动，距离发射点20米时达到最大高度10米．如图，现将发石车放置在山坡底部O处，山坡上有一点A，距离点O的水平距离为30米，垂直高度3米，AB是高度为4米的防御墙．
（1）求石块运动轨迹的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）计算说明石块能否飞越防御墙AB．

21.为了培养青少年的体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开展篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，解答下列问题．
（1）本次被调查的学生有______名，n=______，补全条形统计图，并在条形图上方注明人数；
（2）扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角的度数为______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法求甲和乙两名同学同时被选中的概率．

22.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，直径AB=4，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠ACD=∠B．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若AD=1，求DC的长；
（3）在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积．

23.某商场要销售一种新上市的文具，其进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．
（1）写出商场销售这种文具每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式．
（2）当销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案．
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过40元．
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．
请比较哪种方案每天的最大利润更高，并说明理由．

24.【问题背景】数学课上，我们以等腰直角三角形为背景，利用旋转的性质研究线段和角的关系．老师给出了下面的已知条件：在△ABC中，∠ABC=90∘，AB=CB，D是△ABC边上的一动点，P是△ABC外任意一点，过点D与点P作射线DP，将射线DP绕点D逆时针旋转90∘得到射线DQ．
【问题初探】
（1）如图1，点D与直角顶点B重合，射线DP交边AC于点E，点F在射线DQ上，且满足DE=DF，连接AF．求证：AF=CE且AF⊥CE．
【问题深探】
（2）如图2，点D在直角边AB上，射线DP恰巧经过点C，点F在射线DQ上，且满足DC=DF，连接AF．请直接写出AC，AD，AF之间的数量关系：______．
【问题拓展】
（3）如图3，点D在斜边AC上，且CD=kAD(00，
∴开口向上，对称轴为x=−b2a=2，
∵A2,y1中x=2，
∴y1最小，
又∵B−3,y2,C−1,y3都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2>y3．
∴y2>y3>y1.
故选：C．
9.
【答案】
D
【考点】
选择或补充条件使两个三角形相似
【解析】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可解答．
【解答】
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
A、添加∠C=∠E，
∴△ABC∽△ADE，原选项不符合题意；
B、添加∠B=∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，原选项不符合题意；
C、添加ABAD=ACAE，
∴△ABC∽△ADE，原选项不符合题意；
D、添加ABAD=BCDE，
∴不能判定△ABC∽△ADE，原选项符合题意；
故选：D．
10.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．设每次技术改进产品的成本下降率均为x，根据连续两年成本下降后价格为(115−19.2)元，即可列出方程．
【解答】
解：设每次技术改进产品的成本下降率均为x，
根据题意得，115(1−x)2=115−19.2，
故选：B．
11.
【答案】
D
【考点】
勾股定理的应用
垂径定理的应用
【解析】
本题考查了垂径定理的应用，关键是做出辅助线，构造直角三角形，用到的知识点是垂径定理、勾股定理，要能把实际问题转化成数学问题．
由OC⊥AB，得出BD=12AB，再设半径为xcm，则OD=(x−4)cm，根据OD2+BD2=OB2，得出(x−4)2+82=x2，再求出x的值即可．
【解答】
解：∵OC⊥AB，OC是半径，
∴BD=12AB=12×16=8cm，
由题意可知，CD=4cm，
∴设半径为xcm，则OD=(x−4)cm，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2，
即(x−4)2+82=x2，
解得：x=10．
∴这个圆形截面的半径是10cm．
故选：D．
12.
