浙江省衢州市五校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集的概念求得.
【详解】由题意得，.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】命题“，”的否定为：，”，
故选：C.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数式的限制条件列不等式组求解.
【详解】要使函数有意义，则，
解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
4. 若，则（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】由完全平方公式求解.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，
故选：B.
5. 若，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数单调性、对数运算法则即可求解.
【详解】，，，
故.
故选：B.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】易知为奇函数，排除选项AC，再由时，判断.
【详解】由知：
为奇函数，图象关于原点对称，故排除选项AC，
又时，，
故选：D
7. 设，则“”是“集合”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用集合相等及充分条件、必要条件的定义分析选项即可.
【详解】显然，此时，但时才有，
则充分性不成立；
若，易知，所以，所以且，
则必要性成立.
故选：C
8. 已知函数，若对任意的正实数、，满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用奇函数定义与指数函数单调性可得性质，即可得、间关系，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】，又定义域为，
故为奇函数，则，
又在上单调递增，故在上单调递增，
则，即，
故
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】举特殊值可判断A；利用作差法可判断B，举特殊值可判断C；由基本不等式及不等式性质可判断D.
【详解】对于A，因，若，
则，故A错误；
对于B， ，因为，
所以，则，即，故B正确；
对于C，若，取，
则，故C错误；
对于D，若，
则，
即，
当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：BD
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数与函数是同一个函数
C. 若函数在单调递减，则实数的取值范围为
D. 若奇函数在上单调递增，且满足，则的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据抽象函数的定义域求法计算；B选项，根据定义域和对应关系判断；C选项，根据反比例函数的单调性列不等式，解不等式即可；D 选项，根据奇函数的性质得到，然后利用单调性解不等式.
【详解】因为的定义域为，所以，所以的定义域为，
又，解得，所以的定义域为，故A正确；
令，解得，令，解得或，
所以函数的定义域为，的定义域为，
所以与的定义域不同，则不是同一个函数，故B错；
因为函数在上单调递减，所以，解得，故C正确；
可整理为，
因为单调递增，所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，若有四个解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A 0B.
C. 的最小值为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】画出函数的图象，根据对称性和指数函数的图象和性质结合基本不等式即可求出．
【详解】
作出函数的图象，
因是方程的四个互不相等的解，则，A选项正确；
因为，
则有，是方程的两个根，必有，
因为，所以，所以，所以，B选项正确；
，
因为，且，
所以，C选项错误；
，是方程的两个不等根，则，即，所以，
整理得，，即，
于是得，D选项正确；
故选：ABD.
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 求值：___________．
【答案】0
【解析】
【分析】利用对数的运算公式可得答案.
【详解】
故答案为：0
13. 已知函数为奇函数，幂函数为偶函数，且在区间上单调递减，若，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】先求得进而求得，，再根据和为奇函数求解.
【详解】因为幂函数在区间上单调递减，
所以，解得 ，
因为 ，
所以 或 或 ，
当时，是奇函数，不符合题意；
当时， 是偶函数，符合题意；
，是奇函数，不符合题意；
则，，因为，
所以，因为函数为奇函数，
所以，
所以，
故答案为：3
14. 已知函数满足对任意实数恒有，且当时，，，则不等式解集为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明单调递增，再利用赋值法，将原不等式转化为，再利用单调性求解.
【详解】，且，则,
则，所以单调递增；
令，得，解得；
令，得，解得，
则不等式转化为，
则，即 ，则，
解得，
所以不等式的解集为，
故答案为：
四、解答题（共5题，共77分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知关于的不等式的解集是．
（1）解不等式；
（2）为何值时，的解集为．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三个二次关系待定系数计算参数，再解一元二次不等式即可；
（2）利用二次函数的图象与性质计算判别式即可.
【小问1详解】
由题意知3和2是方程的两根，
，解得，
不等式
即为，解得．
所求不等式的解集为．
【小问2详解】
由上可知，即为，
即，
若此不等式的解集为，
则
．
16. 设全集，已知集合，集合．
（1）若，求、；
（2）若，求出的取值范围．
【答案】（1），或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再利用并集的概念和运算法则计算求出，利用补集的概念和运算法则求出；
（2）利用集合间的关系，求出当时的范围，再求其否定即可得解.
【小问1详解】
，， 集合，
集合，
，
，
或．
【小问2详解】
集合，集合，
若，则，解得；若，则，
因此当时，，所以当时，的取值范围是.
17. 近年来我市提出了“科技强市”的发展目标，全市各企业积极响应．某企业为进一步提高经济效益，着手研发新产品．现计划投入60万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，在对市场进行调研分析后发现，甲、乙产品的利润M、N与研发投入（单位：万元）满足，．设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）．
（1）求的表达式；
（2）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？
【答案】（1）
（2）甲产品投入40万元，乙产品投入20万元
【解析】
【分析】（1）利用已知条件建立分段函数模型即可；
（2）利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可.
【小问1详解】
因为甲产品的投入为万元，则乙产品的投入为万元，
当时，，
当时，．
综上：；
【小问2详解】
当时，令，
则总利润为，
显然当时，（万元），即当时，（万元），
当时，
（万元），
当且仅当，即时“”成立，有（万元），
，
该公司在甲产品投入40万元，在乙产品投入20万元，总利润最大，最大总收益为111万元．
18. 已知函数是上奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数是上的增函数，求解方程；
（3）若函数是上的减函数，且关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）1或
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）方法一利用特值求出，再验证是奇函数，方法二利用奇函数的定义式进行求解即可；
（2）利用单调性求出，解含有指数的方程即可；
（3）根据单调性确定的值，结合不等式有解，分离参数可得答案.
【小问1详解】
解法1：因为函数是上的奇函数．
所以，得到，
即，
解得或，
当时，，
对于成立；
当时，，
对于成立
综上，实数的值等于1或
解法2：因为函数是上的奇函数．
所以对于，
即
化简得，
即，
得，
解得或．
【小问2详解】
当时，，
由于是上的增函数，
所以是上的减函数，不合题意；
当时，，
由于是上的增函数，
所以是上的增函数.
解方程，即，
得，解得.
【小问3详解】
由（2）知当时，函数是上的减函数．
在上有解，
即在上有解，
令，上式化简得在上有解，
即在上有解，令，设，
则只需，，
所以，所以实数的取值范围是.
19. 函数，当时，因其图象形状似对勾，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”在区间和上均单调递减，在区间和上均单调递增；当时，因其图象似两条飘带，我们称之为“飘带函数”，“飘带函数”在和上均为增函数．已知函数．
（1）当时，计算的值；
（2）当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，是否存在正实数，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，试求出这样的的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）当时，，易得的值；
（2）分离参数后，转化为求最值问题；
（3）设，，则，，原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有，按照于区间的位置关系分类讨论即可.
【小问1详解】
当时，，
【小问2详解】
当时，，设，
则由飘带函数单调性得，，
（分离参数），
即对于任意恒成立，则只需
设，由飘带函数单调性知在单调递增，
所以，
所以．
【小问3详解】
设在单调递减，可得，
则，
原问题转化为求实数的取值范围，使得在区间上，恒有．
①当，即时，在上单调递增，
则，，
由，解得，
所以；
②当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
则，
由，
若，即时，
则，由
解得，
所以；
若，即时，
则，由，
所以．
③当，即时，在上单调递减，
则，，
由，解得，
所以．
综上所述，存在正实数满足题意，且的取值范围为．