【答案】
A
【考点】
二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质
反比例函数综合题
【解析】
本题考查了二次函数图像和反比例函数图像的综合知识，会熟练找出函数图像中的关键点和反比例函数的k值是本题的解题关键．
根据函数关系式求函数图象与x轴、y轴的交点，画出函数图像，找出与x轴围成封闭区域（包括边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数．
【解答】
解：当x=0，y=2.5，所以函数图像过(0,2.5)，
当y=0时，x=±102，所以函数图像过−102,0和102,0，
如图，画出函数y=−x2+2.5的图像，
与x轴围成封闭区域（包括边界）内整点（点的横、纵坐标都是整数），
当x=−1时，y=−(−1)2+2.5=1.5，则整点有(−1,0),(−1,1)，
当x=0时，y=2.5，则整点有(0,0),(0,1),(0,2)，
当x=1时，y=−12+2.5=1.5，则整点有(1,0),(1,1)，
所以封闭区域内的整点个数k=7，
A选项图像中的k值为大于6小于8，
B选项对应的k值为6，
C选项中k值为6，
D选项中k值为4，
故选：A．
二、填空题
13.
【答案】
(1,−4)
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点对称点是P′(−x,−y)，进而得出答案．
【解答】
解：依题意，点P(−1,4)关于原点的对称点的坐标为(1,−4)
故答案为：(1,−4)．
14.
【答案】
120∘/120,度
【考点】
求圆锥侧面展开图的圆心角
求弧长
【解析】
本题考查圆锥的知识，截图的关键是掌握圆锥展开的图形为扇形，根据展开图形的性质，可得圆锥的底面周长为扇形的弧长，即2πr=nπR180，即可求出圆锥的侧面展开图的圆心角的度数．
【解答】
解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n∘，
由题意可得：圆锥的母线长为60cm，底面圆的半径为20cm，
∴2πr=nπR180，
∴2π×20=nπ60180，
解得：n=120，
故答案为：120∘．
15.
【答案】
y=13x−1
【考点】
y=a（x-h）²+k的图象和性质
【解析】
本题考查二次函数的顶点，根据y=(x−3a)2+(a−1)得到顶点坐标，再求顶点坐标满足的函数解析式即可．
【解答】
解：∵y=(x−3a)2+(a−1)顶点坐标为(3a,a−1)，
∴设x=3ay=a−1 ，消去a得y=13x−1，
∴它们的顶点坐标满足的函数解析式是y=13x−1，
故答案为：y=13x−1．
16.
【答案】
30
【考点】
反比例函数综合题
已知比例系数求特殊图形的面积
【解析】
本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，根据题意，分别求出P1，P2，P3，P4的坐标，根据题意，通过平移可知，S1+S2+S3的面积矩形S▭AP1DO−S▭BCOD，即可．
【解答】
解：设点P1与x轴的交点为点D，
∵反比例函数y=40x(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，…，它们的横坐标依次为2，4，6，8，…，
∴P1(2,20)，P2(4,10)，P36,203，P4(8,5)，
由图象可得，S1+S2+S3的面积矩形S▭AP1DO−S▭BCOD，
∴S1+S2+S3=2×20−2×5=30．
故答案为：30．
三、解答题
17.
【答案】
（1）x1=−3，x2=1
（2）x1=7，x2=1
【考点】
解一元二次方程-因式分解法
【解析】
（1）根据因式分解，可得：(x+3)(x−1)=0，得到x+3=0或x−1=0，解出未知数，即可；
（2）根据方程，提取公因式(x−7)，得到(x−7)(1−x)=0，推出x−7=0或1−x=0，解出未知数，即可．
【解答】
（1）解：x2+2x−3=0，
因式分解，得(x+3)(x−1)=0，
∴x+3=0或x−1=0，
解得：x1=−3，x2=1．
（2）解：x−7−x(x−7)=0，
因式分解，得(x−7)(1−x)=0，
∴x−7=0或1−x=0，
解得：x1=7，x2=1．
18.
【答案】
（1）见解析
（2）见解析，5π
【考点】
求某点的弧形运动路径长度
画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
勾股定理的应用
根据旋转的性质求解
【解析】
（1）连接AO并延长，使OA1=2OA，则A1就是A的对应点，同法可以作出B，C的对应点，顺次连接各个对应点即可；
（2）将A1，B1，C1三点分别旋转90∘，即可得到对应点，得到对应图形，A1在旋转过程中经过路线是以B1为圆心，半径是B1A1的长，圆心角是90∘的弧，根据弧长公式即可求解．
【解答】
（1）解：如图，△A1B1C1即为所求．
（2）解：如图，△A2B1C2即为所求．
∵B1A1=22+42=25，
∴点A1在旋转过程中经过的路线的长度为90π×25180=5π．
19.
【答案】
（1）y=2x+2，y=12x
（2）−3mx的解集即可；
（3）直接利用三角形面积公式计算即可．
【解答】
（1）解：∵点A(2,6)在y=mx的图象上，
∴m=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x．
∵点B(−3,n)在反比例函数的图象上，
∴n=12−3=−4．
∵A(2,6)，B(−3,−4)两点在y=kx+b上，
∴6=2k+b,−4=−3k+b, ，解得k=2b=2 ，
∴一次函数的解析式为y=2x+2．
（2）解：由图象可得，不等式kx+b>mx的解集为−37，
∴石块能飞越防御墙AB．
21.
【答案】
100；5；见解析
72∘
（3）16
【考点】
求扇形统计图的圆心角
画条形统计图
列表法与树状图法
条形统计图和扇形统计图信息关联
【解析】
（1）用选择篮球的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数：求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可；
（2）用选择乒乓球的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360度即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】
（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数=30÷30%=100（人），
喜爱足球的人数为：100−30−20−10−5=35（人），
补全条形统计图如下．
故答案为：100；5．
（2）解：“乒乓球”人数所占比例为：20÷100×100%=20%，
所以，扇形统计图中“乒乓球”对应的扇形的圆心角度数=360∘×20%=72∘，
故答案为：72∘．
（3）解：画树状图如下．
共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙两名同学同时被选中的概率为212=16．
22.
【答案】
（1）见解析
（2）CD=3
（3）93−4π6
【考点】
相似三角形的性质与判定
半圆（直径）所对的圆周角是直角
求其他不规则图形的面积
证明某直线是圆的切线
【解析】
（1）连接OC，由OB=OC，利用等边对等角得到∠BCO=∠B，由∠ACD=∠B，得到∠ACD+∠OCA=90∘，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；
（2）证明Rt△ABC∽Rt△ACD，可求出AC=2，由勾股定理求出CD的长即可；
（3）先证明△OAC为等边三角形，求出∠AOC=60∘，即可由S阴影=S梯形ADCO−S扇形OAC求出答案．
【解答】
解：（1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠B+∠BAC=90∘
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC
∵∠ACD=∠B，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90∘，即EF⊥OC
∴EF是⊙O的切线
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB==90∘，
∵AD⊥EF于点D，
∴∠∠ADC=90∘，
∴∠ADC=∠BCA，
∵∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC
∴ADAC=ACAB，
∵AD=1，AB=4
∴AC2=AD⋅AB=1×4，
∴AC=2
∴CD=AC2−AD2=3
（3）解：∵AB=4，
∴OC=OA=12AB=2，
由(2)知：AC=2，
∴OC=OA=AC=2，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC=60∘，
由(2)知：CD=3，AD=1
∴S阴影=S梯形ADCO−S扇形OAC
=(1+2)32−60π×22360
＝93−4π6．
23.
【答案】
（1）w=−10x2+700x−10000
（2）当单价为35元时，该文具每天的销售利润最大
（3）A方案每天的最大利润更高，理由见解析
【考点】
把y=ax^2+bx+c化成顶点式
列二次函数关系式
二次函数的应用——销售问题
【解析】
（1）根据利润=（销售单价−进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较即可．
【解答】
（1）解：由题意，得，销售量=250−202(x−25)=−10x+500，
则w=(x−20)(−10x+500)
=−10x2+700x−10000．
（2）解：w=−10x2+700x−10000=−10(x−35)2+2250，
∵−10